2004年高等代数试题_第1页
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浙江大abb100001）Dn(a(n

(a(n11n(n1)02211 110n(n1)21232342）Dn34512n(n1)nn 2.（16分）APnnf(xP[xfA)g(xP[xf(A))1g(A。（PPnnP中的n阶方阵的集合3.（16分）ABPnnAB)*B*A*。AB0A0,B0A*AA1(AB)*

AB(AB)1B

AA1B*A*。结论成

AB0A()AEB()BEA、B只有有限个特征值，因此存在无穷多个，使 A()0,B() (A()B())*(B())*(A())* 令(A()B())*(fij())nn,(B())*(A())*(gij())nn

fij()gij 由于有无穷多个使①式成立，从而有无穷多个fij(gij都是多项式，从而③式对一切都成立。特别令0AB)*A(0)B(0))*B*(0A*(0)B*A*。证4.（题（1）为15分，题（2）为5分，共20分

f(x,x,x)x2ax2x22bxx+2xx2x

1 1 2 (xxx)TPy 求abP

y22y2f5.（16分）ABPnn且秩(A秩(Bn。证明：存在n阶可逆矩阵MAMB0QAB的秩分别为r1r2AB，存在着可逆的nQ

r2r

2AQ)(PBAQPBP1Q10，令AMB0，则有AMB0成立2 1

r26.（16分）A是n阶复矩阵，且存在正整数mAmE（E是n阶单位阵）A与对角矩阵相似。7.（每小题9分，共18分）设VPnn看成P上的线性空间。取定AB,CDPnn。XPnn，令(x)AXBCXXD。求证：（1）是V的线性变换；（2）当时CD0，可逆的充要条件是AB0。18.（16分）设是线性空间V的线性变换且2。令1

(V)

1(0证明：VV1V2且对每个V1有(aa9.（16分）设V是n维欧氏空间，V1,V2是V的子空间，且dimV1dimV2V2中存在一个非零向量，它与V1中任一个向量正交detAdet

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