结构力学2-第九章矩阵位移法

结构力学(II)2011

秋季主讲：叶结构力学教研室:

62795222():

yek

助教：吴

越::

wuyue19

1结构力学(II)第九

章

矩阵位移法第十六章

结构的极限荷载第十

章

结构动力计算基础结构力学(I)——基本结构力学(II)——专题龙驭球

包世华

主编龙驭球

包世华

匡文起高等教育袁驷

编著2006.12：学时861423参考书：1.

结构力学学习指导志飞编，高等教育雷钟和主编，雷钟和、龙，2005.74参考书：2.结构动力学

Dynamicsof

Structures

(3rd

Edition)[美]Anil.K.Chopra，

2006.1中文版：谢礼立等译结构动力学：理论及其在工程中的应用，2007.15课内外学时比1：3以上；按时完成作业，思考后面的思考题；提前预

题课；勤于总结、提炼。交作业时间周一晚10:00交上周五的作业，周四晚10:00交本周二的作业。及时完成作业，晚交的作业不予批改。课程要求67成绩组成平时作业+考勤

15%程序大作业15%期末考试

70%第九章

矩阵位移法§

9-1§

9-2§

9-3单元分析连续梁整体分析平面刚架整体分析8§9-1

单元分析一、概述矩阵位移法的特点：本质是位移法，数学推导采用矩阵方法，实际计算采用电子计算机。三者有机结合，使力学学科发生了性的变化。可轻松分析大型结构问题。杆系结构的矩阵位移法是以杆件为单元，以结构的结点位移作为基本未知量，导入矩阵运算，用计算机求解的方法。与位移法区别：单元标准化，远端固端。9B

q

AClEIlEIBCB

q

AClEIlEIBBB4i

3i

1

ql

2

0856iB

1

ql

212112ql

2

0CB

BB

C2i

4i

4i

4i

2i

1

ql

2

01052C

ql168i12B

56i

ql1234①②③1234①②③42化整为零，集零为整！面向计算机计算，可求解大型结构问题，不需要忽略杆件轴向变形！11拆装二、结构离散化用矩阵位移法求解，首先要将结构离散成单元和结点的组合体系。具体做法就是对结构进行结点和单元。离散化的关键——确定结构的全部结点。因为单元两端是结点，单元与单元、单元与支座均通过结点相连。确定了结构的全部结点，即确定了单元的划分。在杆系结构中，杆件的连结点、支座结点、截面突变点(以及荷载作用点)等均可取作结点。21

34①②③12结点

：1，2，3，……，n单元曲杆可用多段直杆近似代替(以直代曲)。进行结点

时，要尽量使单元两端结点的差值最小。41

2

3①

②③5342

②

③

④

⑤1

①6⑥

71257①②③4

④

⑤3⑥6：①，②，③，……，m131xyxye2三、单元杆端力和杆端位移的坐标变换1234①②③④xy1．坐标系结构整体分析—整体坐标系xy单元分析—局部坐标系x

y单元始端指向末端的方向就是x

轴的正方向坐标轴遵循右手法则，即从x(x)轴正方向顺时针转

90°得到y(y)轴正方向。1415

eeMM

e

F

1

2

eee

1

2

2.

单元杆端力和杆端位移1）连续梁单元1M

e22M

e11ee2eA连续梁单元的杆端没有线位移。B

q

ClEIlEIBAC2）平面刚架单元2xyyue1ve1u

e1v

e11

1x21e1e单元杆端位移y1FeFex1x2xyy单元杆端力y1Fex1Fe1

1M

e

M

e1e

e1234①②③④x16y单元局部坐标系结构整体坐标系1121eeevuu

e

e

e

2

v

e

2

1ey1eeeFMFMFex1

e

F

x2

Fe

y2

2

eevue

1

1

e

e

1

e

u2

ve

2

2

ey1eeeFMFMFex1

e

1

F

x2

Fe

y2

2

以上杆端力和杆端位移中，下标1表示单元的始端，下标2表示单元的末端。17单元局部坐标系结构整体坐标系对单元杆端力无贡献。y1在单元局部坐标系中，Fey

2

0,

Fe

012ee；位移

v

和v3）桁架单元eFF

F

ex1

ey1F

e

x

2

F

e

y

2

1eeevuvu

e

1

2

e

2

euvue

1

ve

e

1

2

e

2

eFFFex1

Fee

y1

x

2

Fe

y

2

182x1

y1

1

1

x

2

y

2F

e

,

F

e

,

u

e

,

v

e

,

F

e

,

F

e

,

u

e

,

v

e2e

ee

ee21

2

1e2

1

2e1M

，M

，，M

，M

，

e，

,以上杆端力矩和杆端转角均以顺时针方向为正，逆时针方向为负。4）单元杆端力和杆端位移的正负号F

e

,

F

e

,

u

e

,

ve

,

F

e

,

F

ex1

y1

1

2

x

2

y

219,

u

e

,

ve2

2以上杆端力和杆端线位移与相应的坐标轴正方向一致为正，相反为负。3.

