函数概念与基本初等函数I

函数概念与基本初等函数I

主持人各位老师，大家好！江苏省高中数学网络培训课程—模块2-8-将邀请张松年老师点评，张松年老师是（苏教版高中数学教材编写组成员南京市金陵中学高级教师，南京市数学学科带头人）本节课将用2课时就《函数概念与基本初等函数I》部分予以解读。在第1课时，我们将就如下问题进行讨论：1.在新课标理念下，如何进行函数概念的教学？2.在新课程理念下，如何引入函数的性质？3.关于“映射”概念的处理，新教材和以前的教材有着明显的区别，能不能请张老师介绍一下“映射”的教学要求？4.教材在习题中提供了很多探究拓展的内容，比如在“映射的概念”这一节的习题中提供了一个有关纽扣的阅读题，对这类习题我们该如何处理呢？好，下面请张老师给予具体的讲解。主持人：张老师，在新课标理念下，我们该如何进行函数概念的教学呢？张松年：函数是高中数学的“灵魂”。函数概念的引入，需要教师创设符合学生实际的数学情境。从贴近学生实际出发，教材给出了三个具体的实例，供选择使用。三个例子分别用解析法、列表法和图象法给出，意在呼应下一节将要学习的函数的三种表示方法。教学中，教师也可以结合学生的具体情况，例如生活环境、文化背景、知识水平等，再补充一些实例，如本地区参加中考的人数与年份的关系、家庭年收入与年份的关系、某人身高与年龄的关系、加油站给汽车加油时油量与金额的关系，等等。学生在初中时已经对函数有了初步的感受和认识，尽管这样的认识是描述性的，是传统意义上的定义。进入高中后，学生已经学习了集合的概念，因此，对函数的近代定义的引入和函数概念的学习，可以从让学生利用集合语言描述函数特征开始，例如，可以设计如下问题：问题1：在上面的例子中，是否存在函数关系？为什么？问题2：在上面的例子中，涉及哪些集合？其中的表格、表达式和图象的作用是什么？问题3：如何用集合语言阐述几个实例的共同特点？第一个小问题，你的结论是否正确地概括了这些例子的共同特征？第二个小问题，你在初中学习的函数都有这样的特征吗？第三个小问题，你现在对函数的认识与初中时相比是否有本质上的差异？在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上，学习用集合与对应的语言来刻画单值对应，领悟函数就是从一个数集到另一个数集的单值对应。“单值对应”是函数对应法则的根本特征。“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另外一个集合的方向性，应突出“输入”与“输出”的关系。对于一些特殊的简单函数，应尝试让学生用母语进行解释，尤其是用自己的语言对函数的对应法则进行描述，这有利于学生理解函数的形式化特点。在构建函数的概念时，要重点突出一个对象对另一个对象的依赖关系。建立函数，必须交代定义域。但是，对定义域和值域不作过多技巧要求和训练。在函数定义的教学过程中，需突出以下几点：①集合A与集合B都是非空数集；②对应法则的方向是从A到B；③强调“非空”、“每一个”、“唯一”这三个关键词。教学中，要注意培养、发展学生的数感、符号感。用课本中旁注的示意图帮助学生理解符号f(x)的意义：对应法则f对自变量x作用。应强调函数符号“y＝f(x)”是“y是x的函数”的数学表示，它表示“f对x作用得到y”。对于一些特殊的简单函数f(x)，应尝试让学生根据解析式，用母语对对应法则“f”的含义进行解释。例如，对“函数f(x)＝2x＋1，x∈R”，其中对应法则“f”的含义是“2倍加1”，“函数f(x)”的含义是“实数x对应x的2倍加1”教学中，应让学生注意体会f(a)与f(x)的区别和联系。一般地，f(a)是f(x)在x＝a时的一个函数值，因此，f(a)是一个常数，而f(x)是一个变量。形式化、符号化，是数学的重要特征，用y＝f(x)这个等式来表示函数，不仅简单，而且也可以加深对函数概念本质的理解。主持人：那么张老师，在新课程理念下，如何引入函数的性质呢？张松年：学习函数的关键是学习函数的基本性质，会用符号描述、表示函数的性质。函数的基本性质包含定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性，这里主要指函数的单调性和奇偶性。认识函数的单调性、奇偶性，需要学生从图形的直观感受、生活体验出发，上升到数量关系的精确描述。因此，需要利用我们熟悉的函数创设数学情境，并逐步引导学生深入地认识。可以在列举生活中的实例，感受自然界中一些变化趋势、优美的对称结构的基础上，再结合已经学过的函数图象，让学生认识到研究函数性质的必要。例如，可以设计如下问题串：问题1：函数y＝2x中x的变化对y的变化有何影响？第一小问题，当x增大时，y怎样变化？