高等数学概括与总结

.z.**大学课程教学总结文雅课程名称：高等数学〔AdvancedMathematics〕教学单位：信息科学技术学院课程资源/top.htm答疑信箱：教务处督导科：66279099；信息学院教务科：66279136〔所有文雅〕高等数学〔上〕根本内容概括与总结函数的极限与连续一、函数1、理解函数的概念(要求：会求定义域、对应法则、函数值)函数的定义、分段函数、显函数：，隐函数：，参数式函数、反函数〔求法〕、复合函数、根本初等函数与初等函数2、掌握函数的几何性质1〕．有界性：〔利用定义、或闭区间上连续的有界性、或存在极限必有界判别〕2〕．奇偶性：假设，则为奇函数假设，则为偶函数〔注意：奇偶的结合律〕单调增：3〕．单调性：单调减：〔注意利用假设则在上为单调增加〔减少〕4〕．周期性：假设，则称最小正数为的周期，为周期函数。二、极限〔重点极限、无穷大量与无穷小量的概念、求极限的方法〕1、极限的概念与性质函数与数列极限的定义〔略〕2〕左右极限、极限存在的充要条件即极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。3〕极限的性质有界性、唯一性、保号性。2、无穷大量与无穷小量1)定义：假设时，为无穷小量;假设，则称，时，g〔*〕是无穷大量。2)无穷大与无穷小的关系：3〕、极限与无穷小量的关系：无穷小量的性质主要的：4〕无穷小的阶的比拟两个无穷小之商的极限，一般说来随着无穷小的不同而不同，从而产生了两个无穷小之间的"高阶〞、"同阶〞、"等价〞等概念，它们反映了两个无穷小趋于零的快慢程度。定义设是同一种变化趋势下的无穷小,即则：如果,就说是比高阶的无穷小,记作；如果,就说是比低阶的无穷小；如果,就说与是同阶无穷小；如果,就说是关于的阶无穷小；如果,就说与是等价无穷小,记作.等阶无穷小量的一个重要性质：假设，且存在，则。即：在乘除运算的极限中用等阶无穷小〔无穷大〕替换不改变其极限。常见的等阶无穷小：时，~,~,，，，。3、求极限的主要方法极限运算法则左右极限存在且相等极限存在的准则两边夹Th.〔准则〕、如果数列及满足以下条件：〔1〕,〔2〕则数列的极限存在,且.单调有界Th.〔准则〕单调有界数列必有极限。无穷大与无穷小的关系、无穷小量的性质两个重要极限，一般形式。，一般形式：洛必塔法则三、连续1、理解函数连续的概念函数在点连续的定义设在点的*个邻域内有定义，假设，则称在点连续，称为的连续点。连续函数的定义：假设在上点点都连续，则称是区间上的连续函数，区间称为的连续区间。假设在上连续，则还要求：结论：函数在点连续的充要条件是函数在点既左连续，又右连续.2、连续点的分类第一类连续点〔左、右极限存在的连续点〕第二类连续点〔左、右极限至少一个不存在的连续点〕3、连续函数的主要性质1〕一切初等函数在其定义域对应的区间内连续2〕连续与极限的关系：连续极限存在3〕闭区间上连续函数的性质假设在闭区间上连续，则1、一定有界：。〔有界性Th.〕。2、一定存在最大值和最小值。〔最大和最小值Th.〕。3、对于任一个：，存在使。〔介值Th.〕。4、如果=0。〔零点Th.〕。导数与微分一、理解导数与微分的概念1、导数定义1〕对的导函数,简称为导数,记为，即。2〕在点的导数为。注意理解导数定义的几种等价形式：==3〕导数存在的充要条件是：左、右导数存在且相等，即〔左导数〕〔右导数〕即2、导数的几何意义=曲线在点处的切线的斜率，即=，因此,曲线在点的切线方程为：；法线方程为：。3、微分的定义增量微分=4、连续、导数与微分的关系：可导可微二、导数与微分根本公式〕导数公式微分公式三、导数与微分法则1、四则运算法则设均可导、可微，则也可导、可微，且导数法则微分法则2、复合函数的微分法则〔导数〕设,而，且及都可导,则复合函数也可导，且或(微分)微分形式不变性：3、隐函数的求导方法方法一：复合求导法方程两边对*求导，再解出方法二：微分法求导法方程两边微分先出微分，再求导数。4、对数求导法先取对数后求导的方法。5、高阶求导法一阶、一阶地求导，再找规律6、参数方程确定的函数求导法四、微分的近似计算应用〔略〕微分中值定理与导数应用一、微分中值定理1、罗尔Th.、拉格朗日Th.、柯西Th.假设在[a,b]上连续，在点(a,b)内可导，则2、2个推论3、泰勒Th.假设在含有的*个区间内存在直到阶导数，则对该区间内任意点都有：即其中：，〔在与之间的数〕称为拉格朗日型余项，且二、洛必塔法则〔〕==A(或)。