单元坐标转换矩阵1xy2xye

角：由整体坐标系的x轴顺时针转到单元局部坐标系x轴的正方向所形成的夹角,如下图示。2021eex1x1y1e

ey1y1x11eex

2eey

2ex

2y

2e2FF

sin

Fe

Fcos

F

sin

F

cosFe

F

sin

M

eM

eF

Fe

cos

Fsin

F

cos

1x

2y

2M

M

e

2x1Feex1F

cosex1F

siny1ey1F

siney1F

cosFe2xyxy1对于平面刚架单元，用整体坐标系中的杆端力来表示单元局部坐标系中的杆端力，得到：Fex1Feey1FeeFx1e11ye1M

M写成矩阵形式即{F}e

[T

]{F}e000eeeeFFMMFeFex1

0

x1

FeFe

cossiny1

0

y1

Me

1

e1

0

x2

0

Fe

sin

0

0

0cos

0

0

00

1

0

0

0

M0

0

cos

sin

00

0

sin

cos0

0

0

0

1y

2

y

2

x2

Fe

2

2

220000

cos0sin000[T]

sin

0

0

0

0cos

0

0

00

1

0

00

0

cos

sin0

0

sin

cos0

0

0

0

1同理有。[T

]称为单元坐标转换矩阵。{}e

[T

]{}e23{F}e

[T

]T{F}e{}e

[T

]T{}e对于平面桁架单元，其单元坐标转换矩阵为：00

cossin[T]

sin

0

0cos

sin

0cos

00

cos0

sin

坐标转换矩阵[T]是正交矩阵，即矩阵任意两行或两列元素对应乘积之和等于零。[T

]1

[T

]T如果用局部坐标系中的单元杆端力来表示整体坐标系中的杆端力，就可以得出：24同理四、单元刚度矩阵由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的关系式称为单元刚度方程。单元局部坐标系中，{F}e

[k]e{}e。①结构整体坐标系中，{F}e

[k]e{}e。②在上面两式中，[k

]e

和[k

]e

分别称为局部坐标系及整体坐标系中的单元刚度矩阵。通常总是先求出局部坐标系中的单元刚度矩阵[k]e，然后利用[k]e

推得整体坐标系中的单元刚度矩阵[k]e

。25下面[k

]e

和[k

]e

之间的转换关系。将①代入{F}e

[T

]T{F}e

得到：因为{}e

[T

]{}e

，于是得到：比较式②、④，有：{F

}e

[T

]T

[k

]e

{}e③{F}e

[T

]T[k

]e[T

]{}e④[

k

]e

[T

]T

[

k

]e

[T

]⑤下面

如何求局部坐标系中的单元刚度矩阵。261．平面刚架单元为了推导[k

]e中各元素，采用单位位移法：即在单元的六个杆端位移中，每次只令一个杆端位移为1，其余杆端位移为0。为此，在单元两端就必须施加一组杆端力，这一组杆端力就构成了[k

]e的一列元素。272812yex12EIl3ey1F

y

2Fel3

12EI1l

2EI

lM

e

6EI2M

el

2

6EI1v

e

11

EI

lye1e

1y1

6EIl2Fey

2

2

xF

el

2

6EI1lM

e

4EI2M

el

2

EI12EA

le

EA

/

lyx1Fex

2Fex

EA

/

l1eu

112EI

leyxy1

12EIl3Fey

2Fe

l3

12EI1l2M

e

6EI2l2M

e

6EI

2v

e

12EI

leyx

EA

/

l

1x1Fex

2

EA

/

lFe2u

e

12EI

l

yexy1F

ey

2Fel2

6EI

6EI

e2EIll

2

M1

1e24EIMl2e29

1由上面六个图中的杆端力就可以写出局部坐标系中单元杆端力和杆端位移之间的刚度方程：1220

0000000eel0l012EI

6EIl3

l26EI

4EIMellllEAFl0l012EIMl2l3

l26EI

2EIl2ll2l

EA

EAFex1

Fel26EI

2EIy1

1

EA

x2

F2

y2

0

012EI

6EI

2

l36EI

4EI

veee0012EI

6EI

l3

ue

1

1

e

u2

ve

6EI

2

2

30000000l0l

2l0EAl0l

2EAl

EA

012EI

6EI

l36EI

2EI

l

2[k

]

