地图投影课件03第三章圆柱投影

第三章圆柱投影第一节正轴圆柱投影的一般公式1、定义以圆柱面为投影面，按某种条件将

地球椭球面上的经纬线投影到圆柱面上，再

将圆柱沿某条母线切开展成平面得到的投影。圆柱投影的示意：投影前球面梯形投影后第一节正轴圆柱投影的一般公式2、经纬网形状：正轴投影，经线投影为间距相等的平行直线，纬线投影为与经线垂直的平行直线。斜横轴投影，垂直圈投影为间距相等的平行直线，等高圈投影为与经线垂直的平行直线。经纬征视点3、一般公式设以

经线为X轴，赤道为Y轴，椭球体上一点A（B，L）在投影面上为A（x,y),则从经纬线形状不难看出，x坐标仅为纬度B的函数，y坐标则与经差成正比，故正轴圆柱投影的一般公式为x

f

(B)y

cl（3-1）第一节正轴圆柱投影的一般公式不难发现，圆柱投影关键是决定x的函数问题，x的函数形式取决于投影的条件。投影条件不同，x的形式也不同。正轴圆柱投影，经纬线正交，故m,n即是a,b。下面推求其变形公式。第一节正轴圆柱投影的一般公式如图，经纬线的微分弧长分别为AD

MdB,

AB

rdl投影面上相应的经纬线微分线段为AD

dx,

AB

dy故其变形公式为AB

rdl

rP

mnsin

m

n2

m

nAD

MdBn

AB

dy

cdxm

AD

(3-2)第一节正轴圆柱投影的一般公式4、常数c确定在割圆柱情况下，割线所在纬度B0的长度比n0=1,由此求得（3-3）切圆柱情况下，赤道为切线，B0=0，因此

a（3-4）式中a为地球椭球的长半径。ac

N0

cos

B0

N0

c

r0

N0

cos

B0r10(1

e2

sin

B

)

200因而有

n

c

1?与赤道等长与割线处纬圈等长XYYX第一节正轴圆柱投影的一般公式5、特点与用途分析发现，正轴圆柱投影的各种变形都是纬度的函数，即长度、面积和角度的等变形线都与纬线平行。故正轴圆柱投影适合于制作在赤道附近向东西延伸地区的地图。同理，斜轴与横轴圆柱投影的各种变形都是天顶距的函数，即长度、面积和角度的等变形线都与等高圈平行。故横轴圆柱投影适合于制做南北延伸的狭长地区的地图，斜轴圆柱投影适合于制作任意方向延伸的狭长地区的地图。第一节正轴圆柱投影的一般公式6、球形（M=N=R）正轴圆柱投影的公式（3-5）割圆柱时：切圆柱时：m

nm

nP

mn

n

mRd

crx

f(

)y

c

dxsin2c

R

cos

0c

RcdxRrd第二节 等角正轴圆柱投影（墨卡托投影）一、定义：以圆柱面为投影面，按等角条件将地球椭球面上的经纬线投影到圆柱面上，再将圆柱沿某条母线切开展成平面得到的投影。二、正轴等角圆柱投影公式1、双标准纬线等角圆柱投影投影后经纬线正交为主方向，按等角条件m=n,据（3-2）有即积分之得rrM

dB

kx

rrdx

cMdB

r0dx

cM

dB

r0M

dB今e2

e2............2

2

2e)

22

1

e

sin

BB

1

e

sin

B..

ln

tg(45

)(

e e

cos

BdB2

1

e

sin

Bcos

B

2

1

e

sin

Bcos

B

(1

e

sin

B)(1

e

sin

B)dB

e

e

cos

BdB(1

e

sin

B)(1

e

sin

B)( cos

B

cos

B

cos

B

sin

B

cos

B

sin

B)dB2

2

2

2(1

e2

sin

2

B)dB

e2

cos2

BdBdB

r

(1

e2

sin

2

B)

cos

BdB............

cos

B

[ cos

B(1

e

sin

B)

cos

B(1

e

sin

B)]dB

dB

2

2(1

e2

sin

2

B)

cos

BdB

e2

cos

BdB...........

cos

B

(1

e2

sin

2

B)e2

e2

e3

e3

M

(1

e2

)dB

sin

1

costg

2

ln(sec

x

tgx)

c

.