函数的图象是由点组成的，如何用函数的图象的特征描述x，y的这一关系？如何用数学符号语言描述x，y的这一关系？第二个小问题，当x的取值相反时，y的取值如何？如何用图象的特征描述x，y的这一关系？如何用数学符号语言描述x，y的这一关系？问题2：如何用数量关系来描述函数y＝x2中x的变化对y的变化的影响？第一个小问题，当x增大时，y也随着增大吗？如何用函数图象的特征描述x，y的这一关系？如何用数学符号语言描述x，y的这一关系？第二个小问题，当x的取值相反时，y的取值如何？如何用图象的特征描述x，y的这一关系？如何用数学符号语言描述x，y的这一关系？问题3：你能否模仿描述函数y＝2x，y＝x2性质的方法，谈谈你对函数y＝的认识？这样的方法适用于描述其它函数的性质吗？在上述问题解决的基础上，抽象出偶函数与奇函数的概念。关于函数的奇偶性，教学中也可以通过提出如下问题进行引入：问题4：函数y＝f(x)，x∈D与函数y＝f(－x)，x∈D是同一个函数吗？答：一般地，函数y＝f(x)，x∈D与函数y＝f(－x)，x∈D是不一样的，但对于有些特殊的函数y＝f(x)，x∈D，函数y＝f(－x)，x∈D与y＝f(x)，x∈D是一样的，即对任意x∈D，都有f(－x)＝f(x)。也就是说，函数y＝f(x)，x∈D的对应法则f对定义域D上任意两个相反的量作用，得到相同的函数值。同样，对于有些特殊的函数y＝f(x)，x∈D，对应法则f对定义域D中任意两个相反的量作用，得到的函数值也相反，即f(－x)＝－f(x)，x∈D。从而导出偶函数、奇函数的定义。在说明函数的性质时，应逐步引导学生利用符号来描述，例如，对于函数的单调递增性，符号语言“对任意的x∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”是对自然语言“在区间I中，随着x的增大，f(x)也增大”的精确刻画。这样，学生在说明函数的单调性时，就有了一个形式化的模式，便于书写说明。教学时应结合具体内容，将“自然语言”和“符号语言”这两种描述方式进行对比，养成运用符号语言的习惯。主持人：张老师，关于“映射”概念的处理，新教材和以前的教材有了明显的区别，您能给我们介绍一下“映射”的教学要求吗？张松年：以前的教材是用映射来定义函数，而新教材则把映射看成是函数概念的推广。函数只能建立在数集上，而一般映射可以建立在任意集合上。显然，现在的处理是先特殊再一般，其目的是考虑与初中知识的衔接，同时更符合人的认知规律。映射中的问题背景和例子的安排，目的是从学生身边说起，再抽象到一般的字母，让学生体会到映射的一般性。值得注意是例题暗示了数字化的用意，看似平常，却反映了人们在探索、发明中的聪明才智。事实上，从数学的发展史上来看，是先有函数的概念，再有映射的概念，是通过对函数概念的一般化，得到了更一般的对应关系——映射。因此，映射比函数更抽象。相对而言，后一种处理方法更符合学生的认知规律，而且和初中内容的衔接也比较自然。新教材对映射的要求是：了解映射的概念，会借助图形理解映射的概念，并了解函数是一个非空数集到另一个非空数集的映射。因此，教学时应先从学生熟悉的对应入手，选择生活中和数学中的“一对一”、“一对多”、“多对一”、“多对多”的对应实例，通过图示，引导学生进行观察、比较，逐步归纳、概括出映射的基本特征，进而辨析映射和函数的关系。需要特别指出的是，新教材中没有涉及到象和原象的概念，更没有映射的分类和抽象的命名，教学中应加以注意，不要随意拓宽、加深。主持人：那么张老师，教材在习题中提供了很多“探究·拓展”的内容，比如在“映射的概念”这一节的习题中提供了一个有关纽扣的阅读题，对于这类习题应该如何处理呢？张松年：习题中“探究·拓展”内容设计的目的和要求，在教材前面的“致同学”中，说明得很清楚。为了激发学生探索数学的兴趣，学生在掌握基本内容后，可以选择一部分内容作探究，不要求每个学生都能解决。如果条件允许，可组织小组汇报、交流等，教师可以给予适当的指导和点评。“映射的概念”一节的习题中，有一个有关纽扣对应的阅读题，通过纽扣和扣眼的对应关系，不仅能使学生更加形象地理解映射的概念，而且感受了映射的分类，它让学生进一步体会到对应关系充斥在我们的周围。主持人：这节课，我们请张松年老师解读的问题有。1.在新课标理念下，如何进行函数概念的教学？2.在新课程理念下，如何引入函数的性质？3.关于“映射”概念的处理，新教材和以前的教材的明显的区别，张老师我们介绍了一下“映射”的教学要求。4.教材在习题中提供了很多探究拓展的内容，张老师以有关纽扣的阅读题为例，给我们介绍了一下这类习题的处理方式？那么张老师，您能否针对检测教学目标达成状况，给我们几道样题呢？张松年,我们来看一下下面几道题：1.求下列函数的定义域：

