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第六章曲线拟合的最小二乘

/函数平方逼近初步NumericalValueAnalysis一.问题的提出插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的，它要求插值函数与被插函数在插值节点上函数值相同，而在其他点上没有要求。在非插值节点上有时函数值会相差很大。若要求在被插函数的定义区间上都有较好的近似，就是最佳逼近问题。必须找到一种度量标准来衡量什么是最佳逼近.

最佳逼近是在函数空间M中选

P(x)满足

但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常将上式化为来讨论，于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题这即为连续函数的最佳平方逼近.对于离散的问题,最佳平方逼近问题为:就是常说的曲线拟合的最小二乘法.

最佳逼近二.预备知识内积:常采用的内积与范数实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:一.实例讲解6.2数据拟合(最小二乘法)纤维强度随拉伸倍数增加而增加并且24个点大致分布在一条直线附近---------(1)必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点.二、问题的提法定义平方误差(偏差平方和):我们选取的度量标准是---------(2)---------(3)三、法方程组由可知因此可假设因此求最小二乘解转化为二次函数由多元函数取极值的必要条件得即---------(4)即引入记号则由内积的概念可知---------(5)---------(6)显然内积满足交换律方程组(4)便可化为---------(7)将其表示成矩阵形式-----(8)并且其系数矩阵为对称阵.根据Cramer法则,法方程组有唯一解即是的最小值所以因此作为一种简单的情况,基函数之间的内积为平方误差例1.回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组根据内积公式，可得法方程组为解得平方误差为拟合曲线与散点的关系如右图:四、加权最小二乘法各点的重要性可能是不一样的权:即权重或者密度，统称为权系数.

定义加权平方误差为-----(9)使得由多元函数取极值的必要条件得即引入记号定义加权内积-----(10)矩阵形式(法方程组)为方程组(10)式化为-----(11)---(12)平方误差为作为特殊情形,用多项式作拟合函数的法方程组为-----(13)

6.3连续函数的最佳平方逼近1.最佳平方逼近问题-----(14)2.解法(法方程)-----(15)最小二乘法方法评注曲线拟和的最小二乘法是实验数据处理的常用方法。最佳逼近可以在一个区间上比较均匀的逼近函数且具有方法简单易行，实效性大，应用广泛等特点。但当法方程组阶数较高时，往往出现病态。因此必须谨慎对待和加以巧妙处理。有效方法之一是引入正交多项式以改善其病态性。指数模型和双曲线模型-----线性化拟合超定方程组的最小二乘解Seeyounextchapter!《计

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