人教版初中数学《全等之倍长中线定理》专题突破含答案解析

专题04全等之倍长中线定理一、单选题1．（2021·福建德化县·）已知AD是△ABC中BC边的中线，若AB＝4，AD＝3，则AC的长可以是（）A．11 B．11 C．10 D．9【答案】D【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．【详解】解：延长AD至E，使DE=AD=3，连接CE．∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB=4．在△ACE中，AE=2AD=6，CE=4AE-CE＜AC＜AE+CE，即6-4＜AC＜6+4，∴2＜AC＜10．∴AC的长可以是9故选：D．【点睛】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．2．（2020·武汉市卓刀泉中学八年级月考）已知△ABC，AB=4，AC=2，BC边上的中线AD长度可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】画出示意图，根据倍长中线证明全等，再结合三角形的三边关系分析即可．【详解】如图所示，AD为BC边上的中线，BD=CD，延长AD至E，使得AD=DE，连接CE，则∠ADB=∠CDE，∴，∴AB=CE=2，则在△ACE中，，即：，∴，B选项符合要求，故选：B．【点睛】本体主要考查了倍长中线构造辅助线的应用，灵活将中线转换为三角形的一边从而结合三角形的三边关系分析是解题关键．3．（2020·沙洋县纪山中学八年级月考）已知AD是△ABC中线，AB＝12，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围分别是（）A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜10 C．4＜AD＜20 D．2＜AD＜12【答案】A【分析】中线AD的取值范围可延长AD至点E，使AD=DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解．【详解】解：如图所示，

在△ABC中，则AB-AC＜BC＜AB+AC，

即12-8＜BC＜12+8，4＜BC＜20，

延长AD至点E，使AD=DE，连接BE，

∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD=CD，

又∠ADC=∠BDE，AD=DE

∴△ACD≌△EBD（SAS），

∴BE=AC，

在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，即AB-AC＜AE＜AB+AC，

12-8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，

∴2＜AD＜10．

故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够理解掌握并熟练运用．4．（2020·江苏赣榆区·赣榆实验中学八年级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是()

A．6<AD<8 B．2<AD<4 C．1<AD<7 D．无法确定【答案】C【分析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接BE，利用SAS易证△ADC≌△EDB，从而可得AC=BE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得AB-BE＜AE＜AB+BE，从而易求1＜AD＜7．【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图所示：∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE=AC=6，在△AEB中，AB-BE＜AE＜AB+BE，即8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选：C．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键．5．（2021·全国八年级课时练习）如图，是的边上的中线，，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长至点E，使，连接，证明，可得，然后运用三角形三边关系可得结果．【详解】如图，延长至点E，使，连接．∵为的边上的中线，∴，在和中，∴，∴．在中，，即，∴，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三角形是解题的关键．6．（2021·浙江浙江省·）在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3”．小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半”．对以上两位同学的说法，你认为（）A．两人都不正确 B．小慧正确，小峰不正确C．小峰正确，小慧不正确 D．两人都正确【答案】A【分析】先分别假设这两个说法正确，先根据三角形高和中线的性质即可判断正误．【详解】解：假设存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3，根据等积法，得到此三角形三边比为6：3：2，这与三角形三边关系相矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在；假设存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半，延长中线成2倍，利用三角形全等，可得到三角形中线的2倍不小于（大于等于）其他两边之和，这与三角形三边关系矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在；故选A．【点睛】本题考查了三角形的高及中线、等积法、三角形三边关系．等积法：两个三角形等底等高，则面积相等，由此可以推得：两个三角形高相等，底成倍数，面积也成同样的倍数关系；同理，两个三角形底相等、高成倍数关系、面积也成同样的倍数关系；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握以上知识点是解题的关键．7．（2021·河南红旗区·新乡学院附属中学八年级月考）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4【答案】B【分析】先延长到，且，并连接，由于，，利用易证，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，可得，从而易求．【详解】解：延长到，使，连接，则AE=2AD，∵，，，∴，，在中，，即，∴．故选：．【点睛】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．8．（2020·湖北黄陂区·八年级期末）如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（）A．5 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】延长AD到E，使AD=DE，证明△ADC≌△EDB，然后利用三边关系即可得出结论．【详解】解：延长AD到E，使AD=DE=4，连接BE，∵D是BC的中点，∴BD=CD又∠BDE=∠CDA∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC=3由三角形三边关系得，即：故选：A【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．（2021·湖北江岸区·八年级期末）已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是______．【答案】1＜x＜3【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．【详解】解：如图所示，AB＝2，AC＝4，延长AD至E，使AD＝DE，在△BDE与△CDA中，∵AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，∴△BDE≌△CDA，∴AE＝2x，BE＝AC＝4，在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即4﹣2＜2x＜4+2，∴1＜x＜3．故答案为：1＜x＜3．【点睛】本题考查了三角形的中线、三角形三边关系，有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．10．（2020·武汉市六中位育中学八年级月考）如图，在中，，，则中线的取值范围是__________．【答案】2＜AD＜7【分析】作出图形，延长AD至E，是DE=AD，连接CE，然后根据“边角边”证明△ABD和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后利用三角形任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，从而得解．【详解】解：如图，延长AD至E，是DE=AD，连接CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AB=9，AC=5，9-5=4，9+5=14，∴4＜AE＜14，∴2＜AD＜7．故答案为：2＜AD＜7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，将中线AD延长得AD=DE进而求出是解题的关键．11．（2020·上海市松江区民办茸一中学）在△ABC中，AB=6，AC=4，AD是边BC的中线，则中线AD的长度取值范围是_________．【答案】1＜AD＜5【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．【详解】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△ADC和△EDB中，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴EB＝AC＝4，

