2023学年度 知能优化训练56

1．若xy＞0，则对eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)说法正确的是()A．有最大值－2 B．有最小值2C．无最大值和最小值 D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()A．400 B．100C．40 D．20答案：A3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋eq\f(4,x)有最小值____．答案：244．已知f(x)＝eq\f(12,x)＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，∴eq\f(12,x)，4x＞0.∴eq\f(12,x)＋4x≥2eq\r(\f(12,x)·4x)＝8eq\r(3).当且仅当eq\f(12,x)＝4x，即x＝eq\r(3)时取最小值8eq\r(3)，∴当x＞0时，f(x)的最小值为8eq\r(3).(2)∵x＜0，∴－x＞0.则－f(x)＝eq\f(12,－x)＋(－4x)≥2eq\r(\f(12,－x)·－4x)＝8eq\r(3)，当且仅当eq\f(12,－x)＝－4x时，即x＝－eq\r(3)时取等号．∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8eq\r(3).一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A．x＋eq\f(1,2x) B．x2－1＋eq\f(1,x2－1)C．2x＋2－x D．x(1－x)答案：C2．函数y＝3x2＋eq\f(6,x2＋1)的最小值是()A．3eq\r(2)－3 B．－3C．6eq\r(2) D．6eq\r(2)－3解析：选＝3(x2＋eq\f(2,x2＋1))＝3(x2＋1＋eq\f(2,x2＋1)－1)≥3(2eq\r(2)－1)＝6eq\r(2)－3.3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()A．200 B．100C．50 D．20解析：选＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a，b∈(0，＋∞)，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2；②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)；③∵a∈R，a≠0，∴eq\f(4,a)＋a≥2eq\r(\f(4,a)·a)＝4；④∵x，y∈R，，xy＜0，∴eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＝－[(－eq\f(x,y))＋(－eq\f(y,x))]≤－2eq\r(－\f(x,y)－\f(y,x))＝－2.其中正确的推导过程为()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b∈(0，＋∞)，∴eq\f(b,a)，eq\f(a,b)∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，∴eq\f(4,a)＋a≥2eq\r(\f(4,a)·a)＝4是错误的；④由xy＜0得eq\f(x,y)，eq\f(y,x)均为负数，但在推导过程中将全体eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)提出负号后，(－eq\f(x,y))均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．5解析：选C.∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥eq\f(2,\r(ab))＋2eq\r(ab)≥2eq\r(2×2)＝4.当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b,\r(ab)＝1))时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64 B．最大值eq\f(1,64)C．最小值64 D．最小值eq\f(1,64)解析：选C.∵x、y均为正数，∴xy＝8x＋2y≥2eq\r(8x·2y)＝8eq\r(xy)，当且仅当8x＝2y时等号成立．∴xy≥64.二、填空题7．函数y＝x＋eq\f(1,x＋1)(x≥0)的最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y≥2eq\r(x·4y)＝4eq\r(xy)，∴xy≤eq\f(1,16).答案：大eq\f(1,16)9．(2022年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(xy,12))，∴xy≤3.当且仅当eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋eq\f(4,x＋1)＋6的最小值；(2)求函数y＝eq\f(x2＋8,x－1)(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴y＝x＋eq\f(4,x＋1)＋6＝x＋1＋eq\f(4,x＋1)＋5≥2eq\r(x＋1·\f(4,x＋1))＋5＝9，当且仅当x＋1＝eq\f(4,x＋1)，即x＝1时，取等号．∴x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝eq\f(x2＋8,x－1)＝eq\f(x2－1＋9,x－1)＝(x＋1)＋eq\f(9,x－1)＝(x－1)＋eq\f(9,x－1)＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.∴(x－1)＋eq\f(9,x－1)＋2≥2eq\r(x－1·\f(9,x－1))＋2＝8.当且仅当x－1＝eq\f(9,x－1)，即x＝4时等号成立，∴y有最小值8.11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(eq\f(1,a)－1)·(eq\f(1,b)－1)·(eq\f(1,c)－1)≥8.证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a)＝eq\f(b＋c,a)＝eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)≥eq\f(2\r(bc),a)，同理eq\f(1,b)－1≥eq\f(2\r(ac),b)，eq\f(1,c)－1≥eq\f(2\r(ab),c)，以上三个不等式两边分别相乘得(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)≥8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为eq\f(200,