ln

tg(45

B

)

e

ln(1

e

sin

B)

e

ln(1

e

sin

B)sec

xdx

cos

x

dx

x

dx

ln

x

c(cos

x)

sin

x(sin

x)

cos

x第二节

等角正轴圆柱投影（墨卡托投影）令则今赤道投影为Y轴，故当B=0°时，x=0,故k=0,由此得等角正轴圆柱投影的公式为a

2a

2x

r0

ln

U

y

cl

r0l

b

2k为积分常数，e

e)22 1

e

sin

BB

1

e

sin

BU

tg(45

)(0x

r

ln

U

k（3-6）第二节

等角正轴圆柱投影（墨卡托投影）现将lnU换算为常用对数lgU，即（3-6）´（3-7）此即双标准纬线等角圆柱投影的公式r r长度比公式为：

m

n

c

r0lg

UModr0Mod

Modln

U

0 0y

r

l

r l

,

(

3437.7468)0x

r ln

U

于是（3

6）式可写为1

1lg

U

,

其中

2.30258509

(Mod

0.43429448

)默卡托像第二节

等角正轴圆柱投影（墨卡托投影）2、单标准纬线等角圆柱投影此时B0=0，从而有r0=a，因而等角切圆柱投影的公式：（3-8）

m

n

c

ar

rlg

UModax

y

al

a

l

,

(

3437.7468)第二节

等角正轴圆柱投影（墨卡托投影）比较（3-6）-（3-8），发现（3-9）切与割间只差一个常数，故切与割是一个相似变换。切割切割切割aa

r0yyx

xa

r0

r0第二节

等角正轴圆柱投影（墨卡托投影）3、投影变形分析由表可知，切投影，赤道无变形，随纬度增大，变形逐渐加大。割投影，两条标准纬线无变形，随离开标准纬线越远，变形逐渐加大，标准纬线间为负变形，赤道的负变形最大，标准纬线之外为正变形，到极点处达到最大。β0º10º20º30º40º50º60º70º80º90ºμ切1.00001.01531.06381.15391.30361.55671.99502.91525.7400割0.86680.88000.92201.00001.12791.34581.72912.52674.9752第二节

等角正轴圆柱投影（墨卡托投影）4、用途单标准纬线等角圆柱投影适合于制作赤道附近的地图双标准纬线等角圆柱投影适合于制作和赤道对称的沿纬线延伸的地图。另外，此投影经常用于制作世界图，如时区图、

轨迹图。右图为等角切

圆柱（墨卡托）投影，不难发

现，随纬度的增高纬线间距逐渐加大。为什么？正轴等角割圆柱投影，割线位于±45°处，中高纬变形很大。用墨卡托投影制作的世界图。曲线表示人造运行轨道。其轨道倾角约为60多度。因是等角投影，轨道上每一弧段的方位可视为与实地一致。中国海域地图等角正轴割圆柱割线纬度=？图中虚线？第二节

等角正轴圆柱投影（墨卡托投影）5、球形等角圆柱投影的公式

m

n

c

r0r

rP

cos2

sec2

0

0cos

cos0lg

tg(45

)

R

cos0

lg

tg(45

)2

0.43429

200

y

r

R

cos

,

(

3437.7468)xModc（3-6)

″第二节

等角正轴圆柱投影（墨卡托投影）球形切圆柱公式P

sec2

0

sec

m

n

c

r0

1r

r

cos2lg

tg(45

)lg

tg(45

)

Mod

2

0.434290y

r

R

,

(

3437.7468)x

Rc（3-6）"第二节

等角正轴圆柱投影（墨卡托投影）6、等角航线等角圆柱投影无角度变形，且经线为平行直线，故等角航线表示为直线。等角航线是地球表面与经线相交成相等角度的曲线。地球表面除经线和纬线以外的等角航向都是以极点为渐近点的螺旋曲线。等角航线在墨卡托投影上表现为直线示意图BB+dBLL+dlCαAαBOXYy

