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文档简介

2.4矩阵的初等1.ricic②数乘k0kkrikcikcAmnBmn,AmnBmnA

Bmn,AmnBmn等价,AmnBmn对称AmnBmnBmn传递AmnBmn

BmnCmnAmn

AmnBmnrankArankB1只需设rankAr,仅证行变换之(3 kirikrj jA j

若rmin{mn,则DB)不含rDB)DA)r

r

rDB)r,不含rDB)DA)kDA)r

r

r

rDB)r,且含rDB

倍D(A)r

r

rrB中所有的r1D(B)0rankBrrrikB

,若rmrn,11

O O(m1)(

11

OO(m1)(

rik

rankA1rankArankArankB1例

12,rA

行

4 rA)2 行

4

2行最简形：A

2

23

2

23

0

0A

0 定理 若rankAmnr(r0),

*112rr 112rr

* 行[i1

[i2

[ir

rr00

*B00 行

1 1

****H00mnmn 定理 若 r 0),则

O,AO推论 若Ann满秩,则AEn

AmnBmnrankArankB定义对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 对单位矩阵进行一次初等列变换,相当于对单位矩阵进行一次同类型的初等行变换．因此,初等矩阵可分为以下3类：Erirj

(i)ΔE

(E

E(i, kE

ΔE[i(k)]

(krikrj

1

(i)ΔEE

1

(E(i)

E[i,j(kcjkci E

(E

E[i,j(k1

a1n

i

2n,

,,

,,

,,

aa

am

amn

j j1

1

1

j

ki

ikj

Em(i,j)A,Em[i(k)]A,Em[i,j(k)]A i

j

1A进行一次初等行变换,A左乘一个（6的结论之一）1

AEn

(i,j)

,,

j,,

,,nAEn[i(k)]1,,ki,,j,,nAEn[i,j(k)]1cjk1

,,

,,

k

,,

ΔAA进行一次初等列变换,A右乘一个（6的结论之二）

detE(i,j)1

[E(i,j)]1E(i,detE[i(k)]k0

[E(i(k))]1

E[i(1kdetE[i,j(k)]1 [E(i,j(k))]1E[i,

Ann可逆A证必要性．已知detA0,A满秩AEn,P1,,Ps及1,使PPAQ

E

P1与Q1都是初等矩阵 detAnn0AP1P2 （Pi都是初等矩阵P1P1P1A

P1P1P1

E

P1P1P1E

由此可得：对n2n矩阵 E施行“初等行变换，当前n（A的位置）E时，则后n列（E的位置）

16A

2,A1 21211001 23 3 00 3 解 E

0行

行

11 行

行

4 4

故A1

4 1a1aA1000100100010a10001a例7A aa a a

1解1

Eaa a

000000100100100100100100

r4ar3

r3ar2

E 01 01 故A1

11 1 1定理 设Amn,Bmn,则ABPmm和Qnn,PAQB证AB,则存在mP1,Psn

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