(结构动力学2)运动方程的建立35解析

构造动力学

〔2023〕构造动力学

其次章运动方程的建立运动方程：描述构造中力与位移关系的数学表达式〔有时称动力方程〕运动方程是进展构造动力分析的根底运动方程的建立是构造动力学的重点，也是难点2.1根本动力体系单自由度体系：SDOF〔Single－Degree－of－Freedom－System〕构造的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定分析单自由度体系的意义：第一，单自由度系统包括了构造动力分析中涉及的全部物理量及根本概念。其次，很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进展分析计算。图2.1构造动力分析中常用的单自由度体系力学模型2.1根本动力体系

〔a〕单层框架构造〔b〕弹簧―质点体系图2.1构造动力分析中常用的单自由度体系力学模型两个典型的单自由度体系物理元件：集中质量m阻尼系数c弹簧刚度k两个力学模型完全等效两个体系的运动方程一样2.1根本动力体系1.惯性力〔InertialForce〕惯性：保持物体运动状态的力量惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。I—惯性〔Inertial〕；m—质量〔mass〕；ü—质点的加速度。2.1根本动力体系2.弹簧的恢复力〔ResistingForceofSpring〕对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移〔弹簧变形〕的乘积，方向指向体系的平衡位置。s—表示弹簧〔Spring〕k—弹簧的刚度〔SpringStiffness〕u—质点位移2.1根本动力体系单层框架构造的水平刚度h—框架构造的高度E—弹性模量Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩

ρ→∞：

ρ→0

：2.1根本动力体系3.阻尼力〔DampingForce〕阻尼：引起构造能量的耗散，使构造振幅骤渐变小的一种作用阻尼来源〔物理机制〕：(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散；(2)构造连接部位的摩擦，构造构件与非构造构件之间的摩擦；(3)构造四周外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。粘滞(性)阻尼力可表示为：D—阻尼〔damping〕c—阻尼系数〔Dampingcoefficient〕ù—质点的运动速度2.1根本动力体系阻尼系数c确实定：不能像构造刚度k那样可通过构造几何尺寸、构件尺寸等来获得，由于c是反映了多种耗能因素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过构造原型振动试验的方法得到。粘滞(性)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简洁的一种。其它常用的阻尼：摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数；滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比〔相位与速度一样〕；流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。滞变阻尼——时滞阻尼——复阻尼2.1根本动力体系4.线弹性体系和粘弹性体系(LinearlyElasticSystemandViscousElasticSystem)线弹性体系：由线性弹簧〔或线性构件〕组成的体系。—最简洁的抱负化力学模型。粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼的影响时的体系。—构造动力分析中的最根本力学模型。2.1根本动力体系5.非弹性体系(InelasticSystem)构造构件的力—变形关系为非线性关系，构造刚度不再为常数构件〔或弹簧〕的恢复力可表示为fs是位移和速度的非线性函数。图2.6非弹性体系中构造构件的力与位移关系2.2运动方程的建立1.利用牛顿〔Newton〕其次定律

图2.7单质点体系的受力分析单质点体系运动时要满足的掌握方程—运动方程2.2运动方程的建立利用牛顿其次定律的优点：牛顿其次定律是基于物理学中已有学问的直接应用

以人们最简洁承受的学问建立体系的运动方程

2.2运动方程的建立2.D’Alembert原理〔直接动力平衡法〕D’Alembert原理：在体系运动的任一瞬时，假设除了实际作用构造的主动力〔包括阻尼力〕和约束反力外，再加上〔假想的〕惯性力，则在该时刻体系将处于假想的平衡状态〔动力平衡〕。

图2.8单质点体系的受力分析2.2运动方程的建立2.D’Alembert原理〔直接动力平衡法〕D’Alembert原理的优点：静力问题是人们所生疏的，有了D’Alembert原理之后，形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中用来建立控制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平衡方程，使对动力问题的思考有肯定的简化。对很多问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程的最直接、最简便的方法。D’Alembert原理的奉献：建立了动力平衡概念2.2运动方程的建立3.虚位移原理虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。设体系发生一个虚位移δu平衡力系在δu上做的总虚功为:

图2.8单质点体系的受力分析2.2运动方程的建立3.虚位移原理虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析的根底之上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因而比Newton其次定律，或D’Alembert原理中需要承受的矢量运算更简便。对如以下图所示构造体系，用虚位移原理建立方程更简便一些

2.2运动方程的建立4.Hamilton原理应用变分法来建立构造体系的运动方程。动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值,一般是微小值。Hamilton原理：在任意时间区段[t1,t2]内，体系的动能和位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。其中：T——体系的总动能；V——体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；Wnc——作用于体系上非保守力〔包括阻尼力及任意外荷载〕所做的功；δ——指〔在指定时间段内〕所取的变分。

图2.8单质点体系的受力分析2.2运动方程的建立4.Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)

Hamilton原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标量，即能量。而在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。动能：集中质量转动质量位能：拉伸弹簧转动弹簧多自由度体系：动能位能2.2运动方程的建立4.Hamilton原理(用Hamilton原理建立单自由度弹簧－质量体系的运动方程)体系的动能：位能(弹簧应变能)：因此能量的变分非保守所做的功的变分(等于非保守力在位移变分上作的功)将以上两式代入Hamilton原理的变分公式，得：对上式中的第一项进展分部积分2.2运动方程的建立5.运动的Lagrange方程(微分形式的动力问题的变分原理)其中：T——体系的动能；V——体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；Pncj——与uj相应的非保守力〔包括阻尼力及任意外荷载〕。2.2运动方程的建立5.运动的Lagrange方程用：Hamilton原理推导：Lagrange方程