e

EA

l

0012EI

6EI

l36EI

4EI

l

20

012EI

6EIl3

l

26EI

4EIl

2

l0

012EI

6EIl3

l

26EI

2EIl

2

ll上式就是平面刚架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。31单元刚度矩阵中元素的物理意义：移等于零时单元的六个杆端力的值。[k

]e中第2行各元素是单元的六个杆端位移分y1别等于1时杆端力

F

e

的值。e[k

]中第2

列各元素是而其余杆端位132ev

12．平面桁架单元1eFv

eue

F

e0

u

e

x1

1

EA

00

y1

1

0

10

00

1

00

0

F

e

2

l

1Fex

2

e

00v

2

y

20

EA

0[k

]

e

0

1

0

1

0

0

0l

1

0

10

0

00

333

．连续梁单元eeMe

M

e

1

1

l

4EI

2EI

l

2EI

4EIl

2

2

l[k

]e

4i

2i

2i

4i

12EI

l1M

e

4EI

/

l2M

e

2EI

/

l1e

1e2

0e12EI

l1M

e

2EI

/

l2M

e

4EI

/

l1e

0e2

1e令

i

EIl，则34对于平面刚架单元和桁架单元，因为单元两端无约束，在平面内可以产生刚

移，故

[k]e不能求逆，即如果给定

{}e，则根据单元刚度方程可以确定{F}e。但如果定{F

}e，却不能唯一确定{}e

。需要的是，连续梁单元的[k]e是非奇异矩阵，因为单元杆端线位移已经受到约束，不能产生刚移。4．[k

]e

的性质1）对称性，即

k

e

k

e

。ij2）奇异性，即

[k

]eji

0

。353）分块性4i2i

4i2i

16i2

4i2

12i2

0111221]e[K]e]e[K[K]e

[K

]e

[K22

1ee{F

}{F

}[F

]e

2

1ee{

}[]e

{

}2

36§9-2

连续梁整体分析一、位移编码与单元定位向量结构离散后，为明确并区分待求解的结点位移由单元两端位移未知量

组成的向量称为单元定位向量，用{}e表示。①{}1

[1,2]T②{}2

[2,3]T③{}3

[3,0]T2(2)

3(3)1(1)，需对结构的结点位移进行

。若位移约束为零，位移

也为零。4(0)371(1)2(2)3(3)4(4)2(1)

3(2)4(3)2(2)

3(3)4(0)①{}1

[1,2]T1(0)②{}2

[2,3]T③{}3

[3,4]T①{}1

[0,1]T1(1)2(1)3(2)4(0)①{}1

[0,1]T②{}2

[1,2]T③{}3

[2,0]T②{}2

[1,2]T③{}3

[2,3]T③{}3

[3,0]T①{}1

[1,2]T1(0)②{}2

[2,3]T38二、连续梁整体分析结点力矩向量{F}[F

F

F F

]T

[M

M

M M

]T1

2

3

4

1

2

3

4结点位移向量TT1

2

3

4

1

2

3

4

]{}[

]

[整体分析的目的是建立{F

}和{△}之间的整体刚度方程，即

{F}

[K

]{}

。式中，[K

]为连续梁的整体刚度矩阵。1．整体刚度方程M3①1234(2)

②

(3)

③(4)ii1i2

3M1(1)M2M43940结点平衡方程：1112212233M

1

MM

M

MM

M

M1

M

42

3M

2为了建立整体刚度方程，需要利用结点平衡条件和位移协调条件。①②③12

1M

1

M

1M

22M

21M

32M

3121

1

2

1

2

1

2

32

1

3

2

4

3

M11M22M33M44i1i2i3上述杆端力矩和杆端转角中，下标1、2分别表示单元的始端和末端，上标为单元

。1eeee

1e

2ee

eM

4i

2i

对于任意单元e，有：M

2i

4i

2

e

1

e

2将上页所示结点平衡方程中的单元杆端力矩用单元杆端转角来表示：2

21

1

1

22

12222

234i

2i

M)