考查对函数定义域的理解，这是求函数定义域的最基本的模型。2.已知函数求下列各函数值：(1)f(－2)；

(2)f(1)；

(3)f(f(2))；

(4)f(f(－3)).考查对函数概念的理解和对应法则的理解。3.画出函数的图象，指出f(x)的单调区间，并证明你的结论。考查对函数的图象、单调性的理解。4.已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的表达式。考查对函数奇偶性的理解。主持人：谢谢张老师的讲解。在这里我们留给学员若干个问题，请大家课后讨论。1.初高中的“函数”含义有什么区别？教学中应如何做好衔接？2.函数的性质对研究函数的值域、最大(小)值有什么帮助？3.函数的形式化特点是从本章中哪几个方面体现出来的？4.本章中体现的主要数学思想方法有哪些？函数概念与基本初等函数I（2）

主持人：各位老师，大家好！江苏省高中数学网络培训课程—模块2-8—将邀请张松年老师予以解读，张松年老师是苏教版高中数学教材编写组成员南京市金陵中学高级教师南京市数学学科带头人这一讲将用2个课时就《函数概念与基本初等函数I》部分予以重点讨论。在上一讲当中，张老师主要为我们解读了下面几个问题：第一是在新课标理念下，如何进行函数概念的教学？第二是在新课程理念下，如何引入函数的性质？第三是关于“映射”概念的处理，新教材和老教材的这样一个明显的区别，介绍了一下“映射”的教学要求。第四是关于教材中很多探究拓展的内容，张老师以“映射的概念”这一节当中的一个有关纽扣的阅读题，谈了谈对这类习题的处理方式。今天这节课，我们将就如下问题进行讨论：1。关于指数函数、对数函数和幂函数的教学，应达到什么要求？2。教材在这一章安排了函数与方程的内容，有什么用意？3。关于函数模型及其应用的教学，应注意哪些问题？4。数据拟合是一个新内容，在以前的教材中从未涉及过，对这一部分内容的教学要求是什么？下面我们请张老师具体地讲解。主持人

张老师，请你先跟我们来谈一谈指数函数、对数函数幂函数这些内容应该达到什么样的要求呢？张松年：指数函数、对数函数、幂函数是与现实世界的密切联系的函数模型，是体验函数模型运用过程和方法的重要载体。要通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质，了解并掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质。从指数、指数函数到对数、对数函数，是一种相似；从指数函数到幂函数，是另外一种相似。根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础。学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则。有了这些知识作准备，通过实际问题引出分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，用分数指数幂表示根式，再类比整数指数幂的意义、运算性质，对分数指数幂的意义、运算性质做了严格的规定。这样，就将根式的运算转化成了分数指数幂的运算，从而将根式运算转化为分数运算，简化了运算过程，降低了难度。

由于知识的局限性，对于实数指数幂的意义和运算，教材没有做严格的阐述，只是在“阅读”材料中，通过对的意义的探究，介绍有理指数幂逼近无理指数幂，让学生感觉到“当底数为正数时，实数指数幂也是有意义的，也是一个实数。分数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用”，从而将指数的范围扩充到实数。教学中，应给学生留下想象的空间，不要做过高的要求和不必要的介绍。对数的本质还是指数，这是在不同的情境下指数的另一种身份。要让学生认识到，在N＝ab(其中N，a＞0，b∈R)中，在这个里面三个量a，b，N是相关的，只要知道其中的两个量，就可以求出第三个量。“知道a，b，求N”与“知道N，b，求a”都是求幂的问题，而“知道a，N，求b”的问题，就是求对数的问题。应知道学生认知分析、比对下列关系图，弄清楚指数幂与对数之间的关系。