2.2运动方程的建立5.运动的Lagrange方程

用Lagrange方程方程建立体系的运动方程体系的动能：

体系的位能：非保守力：因此，代入Lagrange方程：再一次得到体系的运动方程：2.2运动方程的建立五种建立运动方程的方法的特点牛顿其次定律是基于物理学中已有学问的直接应用，有助于理解和承受D’Alembert原理。D’Alembert原理是一种简洁、直观的建立运动方程的方法，得到广泛的应用。更重要的是D’Alembert原理建立了动平衡的概念，使得在构造静力分析中的一些方法可以直接推广到动力问题。当构造具有分布质量和弹性时，直接应用D’Alembert原理，用动力平衡的方法来建立体系的运动方程可能是困难的。虚位移原理局部避开了矢量运算，在获得体系虚功后，可以承受标量运算建立体系的运动方程，简化了运算。Hamilton原理是一种建立运动方程的能量方法〔积分形式的变分原理〕，假设不考虑非保守力作的功〔主要是阻尼力〕，它是完全的标量运算，但实际上直接承受Hamilton原理建立运动方程并不多。Hamilton原理的奇妙在于它以一个极为简洁的表达式概括了简单的力学问题。Lagrange方程得到更多的应用，它和Hamilton原理一样，除非保守力〔阻尼力〕外，是一个完全的标量分析方法，不必直接分析惯性力和保守力〔主要是弹性恢复力〕，而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象，关于阻尼力实际上它一般不是通过数学推理分析，从材料、构造构件的几何尺寸等推演得到的，而往往是通过试验、测试的方法得到〔至少对构造动力学是如此〕，因此，由阻尼产生的非保守力引起的困难并不大。这可能与纯粹的连续介质力学很不同，连续介质力学阻尼主要由介质本身引起，而构造动力学阻尼来源更广、更简单，无法简洁推出，而承受试验加假设方法。阻尼系数由实测或阅历给出。2.2运动方程的建立表2.1给出了以上介绍的五种建立运动方程的方法的特点

2.2运动方程的建立单自由度体系的运动方程单自由度系统运动方程反映了构造动力学中将遇到的几乎全部的物理量(1)质量m,和惯性力：(2)阻尼c,和阻尼力：(3)刚度k,和弹性恢复力：对于多自由度体系：2.3重力的影响静平衡位置：受动力作用以前构造所处的实际位置Δst——重力W=mg作用系的静位移记：动位移为u惯性力、阻尼力和弹性恢复力分别为：外荷载为：应用D’Alembert原理：2.3重力的影响1、考虑重力影响时，构造体系的运动方程与无重力影响时的运动方程完全一样，此时u是由动荷载引起的动力反响。可见在争论构造的动力反响时，可以完全不考虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求解动力荷载作用下的运动方程，即得到构造体系的动力解。2、当需要考虑重力影响时，构造的总位移=静力解+动力解，即应用叠加原理。在构造反响问题中，应用叠加原理可将静力问题〔一般是重力问题〕和动力问题分开计算，将其结果相加即得到构造的总体反响。3、同时也要留意到，并不是对任何构造动、静力反响问题都可以这样处理，由于在以上推导中，假设弹簧的刚度k为常数，即构造是线弹性的，因此只有对线弹性构造〔假设是二维或三维问题，还要加上小变形〔位移〕的限制〕才可以使用叠加原理，将静力、动力问题分开考虑。4、应当留意的是，在以上推导过程中，假设悬挂的弹簧―质点体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧的弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力始终被弹性变形所平衡。假设重力的影响没有预先被平衡，则在施加动力荷载产生进一步变形后，可以产生二阶影响问题，例如P―Δ效应。最简洁的例子是倒立摆，当倒立摆产生水平振动后，摆的重力引起的附加弯矩是一个新的量，它并没有预先被平衡，将对体系的动力反响产生影响，这种影响必定反映到构造的运动方程中。2.4地基运动的影响地基运动问题：构造的动力反响不是由直接作用到构造上的动力引起的，而是由于构造根底的运动引起的。ug——地基位移，是的u——相对位移，反映构造形变ut=u+ug——确定位移。

惯性力：阻尼力：弹性恢复力：外荷载为0应用D’Alembert原理相对运动方程：其中：重力和地基运动的影响以上结合单自由度构造体系给出了不同影响因素下构造运动方程的建立方法，虽然例题极为简洁，但包含了最根本的概念和原理。以后会涉及到更简单的构造体系，例如构造构造简单、自由度多，包含连续分布的质量，地震多方向〔多维〕和多点〔在构造不同的支承处的地面运动不全都〕输入等等，但敏捷应用本章介绍的方法都可以得到解决。例题例2-1分析右图所示体系的静力自由度和动力自由度，并利用D’Alembert原理建立体系的运动方程。

[解]：1、体系的自由度静力自由度：体系运动时可以独立转变的〔广义〕坐标的数目。动力自由度：动力分析中为确定体系任一时刻全部质量的几何位置所需要的独立参数〔广义坐标〕的数目。依据构造静力自由度的定义，图中所示体系的静力自由度有2个