计算机组成原理：4-4 数值的机器运算

复习思考题10对二进制数，若小数点右移1位，则数值乘以2;已知[X/2]补=C6H，设机器字长为8位，则[X]补=8CH

；若两个数值位为n位长的定点数，采用原码算法实现乘法运算，则乘积的数值有2n位，其符号位由异或运算决定；第四章数值的机器运算4.0逻辑电路基础4.1基本算术运算的实现4.2定点加减运算4.3带符号数的移位和舍入操作4.4定点乘法运算4.5定点除法运算4.6规格化浮点运算4.7十进制加法器4.9运算器和基本组成与实例补码一位乘法算法流程图

开始结束[zi]补+[X]补→[zi]补[zi]补+[-X]补→[zi]补[z]补=0,i=0YnYn+1=?[zi]补不变i=n+1？[zi]补,Y右移一位，i=i+1011000或11YN重复n+1步，但最后一步不移位被乘数和符号(双符号)和乘数(单符号)参加运算部分积初值为0(双符号)乘数末尾附加一个0(Yn+1=0)所得乘积是2n+1位

00.00000.10110Yn+1=0+00.1101YnYn+1=10,加[-X]补

00.110100.0110101011右移一位+00.0000YnYn+1=11,加000.011000.00110

10101右移一位+11.0011YnYn+1=01,加[X]补

11.011011.1011001010右移一位+00.1101YnYn+1=10,加[-X]补

00.100000.01000001

01右移一位+11.0011YnYn+1=01,加[X]补

11.01110001

10最后一位不移位[P106例4-9][X]补=11.0011,[Y]补=0.1011,求[X·Y]补=？部分积

乘数YnYn+1说明[-X]补=00.1101[X·Y]补=1.01110001X·Y=-0.10001111补码一位乘逻辑原理图

R0→

R1→YnYn+1R2

计数器i

部分积z

被乘数X乘数Y

+1LDR0LDR1

T1,T2,…+1

Ti

QQ加法器RS启动CXf

+-Yn+1YnYn+1Yn多路开关原反1001QQ&&&被乘数寄存器R2的每位用原码(触发器Q端)或反码(触发器非Q端)经多路开关送出；送[-X]补时,即送R2反码且在加法器最末位加1串行乘法器的优劣分析•不需要很多器件，硬件结构简单；•速度太慢，执行一次乘法操作的时间至少是加法操作的n倍；由于乘法操作大约占全部算术运算的1/3，故采用高速乘法部件是非常必要的。

4.4.4

阵列乘法器am-1am-2···

a1a0

)

bn-1···

b1b0

am-1b0am-2b0···

a1b0a0b0am-1b1am-2b1···

a1b1a0b1......+)am-1bn-1am-2bn-1

···a1bn-1a0bn-1pm+n-1pm+n-2pm+n-3···

pn-1···p1p0手工方法运算过程阵列乘法器——

是资源的重复设置，依靠器件的数量去换取运算速度尽管器件数量大，但结构十分规整，易于IC实现主要用于并行流水线运算器等追求高运算速度的场合。被除数X，其原码为[X]原＝Xf.Xn－1…X1X0除数Y，其原码为[Y]原＝Yf.Yn－1…Y1Y0

则有商Q＝X/Y,其原码为[Q]原＝(Xf⊕Yf)+(0.Xn－1…X1X0/0.Yn－1…Y1Y0)商的符号运算Qf＝Xf⊕Yf与原码乘法一样;商的数值部分的运算,实质上是两个正数求商的运算。4.5.1

原码一位除法设有n位定点小数：4.5定点除法运算1.手算运算步骤设X=0.1001,Y=0.1011,仿十进制除法运算,手算求X÷Y的过程

0.1101

商Q

0.1011

0.10010

X(R0)

