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文档简介
2022年高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式有解,则的取值范围是()A. B.C. D.2.已知向量,,则与的夹角为()A. B. C. D.3.已知角的终边经过点,则A. B.C. D.4.下列与函数定义域和单调性都相同的函数是()A. B. C. D.5.甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙、丙、丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.6.已知过点且与曲线相切的直线的条数有().A.0 B.1 C.2 D.37.已知(为虚数单位,为的共轭复数),则复数在复平面内对应的点在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.若执行如图所示的程序框图,则输出的值是()A. B. C. D.49.将函数的图象先向右平移个单位长度,在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,若函数在上没有零点,则的取值范围是()A. B.C. D.10.函数(),当时,的值域为,则的范围为()A. B. C. D.11.若,则的值为()A. B. C. D.12.已知复数为虚数单位),则z的虚部为()A.2 B. C.4 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知三棱锥中,,,则该三棱锥的外接球的表面积是________.14.圆关于直线的对称圆的方程为_____.15.已知的终边过点,若,则__________.16.在回归分析的问题中,我们可以通过对数变换把非线性回归方程,()转化为线性回归方程,即两边取对数,令,得到.受其启发,可求得函数()的值域是_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知奇函数的定义域为,且当时,.(1)求函数的解析式;(2)记函数,若函数有3个零点,求实数的取值范围.18.(12分)已知函数.(1)若,求证:.(2)讨论函数的极值;(3)是否存在实数,使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.19.(12分)已知函数,其中,.(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由.(2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围.20.(12分)设函数,,(Ⅰ)求曲线在点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.21.(12分)过点作倾斜角为的直线与曲线(为参数)相交于M、N两点.(1)写出曲线C的一般方程;(2)求的最小值.22.(10分)在直角坐标系中,点的坐标为,直线的参数方程为(为参数,为常数,且).以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系,圆的极坐标方程为.设点在圆外.(1)求的取值范围.(2)设直线与圆相交于两点,若,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
先求导得(),由于函数有两个不同的极值点,,转化为方程有两个不相等的正实数根,根据,,,求出的取值范围,而有解,通过分裂参数法和构造新函数,通过利用导数研究单调性、最值,即可得出的取值范围.【详解】由题可得:(),因为函数有两个不同的极值点,,所以方程有两个不相等的正实数根,于是有解得.若不等式有解,所以因为.设,,故在上单调递增,故,所以,所以的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围,以及运用分离参数法和构造函数法,还考查分析和计算能力,有一定的难度.2.B【解析】
由已知向量的坐标,利用平面向量的夹角公式,直接可求出结果.【详解】解:由题意得,设与的夹角为,,由于向量夹角范围为:,∴.故选:B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角,注意向量夹角的范围.3.D【解析】因为角的终边经过点,所以,则,即.故选D.4.C【解析】
分析函数的定义域和单调性,然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性,由此确定正确选项.【详解】函数的定义域为,在上为减函数.A选项,的定义域为,在上为增函数,不符合.B选项,的定义域为,不符合.C选项,的定义域为,在上为减函数,符合.D选项,的定义域为,不符合.故选:C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性,属于基础题.5.B【解析】
将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【详解】设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,,,,,,,,,,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,故选:B.【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.6.C【解析】
设切点为,则,由于直线经过点,可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率,建立关于的方程,从而可求方程.【详解】若直线与曲线切于点,则,又∵,∴,∴,解得,,∴过点与曲线相切的直线方程为或,故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,求解曲线的切线的方程,其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.7.D【解析】
设,由,得,利用复数相等建立方程组即可.【详解】设,则,所以,解得,故,复数在复平面内对应的点为,在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的几何意义,涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.8.D【解析】
模拟程序运行,观察变量值的变化,得出的变化以4为周期出现,由此可得结论.【详解】;如此循环下去,当时,,此时不满足,循环结束,输出的值是4.故选:D.【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构.解题时模拟程序运行,观察变量值的变化,确定程序功能,可得结论.9.A【解析】
根据y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,根据定义域求出的范围,再利用余弦函数的图象和性质,求得ω的取值范围.【详解】函数的图象先向右平移个单位长度,可得的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象,∴周期,若函数在上没有零点,∴,∴,,解得,又,解得,当k=0时,解,当k=-1时,,可得,.故答案为:A.【点睛】本题考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换及零点问题,此类问题通常采用数形结合思想,构建不等关系式,求解可得,属于较难题.10.B【解析】