yBB+dB1x2x12ABCL

L+Dlα'α'如图有或式将上式两边各乘以r0，并顾及（3-6）式有积分之（3-12）（3-10）（3-11）L

L+dLB+dBB

secMdBtg

rdl221

1B1MdB这是一直线方程。即等角航线在墨卡托投影上为一直线。等角航线实长为ds

AB

M

2dB2

N

2

cos2

Bdl2

r0

(L

L0

)

r0

(L1

L0

)

y

y1r0

(ln

U

ln

U1

)

r0

(ln

U

ln

U1

)

x

x1r0

(L

L1

)积分之，得椭球面r

上等角航线的方程MdB

M

2dB2

M

2BS

sectg

L

L

tg

(ln

U

ln

U

)dl

tg

M

dB第二节

等角正轴圆柱投影（墨卡托投影）等角航线表现为直线,意味着只要在（采用墨卡托投影的）海图上将起点和终点连成一直线，再量出它与经线的交角，一直保持这个角度航行，便可达到终点。由于只有墨卡托投影将等角航线表现为直线，所以它被航海图广泛采用。，实际上，两点间的最短距离是大圆航线故沿等角航线航行是不经济的。通常是先画出两点的大圆航线，再把大圆分成若干段，将相邻点连成直线，这些直线即等角航线。各段沿等角航线走，整个航线便接近大圆航线。地球上的等角航线与大圆航线在球心投影中，大圆航线表现为直线，故可以利用该投影将大圆线转绘到墨卡托投影上。，从好望角到墨尔本，两点间等角航线航程是6020海里。而沿大圆航线的航程是5450海里，它比等角航线短570海里（约1000公里）。7、用途由于等角航线表现为直线的特性，它在编制航海图中被广泛应用。例如我国的航海地图采用这种投影。

的大型海图集中绝大多数图幅都采用这种投影。此外，由于这种投影在低纬度地区变形小，而且经纬线网格形状简单，所以常用于编制赤道附近地区的地图。例如中国地图

的一套分国地图中沿赤道的分区地图采用了这种投影。世界交通图在纬度±60°以内也采用的是这种投影。1569年的墨卡托投影地图第三节 正轴等积和等距圆柱投影一、等积圆柱投影1、一般公式

投影条件P=mn=1积分得:x

R

sec0

sin

得dx

Rr

d

RR

cos

d

R

cos

dR

cos0

cos0rcdxRrdRd

1,dx

,

n

cc有P

mn

由m

故其投影及变形公式为P

mn

1sin

m

n2

m

nnr R

cosn

c

R

cos0x

R

sec0

sin

0

y

c

R

cos

0

0

cos

sec,

m

1

sec

cos（3-13）第三节正轴等积和等距圆柱投影等积切圆柱投影的公式为x

R

sin

（3-14）n

sec,

m

1

cosn

c

P

mn

1

sin

m

n2

m

nRr

R

cosy

c

R

等积切圆柱投影φmnωP0°1.0001.0000°00´110°0.9851.0151°45´120°0.9401.0647°07´130°0.8661.15516°26´140°0.7661.30530°11´150°0.6431.55649°04´160°0.5002.00073°44´170°0.3422.924104°28´180°0.1745.759140°36´190°0.000无穷大180°00´12、等积切圆柱投影变形表等积割圆柱投影经纬网格，割线位于±45º处，割线内变形椭圆的长轴指向经线还是纬线？Behrmann投影，等积圆柱，标准纬线±30º第三节 正轴等积和等距圆柱投影二、正轴等距圆柱投影P

mn

cos0

sec

sin

m

n2

m

nsec,

m

1r

R

cosn

c

R

cos0积分得:x

R,故其投影及变形公式为

1,有dx

RddxRd由m

x

R

R

0

cos0y

c

R

cos（3-15）等距切圆柱投影公式为

sec,

m

1n

c

P

mn

sec

sin

m

n2

m

nRr R

cosy

c

R

x

R

R

（3-16）等距切圆柱投影变形表φmnωP0°11.0000°00´1.00015°11.0351°59´1.03530°11.1558°14´1.15545°11.41419°45´1.41460°12.00038°57´2.00075°12.86472°09´3.84690°1无穷大180°00´无穷大等距圆柱投影经纬网格，割线位于±45°处，经纬网格成大小相同的长方形。等距切圆柱经纬网为大小相等的正方形，为什么？Miller