X小于Y，商0

－0.01011

2－1YY右移1位,-Y,商1

0.001110

R1得余数R1

－0.0

01011

2－2YY右移1位,-Y,商1

0.0000110

R2

得余数R2

－0.0

000000

2－3YY右移1位,不减Y,商0

0.00001100

R3

得余数R3

－0.0

0001011

2－4YY右移1位,-Y,商1

0.00000001

R4得余数R4得X÷Y的商Q＝0.1101,余数为R＝0.00000001。原码除法运算

结果与手算相同，但余数不是真正的余数，多乘了2n，故正确的余数应为2-n×Rn，即：0.0000000100.0001第四次余数R4

01.0010被除数左移一位，2X>Y，商1+11.0101+[-Y]补00.0111第一次余数R1

00.1110R1左移一位，2R1>Y，商1+11.0101减Y00.0011第二次余数R2

00.0110R2左移一位，2R2<Y，商0

00.1100R3左移一位，2R3=4R2>Y，商1+11.0101减Y00.101100.1001X<Y，商000.1101原码除法运算1——比较法它类似于手工运算，为便于机器实现，将除数右移改为余数左移。还要设置比较线路，从而增加硬件代价。X=0.1001Y=0.1011[-Y]补=1.0101

0.1101

0.1011

0.10010

－0.01011

0.001110

－0.0

01011

0.0000110

－0.0

000000

0.00001100

－0.0

0001011

0.00000001

原码除法运算2——恢复余数法它直接作减法来试探——若余数为正，表示够减，该位商上“1”；若余数为负，表示不够减，该位商上“0”，并要恢复原来的被除数（或余数）。恢复余数法由于要恢复余数，使得除法的步数不固定，控制比较复杂。因此，原码恢复余数法在计算机中一般很少采用。0→CnA+B→A1→CnA＜0?A-B→AYN[X]补→A,[Y]补→B，0→C原码除法运算3——加减交替法若第i-1次求商的余数为Ri-1，则第i次求商操作为：

Ri=2Ri-1-Y若够减，Ri=2Ri-1-Y＞0，商Qi=1。若不够减，Ri=2Ri-1-Y＜0，商Qi=0，恢复余数后，Ri’=Ri+Y=2Ri-1，然后再左移一位，进行第i+1次操作：

Ri+1=2Ri’-Y=2(Ri+Y)-Y=2Ri+2Y-Y=2Ri+Y上式表明，当出现不够减（负余数）的情况下并不需要恢复余数，可以直接做下一次操作，但操作是2Ri+Y，其结果与恢复余数后左移一位再减Y等效。

Ri+1=2Ri+(1-2Qi)×Y(Qi=0,1)补码除法运算——加减交替法补码除法的被除数X、除数Y用补码表示，符号位和数位一起参与运算，商的符号位与数位由统一的算法求得。运算规则1.若被除数X与除数Y同号，被除数X减去除数Y；若被除数X与除数Y异号，被除数X加上除数Y。余数R和除数Y同号,商1,余数R左移一位,下次减除数Y

余数R和除数Y异号,商0,余数R左移一位,下次加除数Y。重复步骤(2)，连同符号位在内，共做n+1步。商的末位恒置1若商的数值位为n位，则运算的最大误差为2-n。补码加减交替除法规则：[X]补÷[Y]补[X]补与[Y]补第一次操作[Ri]补与[Y]补上商求新余数[Ri+1]补的操作同号[X]补-[Y]补①同号（够减）1[Ri+1]补=2[Ri]补-[Y]补②异号（不够减）0[Ri+1]补=2[Ri]补+[Y]补异号[X]补+[Y]补①同号（不够减）1[Ri+1]补=2[Ri]补-[Y]补②异号（够减）0[Ri+1]补=2[Ri]补+[Y]补00.1000

[X]补,[Y]补异号，+[Y]补

+[Y]补

11.011011.1110[Ri]补和[Y]补同号

11.11001.左移一位，商1

+[-Y]补

00.1010+[-Y]补

00.0110[Ri]补和[Y]补异号

00.11001.0左移一位，

商0

+[Y]补

11.0110+[Y]补

00.0010[Ri]补和[Y]补异号

00.0100

1.00左移一位，商0

+[Y]补

11.0110+[Y]补

11.1010[Ri]补和[Y]补同号

11.0100

1.001左移一位，商1

+[-Y]补

00.1010+[-Y]补

11.11101.0011

商末位恒置1,[Ri]余数不左移

被除数X/余数R商Q说明[X]补=0.1000[Y]补=11.0110[-Y]补=00.1010[P116例4-13]X=0.1000,Y=-0.1010,求X÷Y。[P116例4-13]X=0.1000,Y=-0.1010,求X÷Y。[商]补=1.0011[余数]补=1.11102-4∴商=-0.1101