(4i

2i

)

M(2i

4i(2i

4i

)

(4i2

23

2i

3

)

M

2

1(2i

4i

)

M111221223134M1

M

M

MM

MM

M

2

3M

M

2在上式中引入变形协调条件：111

11

2

111221

11

22

12

2222332

23

13

234(2i(2i

2i4i

M

4i

)

(4i

2i

)

M

4i

)

(4i

2i

)

M

2

1(2i

3

4i

3

)

M

321332423

2

2

2

3

3

3

4

3422i

(4i

4i

)

2i

M2i33

4i34

M

4就得到：4i11

2i12

M12i11

(4i1

4i2

)2

2i23

M

220M1

4i1

2i1

00

1

M

0

2i

4i

4i

2i

2

2

1

1

2

2

0

2i

4i

4i2

32i32i

3

3

M

3

M4

04i3

4

将上式写成矩阵形式，得到连续梁的整体刚度方程为：122302i12i200

0

4i1

2i12i

4i

4i[K

]

2i3

0

04i2

4i32i

4i

3

则整体刚度矩阵为：43442．利用单元定位向量装配整体刚度矩阵利用单元定位向量可以方便地由单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵。将单元定位向量写在单刚的上方和左侧，则左侧的数字就是单刚ke的元素在整体刚度矩阵[K]中的行码，而单刚上方的数字就是单刚元素在[K

]中的列码。现以下页图示连续梁为例利用单元定位向量集成整体刚度矩阵[K

]。[k]1

4i12i12i1

4i1

121

2{}1

[1,2]T

{}2

[2,3]T[k]2

4i2

24i2

2i2

3

2i2

{}3

[3,4]T23[k]3

4i3

3

4i3

2i3

4

2i3

34①234(2)

②(3)

③(4)i21i3M11

i(1)M2M4123122302i0

0

4i1

2i12i

4i

4i[K

]

1

0

2i20

0124i2

4i3

2i3

32i

44i

3

445{}2

[1,2]T1(0)

i12(1)

i23(2)i3

4(3)②③{}3

[2,3]T①{}1

[0,1]T0

11[k]1

4i

2i1

2i14i1

012[k]2

4i

2i2

12

2i2

4i2

123[k]3

4i3

2

4i

2i3

3

2i323204(i1i2)[K]

2i32i2

0

4(i2

i3)

2i

2i34i3146231233.

两端铰支的n跨连续梁①

②1

23n-1nn+1n-1ni1

i2in-1in1233

442i4(i2in2n2

n1n1n14i1

2i12i

4(i

i

)

2i1

22i2

4(i2

i3)

2i32i4(i

i

)

2ii

)

2i4(i

i

) 2i

[K]

n

n1

n2in

4in

0048整体刚度矩阵的性质[K

]是对称矩阵，且是非奇异矩阵。[K

]是三对角线矩阵。3元素kij表示当θj

=1（其余结点转角等于零）时结点力偶Mi

的值。上式中：kj

j

=4ij1+4ijk

j1,

j

=

k

j,

j1=2ij1k11

4i1kn1,n1=4in(j

2,3,,n)(j

2,3,,n

1)三、等效结点荷载在结构整体刚度方程{F}=[K]{△}中，{F}只能是结点外力偶组成的向量。如果单元上作用有非结点荷载，必须转换成等效结点荷载（结点力偶）才能求解。等效是指非结点荷载产生的结点转角与等效结点荷载产生的转角相同。1

3FP2213FP

M0222-M02即为等效结点荷载。49

0

(Ⅰ)13-M0222

2(Ⅱ)图c）的结点力偶就是图a）所示非结点荷载的等效结点荷载。c)①

②③1-M022-M033-M044a

)1(0)3(2)4(3)8kN2(1)4m①

②

③4m

2m

2m12kN/m1

0,1T2

1,2T3

2,3Tb)①②③1248kNM033M0412kN/m

M0250

101M16M1F

01

16

02

20MM2

4F

01

4202

51303FM0M

3

01

0

02

固端力矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。2.

求等效结点荷载将单元固端力矩反号，然后利用单元定位向量集成等效结点荷载向量{P}。1.