〔其他未定型极限要先化为后才用该法则〕三、函数单调性\曲线的凹凸性及拐点的判别方法函数单调性的判别方法设在区间内连续，在内可导，假设在，则在上为单调增加〔减少〕曲线的凹凸性及拐点的判别方法设在上连续，且二阶可导，假设>0(<0)，则曲线曲线在上为凹〔凸〕的；假设=0，且点左、右边二阶导数变号，则为曲线的拐点。函数的极值与最大、最小值及其求法1、可微的在点取得极值的必要条件为：一般的，使的点称为的驻点〔或稳定点、静止点〕。使不存在的点称为的奇异点。2、极值的判别方法：〔判别方法一〕设在点*邻域内可导，且〔或不存在〕.假设点左边，右边，则为极大值；假设点左边,右边,则为极小值；假设点左、右边不变号，则不是极值。〔判别方法二〕设在点存在，且假设；假设。〔判别方法三〕设，，······，，则当3、函数的最大、最小值求法求出驻点，奇异点和区间端点的函数值加以比拟，最大〔小〕者为最大〔小〕值五、求渐近线的方法1、假设2、假设3、假设作图(略)六曲率、弧微分公式〔略〕1、弧微分公式曲线弧方程为〔可微〕，则其弧微分公式为：〔〕假设曲线方程为，则2、曲率的计算公式曲线方程为y=f(*),则不定积分一、不定积分的概念与性质1、理解原函数与不定积分的概念设函数和在区间上都有定义，假设或者，则称函数为在区间上的一个原函数．函数在区间上的全体原函数+c称为在区间上的不定积分，记作，即，不定积分的性质1〕、积分与微分的关系：〔先积后导〕〔先导后积〕〔先积后微〕〔先微后积〕2〕、积分的运算性质：3〕、积分的形式与积分变量选择无关假设则。二、积分根本公式1〕2)，(为常数)，特别地，当时，记作，3)，，4)，5)，或者，6)．或者7〕，8)，9)，10)，11)，12)，13)，14〕，15〕，16〕，17)，18)，19)，20)，21)，22)，23)，24〕三、掌握主要的积分方法与技巧求不定积分,一般说来,我们依靠的是三法一表,所谓三法就是分项积分法、换元积分法和分部积分法。一表就是根本积分表。三种方法的根本思想都是要将原积分变形成为可以利用根本积分公式的形式，从而到达求出积分的目的。1、第一换元积分法〔凑微分法〕假设,可微则〔比照积分公式〕2、第二换元积分法〔变量置换法〕〔对难积分〕〔〕〔变形后对t易积分〕一般上，假设被积函数含有因子：1〕．。2〕．积分。注：3〕.。注：4〕.积分。注：另外还有倒代换，负代换等。3、分部积分法〔或局部积分法〕4、有理函数、三角函数有理式的积分法〔用综合除法、〔设待定系数法〕或等〕定积分一、定积分的概念与性质1、理解定积分的概念〔略〕=积分变量选择无关，即。定积分的几何意义曲边梯形的面积S定积分的性质1〕、2〕、〔规定〕3〕、4〕、5〕、6〕、=〔积分区间的可加性〕7〕、假设,，则8〕、〔估值Th.〕9〕、〔中值Th.〕假设在上连续，则在上至少存在一点c，使得，10〕、〔奇偶性〕二、可变上、下限积分及其求导Th。假设在上连续，则变上、下限积分与均可导，且1.2．3．4．=5．三、牛顿莱布尼兹公式〔NewtonLeibniz公式)假设在上连续.且，则四、定积分的换元积分法与分部积分法1、定积分第一换元积分法设，则有2、定积分第二换元积分法〔变量代换法〕设1〕在上连续；函数满足以下条件2〕在[]上单调，且连续；3〕当；则有：〔对*难积分〕〔换元的同时要换限，且换元方法与不定积分的换元法类同〕。3、定积分的分部积分法给出五、广义积分法〔反常积分法〕变上、下限积分的极限法〔为瑕点〕。〔为瑕点〕。定积分的应用一、定积分的元素法用量的微分元素进展积分而得到量的方法称为定积分的元素法〔微元法〕。二、定积分在几何学上的应用1、面积公式2、旋转体的体积公式3、截面面积的几何体体积假设垂直于*坐标轴〔*〕的各截面的面积A(*),(),则其体积为：4、〔略〕曲线在区间[a，b]上的弧长为s=。〔s=。〕三、定积分在物理方面的应用〔略〕变力沿直线所作的功w=流体〔水〕的压力、等〔略〕微分方程一、理解微分方程的根本概念微分方程的定义、方程的分类、方程的阶、方程的解微分方程的解分为二、掌握一阶微分方程的解法1、可别离变量的方程解法别离变量、积分。2、齐次方程：解法——设，变为可别离变量的方程求解。3、一阶线性微分方程：的通解为〔通解公式〕三、掌握二阶几个特殊方程的解法1、型解法连续2次积分便可得通解2、型解法设降为一阶方程求解3、型解法设，则，原方程降为一阶方程求解4、二阶常系数齐次线性方程：假设特征方程的两个根为，则方程〔1〕的通解为：两个不相等的的实根，两个相等的实根，一对共轭的复根，5、二阶常系数非齐次线性方程：方程〔2〕的通解形式为：y=+，其中为齐次方程〔1〕的通解，为方程〔2〕的一个特解。用比拟系数法〔待定系数法〕求。按照