首先由,可得的范围,结合函数的值域和正弦函数的图像,可求的关于实数的不等式,解不等式即可求得范围.【详解】因为,所以,若值域为,所以只需,∴.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的值域,熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.11.C【解析】
根据,再根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为,所以二项式的展开式的通项公式为:,令,所以,因此有.故选:C【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了二项式展开式通项公式的应用,考查了数学运算能力12.A【解析】
对复数进行乘法运算,并计算得到,从而得到虚部为2.【详解】因为,所以z的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念,计算过程要注意.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
将三棱锥补成长方体,设,,,设三棱锥的外接球半径为,求得的值,然后利用球体表面积公式可求得结果.【详解】将三棱锥补成长方体,设,,,设三棱锥的外接球半径为,则,由勾股定理可得,上述三个等式全部相加得,,因此,三棱锥的外接球面积为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算,根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键,考查推理能力,属于中等题.14.【解析】
求出圆心关于直线的对称点,即可得解.【详解】的圆心为,关于对称点设为,则有:,解得,所以对称后的圆心为,故所求圆的方程为.故答案为:【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程,关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标.15.【解析】
】由题意利用任意角的三角函数的定义,求得的值.【详解】∵的终边过点,若,.即答案为-2.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式,属基础题.16.【解析】
转化()为,即得解.【详解】由题意:().故答案为:【点睛】本题考查类比法求函数的值域,考查了学生逻辑推理,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)【解析】
(1)根据奇函数定义,可知;令则,结合奇函数定义即可求得时的解析式,进而得函数的解析式;(2)根据零点定义,可得,由函数图像分析可知曲线与直线在第三象限必1个交点,因而需在第一象限有2个交点,将与联立,由判别式及两根之和大于0,即可求得的取值范围.【详解】(1)因为函数为奇函数,且,故;当时,,,则;故.(2)令,解得,画出函数关系如下图所示,要使曲线与直线有3个交点,则2个交点在第一象限,1个交点在第三象限,联立,化简可得,令,即,解得,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求解析式,分段函数图像画法,由函数零点个数求参数的取值范围应用,数形结合的应用,属于中档题.18.(1)证明见解析;(2)见解析;(3)存在,1.【解析】
(1),求出单调区间,进而求出,即可证明结论;(2)对(或)是否恒成立分类讨论,若恒成立,没有极值点,若不恒成立,求出的解,即可求出结论;(3)令,可证恒成立,而,由(2)得,在为减函数,在上单调递减,在都存在,不满足,当时,设,且,只需求出在单调递增时的取值范围即可.【详解】(1),,,当时,,当时,,∴,故.(2)由题知,,,①当时,,所以在上单调递减,没有极值;②当时,,得,当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.故在处取得极小值,无极大值.(3)不妨令,设在恒成立,在单调递增,,在恒成立,所以,当时,,由(2)知,当时,在上单调递减,恒成立;所以不等式在上恒成立,只能.当时,,由(1)知在上单调递减,所以,不满足题意.当时,设,因为,所以,,即,所以在上单调递增,又,所以时,恒成立,即恒成立,故存在,使得不等式在上恒成立,此时的最小值是1.【点睛】本题考查导数综合应用,涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明,考查分类讨论思想,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.19.(1)答案见解析(2)【解析】
(1)假设函数的图象与x轴相切于,根据相切可得方程组,看方程是否有解即可;(2)求出的导数,设(),根据函数的单调性及在处取得极大值求出a的范围即可.【详解】(1)函数的图象不能与x轴相切,理由若下:.假设函数的图象与x轴相切于则即显然,,代入中得,无实数解.故函数的图象不能与x轴相切.(2)(),,设(),恒大于零.在上单调递增.又,,,∴存在唯一,使,且时,时,①当时,恒成立,在单调递增,无极值,不合题意.②当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.③当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递增,在内单调递减,所以在处取得极大值,符合题意.此时由得即,综上可知,实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,属于难题.20.(1)(2)【解析】分析:(1)先断定在曲线上,从而需要求,令,求得结果,注意复合函数求导法则,接着应用点斜式写出直线的方程;(2)先将函数解析式求出,之后借助于导数研究函数的单调性,从而求得函数在相应区间上的最值.详解:(Ⅰ)当,.,当,,所以切线方程为.(Ⅱ),,因为,所以.令,,则在单调递减,因为,所以在上增,在单调递增.,,因为,所以在区间上的值域为.点睛:该题考查的是有关应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,曲线在某个点处的切线方程的求法,复合函数求导,函数在给定区间上的最值等,在解题的过程中,需要对公式的正确使用.21.(1);(2).【解析】
(1)将曲线的参数方程消参得到普通方程;(2)写出直线MN的参数方程,将参数方程代入曲线方程,并将其化为一个关于的一元二次方程,根据,结合韦达定理和余弦函数的性质,即可求出的最小值.【详解】(1)由曲线C的参数方程(是参数),可得,即曲线C的一般方程为.(2)直线MN的参数方程为(t为参数),将直线MN的参数方程代入曲线,得,整理得,设M,N对应的对数分别为,,则,当时,取得最小值为.【点睛】该题考查的是有关参数方程的问题,涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化,直线的参数方
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