求单元固端力矩02203301020M1

M

2

16

401

02

4

M

M12

4

0

0

02

M

3

MP

MM

04

01

16

02

01

10

M

11

M

16

F

12

44

2

02

01

20

M2

M

F

230052

301

30

M3

M

F

02

具体做法是，将单元定位向量写在的元素在等效结点侧，则右侧的数字就是荷载{P

}中的行码。

的右0e

F

0e

FjM02

M2

F

PP

M

M

03

3

M

M

04

4

如果结点上还作用有结点力偶，则总结点荷载向量为：等效结点荷载 结点力偶结点力偶以顺时针方向为正，逆时针方向为负。53054eeeMe4i

2ie

Me{F}e

[k

]e{}e

{F

}e

1

01

2i

4i

e e

2

02

四、求单元杆端弯矩T12

3n求得结点转角{}[

]后，各单元杆端弯矩按下式计算：1ee2式中，

和取值。要根据位移协调条件在{△}中各单元线刚度为：2

31

467.2

1.2i

i

EI

ii

i

EI

i

例9-2-1

用矩阵位移法作连续梁的弯矩图，各杆EI相同。1(0)2(1)

3(2){}4

[3,0]T①7.2m{}1

[0,1]T②6m{}2

[1,2]T③6m{}3

[2,3]T4(3)5(0)④7.2m

1kN/m

1kN/m解:1单元

、结点、结点位移未知量

及单元定位向量见上图。2

求各单元刚度矩阵[k]e。553）集成整体刚度矩阵[K

]。利用单元定位向量将单元刚度矩阵的元素叠加到整体刚度矩阵中，得到1.67i[k]1

4

/1.22

/1.24

/1.22

/1.2i

0

3.331

1.67

3.3301[k]

4

4

/1.22/1.2

i

3

03

3.33

1.67

i2

/1.2

4/1.2

0

1.67

3.33

[k

]2

i4

2

412

21

2

i24

2

42[k

]3

32

37.3320

i[K]

282

027.3356574）求等效结点荷载{P

}。单元固端力矩为利用定位向量集成{P

}。

101M4.321

M

F

01

4.32

02

202MM2

0F

01

0

02

303M3

F

01

3M

3

02

404MM4

0F

01

0

02

4.3204.32

1

10F

0

20

120F

2

33330F

30

0

040

F

4.32P

3

3

5）解方程组求得结点位移为20.786

0.723

1

3

i

0.606

4

6)求各单元杆端弯矩并作弯矩图7.3320282027.33

2

4.32i

3

3

4

3

1M1

1

M

3.33 1.67

0

1

4.32

-1.31

4.32

5.63F

=

+

1

i

1.673.33

0.786

i

4.32

-2.62

4.32

1.702

22M2

0.786101.70M2

4F

1

i

24

0.723

i0

1.32

2

58

33M4 2

0.7231

3

1.68

3

1.32M3F

1

i

2 4

0.606i

30.98

3

2.02

2

44M3.33 1.67

0.6061

0

2.02M4

F

=

1

i

1.673.33

0

i

0

1.01

2

155.632.821.7021.3232.832.0241.01M图(kN.m)59五、无结点线位移刚架的处理上图示刚架不考虑杆件的轴向变形，则该刚架无结点线位移未知量，只有四个结点转角未知量：5T{}

[1

2

4

]用矩阵位移法计算无结点线位移刚架，如果不考虑杆件的轴向变形，由于其未知量也只有结点转角，所以计算原理和方法同连续梁。1(1)

i

2(2)①④i3(0)2i

4(3)②⑤i5(4)i

6(0)③单元定位向量为：{}1

[1,2]T

{}2

[2,3]T60{}3

[3,0]T{}4

[2,0]T{}5

[3,4]T单元刚度矩阵为：整体刚度矩阵2i4

[k]1

1

42

2

[k]3

3

4

2i0

2

4

[k]2

2

8

4i3

4

8

[k]5

3

4

2i4

2

43

43

0

[k]4

2

4

2i0

2

42

01

22

3

4

2

0 0

2

16

4 0

4

160

2

i[

K

]