∵AB＝6，

∴2＜AE＜10，

∴1＜AD＜5．

故答案为：1＜AD＜5．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．12．（2020·重庆巴川中学校八年级期中）如图，在中，，，D为中点，则线段的范围是______．【答案】【分析】延长至，使，根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出的范围，然后求解即可．【详解】解：如图，延长至，使，是中边上的中线，，在和中，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．13．（2021·广东实验中学越秀学校）如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，若AD的长为偶数，则AD＝_____．【答案】2或4【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得CE＝AB＝6，由三角形的三边关系可得1＜AD＜5，即可求解．【详解】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝6，在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，∵AD为偶数，∴AD＝2或4，故答案为2或4．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，关键是根据倍长中线这个辅助线作法得到三角形全等，进而求解即可．14．（2019·山东陵城区·八年级期末）如图，AD是ABC中BC边上的中线，若AB＝5，AC＝8，则AD的取值范围是_____．【答案】1.5<AD<6.5．【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

在△ABD和△ECD中,

∵，

∴△ABD≌△ECD(SAS),

CE=AB，

∵AB=5，AC=8，

∴8-5<AE<8+5，即

3<2AD<13，

∴1.5<AD<6.5，故答案为：1.5<AD<6.5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．15．（2021·全国八年级专题练习）如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=6，则AD的取值范围是__________【答案】2＜AD＜4【分析】此题要倍长中线，再连接，构造全等三角形．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ADC与△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB=AC，根据三角形的三边关系定理：6-2＜AE＜6+2，∴2＜AD＜4，故AD的取值范围为2＜AD＜4．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出6-2＜AE＜6+2是解此题的关键．16．（2020·四川涪城区·东辰国际学校八年级期末）已知在△ABC中，AB＝9，中线AD＝4，那么AC的取值范围是____【答案】1＜AC＜17【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出AC的取值范围．【详解】如图，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝CE，∵AD＝4，∴AE＝4+4＝8，∵AC+CE＞AC＞CE-AE，∴9-8＜AC＜8+9，∴1＜AC＜17，故答案为：1＜AC＜17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．17．（2020·安徽黄山市·）在中，，，是的中线，设长为，则的取值范围是______．【答案】【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据三角形的三边关系定理即可得．【详解】如图，延长AD至点E，使，连接CE，则，是的中线，，在和中，，，，在中，由三角形的三边关系定理得：，，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．18．（2020·克山县第二中学校八年级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，若AB=4，AC=6，则AD的取值范围是___________．【答案】【分析】延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，则可用SAS证明△DAC≌△DEB，进而得BE=AC，然后根据三角形的三边关系可得AE的取值范围，从而可得答案．【详解】解：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，如图，

∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，DC=DB，∴△DAC≌△DEB，所以BE=AC，在△ABE中，∵BE-AB＜AE＜BE+AB，即6-4＜AE＜6+4，所以2＜AE＜10，又AE=2AD，所以2＜2AD＜10，则1＜AD＜5；故答案为1＜AD＜5．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当题目中有三角形的中线时，如果需要添加辅助线，一般考虑把中线延长一倍（通常称“倍中线法”），构造全等三角形，将已知条件或要解决的问题集中到一个三角形中．三、解答题19．（2019·沂源县中庄中学）仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围.解：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.因为AD为△ABC的中线，所以BD=CD．在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________).所以BE=AC(_____________________).因为AB+BE>AE(_____________________)，所以AB+AC>AE.因为AE=2AD=8cm，所以AB+AC>_______cm.【答案】答案见解析【分析】根据三角形全等的判定与性质以及三角形的内角和，即可得出答案.【详解】解：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.因为AD为△ABC的中线，所以BD=CD.在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS).所以BE=AC(全等三角形的性质).因为AB+BE>AE(两边之和大于第三边)，所以AB+AC>AE.因为AE=2AD=8cm，所以AB+AC>8cm.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及三角形边的性质，需要熟练掌握各种性质与定理.20．（2021·北京房山区·八年级期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．【答案】（1）见解析；（2），见解析【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；（2）延长至点，使得，连接，可证得，则，再通过证明，可得到，从而得到即可．【详解】（1）如图所示：（2）如图，判断：证明如下：延长至点，使得，连接在和中，∵∴∴∵∴∵∴∵AD平分∠BAC∴在和中，∵∴∴又∵∴【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．21．（2020·四川成都市·天府四中七年级期中）如图，中，是边的中点，过点作交的延长线于点．求证:是的中点．证明:(已知)，_(两直线平行，内错角相等)，是边的中点，(_），(_），在和中，，()，(全等三角形的对应边相等)，是的中点．【答案】；线段中点的定义；【分析】利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合平行线的性质进行论证．【详解】证明:(已知)，(两直线平行，内错角相等)，是边的中点，(线段中点的定义)，在和中，，(全等三角形的对应边相等)，是的中点．【点睛】本题考查了类倍长中线的模型，能够通过平行结合中点问题，推出三角形全等，是解决问题的关键．22．（2018·湖北孝南区·八年级期中）如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．（1）试证明：△ACD≌△EBD；（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【分析】（1）根据中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD．（2）延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，根据SAS证△ADC≌△FDB，推出BF＝AC，∠CAD＝∠F，根据AM＝GM，推出∠CAD＝∠AGM＝∠BGF，求出∠BGF＝∠F，根据等腰三角形的性质求出即可．【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）．（2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，∵AD是△ABC中线，∴BD＝DC，∵在△ADC和△FDB中，∴△ADC≌△FDB（SAS），∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，∵AM＝GM，∴∠CAD＝∠AGM，∵∠AGM＝∠BGF，∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，∴BG＝BF＝AC，即BG＝AC．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.23．（2019·呼和浩特市实验中学八年级期中）（1）是的中线，，则的取值范围是__________．（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，是的中线，交于，交于，且，求证：．【答案】（1）（2）见解析【分析】（1）根据倍长中线法将AD延长一倍，再证△ADC≌△GDB，根据三角形的三边关系即可求出AG的取值范围，从而求出AD的取值范围；（2）由（1）中结论：△ADC≌△GDB，即可得到：AC=BG，∠CAD=∠G，再根据等腰三角形的性质和判定即可得到BG=BF=AC.【详解】（1）将AD延长至G，使AD=DG，连接BG，如下图所示：在△ADC和△GDB中∴△ADC≌△GDB∴AC=BG=6在△ABG中∴∴（2）将AD延长至G，使AD=DG，连接BG，如下图所示：由（1）中结论：△ADC≌△GDB∴AC=BG，∠CAD=∠G又∵，∴，∴∵∴∴BG=BF=AC【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性质，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.24．（2020·宜春市宜阳学校八年级月考）阅读理解：（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可，（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三边关系，（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，【详解】（1）如图1延长到点，使得，再连接，∵AD为中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，由D为BC中点，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，FD=GD，∴△FCD≌△GBD（SAS），∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键，25．（2021·湖北曾都区·）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是；（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析【分析】（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围；（2）延长到点使，连接，由（1）