指数函数、对数函数、幂函数是形式化的定义，不要过分强调这种形式化，要求学生判断一些函数是不是某类函数，如“y=22x是不是指数函数”等，其实，这种形式的函数是不是指数函数与底数是有关系的，如“y=22x不是以2为底的指数函数，但它是以4为底的指数函数”。在知识的呈现方式上，不要过度强调理性推导。指数函数、对数函数、幂函数的性质是通过它们的图象直观体现的，由于知识的局限性，还不可能进行严格的代数论证。掌握函数的图形，对了解和掌握函数的性质具有形象、生动的优势，因此，应教会学生画、观察这些函数的图象，有意识通过函数的图象的直观性来寻找解决问题的方法。关于“反函数”的概念，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，只要说明定义“对于某个常数a（a＞0，a≠1），指数函数y=ax和对数函数y＝logax互为反函数”，即“两个底数相同的指数函数与对数函数互为反函数”。对一般的反函数概念不作要求。互为反函数的两个函数的图象间关于直线y＝x对称的性质，只通过具体函数来讨论。幂函数是生活中既熟悉又陌生的一类函数模型，这是因为它普遍存在于我们身边，有着广泛的实际应用；它的解析式虽然简单，但其性质却比较复杂。新教材对幂函数y＝xn只限于研究n＝－1，1，2，3，1/2时，几个具体函数图象的变化情况和性质。由于学生已经有了学习指数函数、对数函数的经历，给出幂函数的概念后，可以让学生画出五个幂函数的图象，再根据幂函数的图象，合作探究幂函数的性质。事实上，只要学生弄清楚了这几个幂函数的图象和性质，对于n取其他分数时幂函数的图象和性质也能研究。至于指数的变化对幂函数图象和性质的影响，有条件的学校，可以利用Excel、几何画板等工具作动态演示，让学生有感性认识即可。教材中留有许多思考和旁白，没有做过多的研究，对一些问题的解决过程也是没有作详细的阐述，旨在为学生的合理探索留下了空间，为学有余力的学生提供继续发展的平台。在教学过程中，可以根据实际情况，适当地让学生进行探索、交流、合作、比较。通过指数函数、对数函数的相似性研究和整体化处理，达到螺旋上升的目的。主持人：张老师，关于函数模型及其应用的教学，我们应该注意哪些问题呢？张松年：函数模型及其应用主要是指建立函数模型解决实际问题，分四个层次：一、建立函数模型，刻画实际问题；二、给出半数学化的函数模型，利用初始量和待定系数法确定函数模型，解决实际问题；三、根据已知的一些函数模型，建立新的函数模型，解决实际问题；四、根据实际背景建立新的函数模型，解决实际问题。教材通过三个例题，介绍了前三个层次，第四个层次给学生留下空间，在练习中体现。利用函数知识解决实际问题的一般程序是：实际问题->函数模型->数学解决->回归实际。其中建立函数模型(建模)是关键，包括信息提取(分析问题中存在的“数”的特性)、引进符号、建立目标函数(将普通语言“翻译”成数学语言)三个方面。建立函数模型的关键是找出变量之间的依赖关系，而寻找变量之间的依赖关系之前，必须确定哪些量是不变的，哪些量是变的。必须注意的是：不能忽视函数的定义域，定义域由实际意义来决定。数学解决包括分析模型(建模)、解决模型(解模)两个方面，即分析、研究函数模型的性质，利用函数的性质解决值域、求值、变化趋势、最优化等等问题。回归实际就是作答，即将数学化解决的结果再实际化。总之，利用函数知识解决实际问题实际上就是两次“翻译”：将普通语言“翻译”成数学语言和将数学结论“翻译”成实际结果。主持人：张老师，教材当中在这一章专门安排了一个函数与方程的内容，那么这一个是什么用意呢？张松年：教材在这一章安排了函数与方程的内容的用意是：通过一元二次方程的解的几何意义、用二分法求一些简单方程的近似解等实例，了解函数与方程之间的关系，会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力。求方程的近似解，是函数知识、思想、方法的具体应用，目的是体会函数与方程的有机联系，达到培养创新思维和理性思维的目的。“二分法”是求方程近似解的一种常见的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度，解决一些实际问题。教学时应注意：重在对原理的认识，在体现基本初等函数工具性作用时，突出理性分析和推理过程，会用函数的知识、方法结合函数的图象判断方程的解所在的范围，能进行初步的估算，在精度上不要对学生提出要求。主持人：那么张老师，“数据拟合”是一个新内容，在以前的教材中从未涉及，那么对这一部分内容的教学要求是什么？张松年：教材把数据拟合列为链接内容，有条件的学校可以选择使用。本节内容主要通过实际问题说明数据拟合在预测、规划方面的应用，初步感受运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的一些简单问题