2Equirectangular（等矩形）

Cylindrical

(min

overall（全部）

scale

distortion);

Not

Conformal

or

Equal-area;

StandardParallels:37.5

Deg

N/S;Ronald

Miller;1949任意米勒等矩形割圆柱（整个区域小比例变形）Miller圆柱，任意性质，投影后经线的长度是赤道的0.73倍第三章圆柱投影从变形表不难发现，等距投影的变形 二者间，角度变形小于等积投影，故

的轮廓形状比等积投影好，面积变形小于等角投影。且其切圆柱为正方形网格，最简单，故常用来编制小比例尺世界图。上述三种投影的变形只与纬度有关，而与经度无关，故等变形线与纬线平行，且以赤道为对称轴。切圆柱自赤道起，随纬度增高，变形逐步加大；割圆柱自标准纬线起，向赤道和两极，其变形绝对值都逐步增大。三种圆柱投影经纬线比较，你可以根据它们判定查投影的性质吗？第四节斜、横轴圆柱投影一、斜、横轴圆柱投影投影的一般公式为计算方便，将地球当作球看待，并采用球面坐标系。投影后，垂直圈为间隔相等的平行直线，间隔大小与方位角成正比；等高圈成与垂直圈

垂直的平行直线。垂直圈与等高圈为主方向，

其长度比即最大和最小长度比。经纬线一般为曲线，只有过新极点的经线（中央经线)为直线，且为其他经线的对称轴。该经圈也是起始垂直圈。1、横轴和斜轴圆柱投影的一般公式：x=f(Z)y=c·α在球面上有在投影面上AD

RdZ

,

AB

rd

AD

dx,

AB

dyZa

ba

bc

cdxRdZdxR

sin

ZcABdxADAB

AD

sin

2R

sin

Z

sin

ZdZR

2RdZdy

cdrd

R

cos(90

Z

)d1

2P

2

1

变形一般公式为：第四节斜、横轴圆柱投影仿照正轴圆柱投影，可写出横斜轴投影的一般公式。即其中，切时割时cdxcRdzdxx

f

(

z)y

c01

2P

2c

R

sin

Zc

RR2

sin

zdzr

R

sin

z2

1

2

2sin

1

c

1

,90

z换,（3-18）第四节斜、横轴圆柱投影2、斜轴横轴圆柱投影计算步骤1）计算球的半径R=6371010米；确定球面坐标极的地理坐标（

φ0

,λ0），横轴选定

经线λc；按规定的网格密度，将经纬网格交点的地理坐标（

φ,λ）转换为球面坐标（Z,α）根据公式（3-18）计算交点投影后的平面直角坐标（x,y)。计算投影变形计算平面直角坐标（x,y)时，斜轴参考正轴公式，,90

z换,A(φ,λ)αφ

Z第四节斜、横轴圆柱投影sincosc（os3-19）ctg

tg

secz

若经度由由P而Q起算，则由下图及公式（

1）2

有；λ横轴时，新极的地理坐标为

0

,0

0

90

c此时， 经线的经度与过新极点的经线的经度差为90°，投影后经线即是天顶距为90°的等高圈。λc为

经线经度第四节斜、横轴圆柱投影二、横轴圆柱投影1、等角横轴圆柱投影投影条件为μ0=1，μ1=μ2，并顾及x、y易位，由(3-6)″式得其投影公式为P

sin

2

z

csc2

z0

0

sin

z02

20

sin

z

csc

z1

2r

r

sin

z

c

r00x

r0(90

)

R

sin

z0

(90

)y

c

ln

tg

(45

z

)

R

sin

z

ln

ctg

z（3-20）此时，经线是切线。第四节斜、横轴圆柱投影横轴切圆柱投影的公式为y

c

ln

tg

(45

z

)

R

ln

ctg

z2

2x

r0

(90

)

R(90

)

1

1

P

csc2

z

00

csc

zc

r

1r

r

sin

z（3-21）第四节斜、横轴圆柱投影如以地理坐标带入，据（3-19）有

011

cos2

sin

2

1

1

1sin

zx

R(90

)

Rarctg(tg

sec)1)

21

cos2

sin

2

1

cos

sin

1

cos

sin

lg(1)

2lg(

0.43429

1

cos

z

0.434291

cos

z....