余数=-0.00102-41.11102-41.0110[X÷Y]补=1.0011+-0.00102-4-0.1010X÷Y=-0.1101+补码加减交替除法算法流程图[X]补→A,[Y]补→B0→C,0→CR0→Cn2A+B→A2C→C1→Cn2A-B→A2C→CCR+1→CRCR=n?EndN.1→CnYAs

Bs=0?A+B→AA-B→ANYAsBs=0?NY.4.6

规格化浮点运算

4.6.1浮点加减运算设两个非0的规格化浮点数分别为：

A=MA×2EA

,

B=MB×2EB

A±B=(MA,EA)±(MB,EB)浮点数加减运算步骤：（1）对阶（2）尾数加减（3）尾数结果规格化（4）舍入处理（5）溢出判断在对阶和尾数结果规格化的过程中，尾数的低位部分可能会丢失，从而造成一定的误差。“切断”、“0舍1入”法，“恒置1”法例:设x＝2010×(+0.11011011),y＝2100×(-0.10101100),求x+y解：设以补码表示，阶码5位、尾数10位均采用双符号位表示

[x]浮＝0001000.11011011

[y]浮＝0010011.01010100 ①对阶浮点加减法运算

使二数阶码相同（即小数点位置对齐），这个过程叫作对阶先求两数阶码Ex和Ey之差，即△E=Ex－Ey

若△E=0，表示

Ex=Ey

若△E>0,Ex>Ey

若△E<0,Ex<Ey通过尾数的移动来改变Ex或Ey，使其相等.小阶向大阶看齐；小阶的尾数右移，每右移一位，其阶码加1对阶原则 [x]浮＝0001000.11011011

[y]浮＝0010011.01010100 ①对阶 △E＝Ex－Ey

＝[Ex]补＋[-Ey]补

＝00010＋11100

＝(11110)补＝(-2)10 x的阶码小，应使Mx右移2位，Ex加2 ∴[x]浮＝0010000.00110110(11)

其中(11)表示Mx右移2位后移出的最低两位数。浮点加减法运算“切断”的方法浮点加减法运算

[x]浮＝0010000.00110110 [y]浮＝0010011.01010100②尾数加减

00.00110110

＋ 11.01010100 11.10001010 ∴x+y＝0010011.10001010无论加法运算还是减法运算，都按加法进行操作浮点加减法运算

尾数相加得：x+y＝0010011.10001010 ③尾数结果规格化

尾数运算结果处理操作00.1xxxxxxx尾数已为规格化数，无需处理11.0xxxxxxx00.0xxxxxxx左规——尾数每左移一位，阶码相应减1，直至成为规格化数为止。11.1xxxxxxx01.xxxxxxxx在定点加减运算为溢出；但在浮点加减运算中，只表明此时尾数的绝对值大于1，而并非真正的溢出。右规——尾数运算的结果右移一位,阶码加110.xxxxxxxxx+y＝00

01111.00010100浮点加减法运算x+y＝0001111.00010100④舍入在对阶和向右规格化的过程中，尾数的低位部分可能会丢失，从而造成一定的误差舍入处理切断法“0舍1入”法“恒置1”法浮点加减法运算

x+y＝0001111.00010100⑤溢出判断尾数溢出尾数相加的溢出不是真正的溢出，可通过向右规格化作出调整阶码溢出——浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的若阶码溢出，则要进行相应的处理。上溢——浮点数真正溢出，机器需停止运算，做溢出中断处理。下溢——超过了阶码所能表示的最小值,按机器零处理。本例中阶码符号位为00，不溢出，故得最终结果为

x＋y＝(0001111.00010100)补＝2011×(-0.11101100)例2：若某次运算的中间结果为[X+Y]补=11001,00.0011则应对其进行向左规格化操作：尾数为：