2sin

z2cos

z0.43429lg

ctg

z

lg2

0.43429P

1

cos2

z

y

RRR

R（3-22）横轴等角切圆柱投影经纬网第四节斜、横轴圆柱投影2、等积横轴圆柱投影参照公式（3-13）（3-18）得其投影公式为y

R

csc

z0

cos

zx

c(90

)

R

sin

z0

(90

)（3-24）0P

12

1

sin

1

22

1

212n

sin

z

1

sin

z

c

R

sin

z0

sin

z0r

R

sin

z

sin

z第四节斜、横轴圆柱投影P

12

1

sin

1

22

1

201

1

cos

2

sin

2

1

cos2

sin

2

1

cos2

z02sin

z,

1

n

sin

z

csc

z

sin

z0

sin

z0代入（3-19）式得y

R

csc

z0

cos

z

R

csc

z0

cos

sin

x

c(90

)

R

sin

z0

arctg(tg

sec)（3-25）横轴等积切圆柱Transverse

Cylindrical

Equal-area

projection;

StandardParallel

=

0

Deg.;

Johann

Heinrich

Lambert;

1772第四节斜、横轴圆柱投影三、斜轴圆柱投影1、斜轴等角圆柱投影根据式(3-6)″并顾及（3-18）得其公式P

sin

2

z

csc2

z0

011(1

cos2

z)

2

sin

z0..

R

sin

z0[ln(1

cos

z)

ln(1

cos

z)]2y

r0

R

sin

z01

cos2

z

c

ln

c

lnz

1

cos

z

1

cos

z2

sin

zx

c

ln

ctg0

sin

z1

2r

r

sin

z

c

r0（3-26）此时，过新极的经线为经线。第四节斜、横轴圆柱投影（3-27）1

cos2

zP

csc2

z

0111(1

cos2

z)

2等角斜轴切圆柱投影的公式为x

R[ln(1

cos

z)

ln(1

cos2

z)]y

r0

R11

2r

r

sin

z

c

r0

等角圆柱投影经纬网形

经线投影为直线，其他经纬线投影为曲线，经纬线处处正交。投影优点

在宽为30°的带形区域内（带形区域的轴线是大圆线），各大圆弧几乎被投影为直线，故此投影多用做长途飞行的航线图。右图即其范例。图中两条虚线为投影所割的等高圈，长度比为1。二者相距20°，中间部分最小长度比为

0.985。中国海域切还是割？投影性质？何种等变形线？等高圈方向？

垂直圈呢？第四节斜、横轴圆柱投影2、斜轴等积圆柱投影0则其公式为2

1

2P

12

1sin

1

20

1

0

c

R

sin

z0r

R

sin

z20x

R

csc

z0

cos

z

y

c

R

sin

z0R2

sin

zdz积分得：x

R

csc

z

cos

zn

sin

z

csc

z,

1

csc

z

sin

zcdx由等积条件P

1得：R

sin

z

dx

R2

sin

zdz（3-28）等积斜轴圆柱投影

经线在东经及西经90°，投影为直线；其他经纬全都是曲线；同一纬度带上网格的面积相等。第四节斜、横轴圆柱投影P

mn

sin

z0

csc

zsin

1

22

1

2

sin

z0

csc

z,1

13、斜轴等距圆柱投影套用正轴等距方位投影（3-15）式，并顾及（3-18）式，得斜轴投影公式为x

R（90

z

)y

c

c

R

sin

z0r

R

sin

z2（3-29）斜轴等距圆柱投影

新极点位于(16°E,48°N)，经线所指方向无长度变形。斜轴等距圆柱投影投影中心位于（30°，-50°），130度经线是投影的对称轴，图中虚线为角度等变形线。该投影对亚洲大部分地区适用，但东南角变形显著。第四节圆柱投影一、概述1、构造方法：几何；如图，设圆柱之轴与地轴重合，圆柱面与地球相切或相割，某纬线平面有一视点C（不固定，依次旋转），将位于同一子午面上的经线段投影到圆柱面上，然后连接经线上同纬度的点，将圆柱面展成平面，即得圆柱投影。2、变形性质：任意投影，3、经纬线形状：相互正交的直线cφ0φ

φφ0为圆柱割纬圈的纬度，视点C所在纬平

面的纬度为φc，至地轴的距离为D(D=kR)。视点的高低、远近决定函数形式mnmnrrP

mnn

kc

r0

R

sin

0R

sin

k

cos()

20

cscsinmyr

0rD

k

cos

Aac(r0D

)

R(sin

sin

c

)(k

cos)0x

c

sinsi)dx

cos(0

)(

k

cos1

Rdsin

2二、一般公式由相似三角形A‘a0C与AacC的关系得 圆柱投影的一般公式：（3-30）关键要决定x、m的函数公式三、视点处于不同纬线平面的

圆柱3、极面投影视点位于极点的平面上，即φc=90º1、赤道投影视点位于赤道平面，即φc=0ºx

R

sin

(k

cos0

)

,

m

(k

cos0

)(1

k

cos)k

cos

(k

cos)22、中介投影视点位于赤道与极点之间的纬圈平面上，即0º<φc<90ºx

R(sin

sin

c

)(k

cos0

)

,k

cosm

(k

cos0

)(1

k

cos

sin

c

sin

)(k

cos)2(k

cos)2x

R(sin

1)(k

cos0

)

,

m

(k

cos0

)(1

k

cos

sin

)k

cos四、视点到地轴距离不同的 圆柱投影1、球心投影：视点位于地轴上，即k=02、球面投影：视点位于球面上，即D=Rcosφc,k=cosφc

cos

)2

cos)[0(cos1

k

cos(

c

)]

(cos,cos

cos

Rcccc

sin

c

)(cos0(sinsincos

cos

0(1

csinsin)cos

cos2

R(sin

cos

0

)c

)

,mmxx(k

cos

)2

(k

cos

0

)(1

k

cos

sin

c

sin

)

R(sin

sin

c

)(k

cos

0

)

,(k

cos

)2

(k

cos

0

)(1

k

cos

sin

c

sin

)

R(sin

sin

c

)(k

cos

0

)

,k

cos

4、正射投影

视点位于无穷远处，即k=∞x

R(sin

sin

c

),m

cos

5、

投影

视点位于地轴与球面之间k<cosφck

cos

mxmx3、外心投影

视点位于球面外D>Rcos

φc,k<cosφc正轴等积切圆柱投影，就是视点在赤道面上且位于无穷远处的正射 圆柱投影，其公式为：x=Rsinφ

m=cosφ斜轴 圆柱投影

坐标原点(75

°，-90

°),+90

°经线是投影的对称轴（ 经线），与

经线正交切于60

°的大圆没有面积与角度变形。与

经线垂直的平行线为面积等变形线。该投影可用于表示欧亚大陆。Braun

Stereographic

Cylindrical

(ModifiedGallStereographic);Standard

Parallel

=0

Deg.;NeitherConformal

orEqual-area;

CarlBraun;

1867

伯劳平射切圆柱（改良高尔平射）任意Central

Cylindrical;

Neither

Conformal

orEqual-area;Unknown ;1800s

任意中心（心射？）圆柱Gall

Stereographic;

Cylindrical;

Neither

Conformal

orEqual-area;

Standard

Parallels

=

45

Deg.

N/S;

James

Gall;

1855任意高尔平射割圆柱Wetch

projection(Transverse

Central

Cylindrical);Neither

Conformal

or

Equal-area;

J.Wetch;

Before

1850横轴中心投影第五节圆柱投影变形性质的分析及图形判别一、圆柱投影的基本特点1、正轴圆柱投影经纬线形式共同的特征经线为间隔相等的平行直线，纬线为与经线垂直的平行直线。按变形性质，圆柱投影可以有等角、等积、等距及其他任意投影。2、变形特点切圆柱，其赤道就是标准纬线，即赤道的长度比等于1，其他纬线长度比均大于1，离开赤道愈远，纬线长度比愈大。割圆柱，相割的两条纬线（如±30）为标

准纬线，其长度比为1；在两条割线之内，纬线长度比小于1，离开标准纬线愈远，其长度比愈小，赤道长度比最小；在两条割线以外，纬线长度比大于1，离开标准纬线愈远，其长度比愈大。切圆柱和割圆柱的变形