002

4

61§9-3

平面刚架整体分析一、结点位移未知量为了确定各单元的定位向量，要按照结点从小到大的顺序对结构每个结点的未知量u、v、θ

进行

。若某个结点位移未知量等于零，则

为零。二、单元定位向量由单元两端位移未知量

组成的向量称为单元定位向量，用{}e表示。62在单元定位向量中，单元始端结点的位移未知量

，末端结点的位移未知量编号在后，见下页图示。单元定位向量的作用：1决定单元刚度矩阵[k]e各元素在整体刚度矩阵[K]中的行码和列码。2决定单元等效结点荷载向量{P}e的各分量在结构的结点荷载向量{P}中的位置。3决定单元杆端位移{△}e的各分量在结构的结点位移向量{△}中的位置。631(0,0,1)3(5,6,0)4(7,0,8)①②③2(2,3,4)④

⑤3(4,5,6)2(1,2,3)4(4,5,7)①②

1(0,0,0)

5(0,0,0)③①②1(1,2,3)2(4,0,5)3(0,0,0)1

1,2,

3,

4,

0,

5

T2

1,2,

3,

0,

0,

0T1

1,2,3,

4,5,6

T2

1,2,3,

0,

0,

0T3

4,5,7,

0,

0,

0T3

5,6,

0,

0T641

0,0,1,

2,

3,

4T4

2,3,5,6T2

2,3,

4,

7,

0,8T5

5,6,

7,

0T以上结构各杆都考虑轴向变形的影响。若刚架的杆件不考虑轴向变形，则结点位移未知量及单元定位向量如下：{}1

[1,0,2,1,0,3]T{}2

[1,0,2,0,0,0]T{}3

[1,0,4,0,0,0]T不考虑轴向变形{}1

[1,2,3,4,5,6]T{}2

[1,2,3,0,0,0]T{}3

[4,5,7,0,0,0]T考虑轴向变形4(1,0,4)

5(0,0,0)3(1,0,3)①②1(0,0,0)③2(1,0,2)

2(1,2,3)3(4,5,6)4(4,5,7)5(0,0,0)①②1(0,0,0)③65三、装配结构整体刚度矩阵{}1

[1,2,3,0,0,0]T{}2

[1,2,3,4,5,6]T{}3[4,5,7,0,0,0]T解:EA165103kN/mll4EI

12103

kN.ml312EI

2.25103kN/

ml26EI

4.5103kN例9-3-1

求整体刚度矩阵[K]。已知各杆刚度系数为：EA

6.6105kN,

EI

1.2104

kN.m2。①②2(1,2,3)

3(4,5,6)4(4,5,7)③1(0,0,0)4m4m5(0,0,0)xy66671）形成单元刚度矩阵局部坐标系中的单元刚度矩阵为：求整体坐标系中的单元刚度矩阵：对于单元②，α

=0°，故

[k

]2

[k

]2。对于单元①和③，α

=90°，得[k

]1

[T

]T

[k

]1[T

][k

]3

[T

]T

[k

]3

[T

]

165

01

2

3

0k

k

k

165

0

0000

4.5

6

1030

4.512

2.254.52.254.5124.50002.254.52.254.564.5

01[T

]

0100

0

1

000010101000

1T06T01

00

00

114.5

00

0

1650

0

165

00

2.25

4.5

0

2.250

4.5

12

0

4.5k

6

103

0

0

1

0165

01

0

0

0

2.250

0

0

4.54.5112

0

165

00

2.25

4.50

4.5行变换1T

0Tk

00

0

1653T

10

01654.5

0

02.2504.5001652.2504.5

00

1100004.51204.56

001

02.25

4.5

0

2.250

0

165

04.5

6

0

4.512

0

11

00

0

1列变换684.50

0

4.5

2.25

00

165

0

0

1650

12

4.5

06

1030

0

4.5

2.25

0

4.5

0

.50

122

0

2.250

4.54

1

2.2553

4.57[k]1

[k]3

00

0045700012300033

11

165

0

0165

0

00016500

4.5

6

1030

4.512

22.254.502.25k2

344.5012001654.5052.254.502.2564.5604.569245631K4.500041

2.2504

5

72

3

000

4.52.25

0133

1k

2

02.4.02.4.1

1652

03

04

5

6

1

22）形成整体刚度矩阵K

70相关未知量：未知量△i的相关未知量是指△i本身以及与之属于同一单元的其他未知量。例如未知量△4的相关未知量为未知量△1

、△2

、△3、△4

、△5

、△6

、△7。相关单元：单元定位向量中有i

的单元称为未知量△i的相关单元。例如，未知量△4的相关单元为单元②、③。①②2(1,2,3)

3(4,5,6)4(4,5,7)③1(0,0,0)4m4m5(0,0,0)xy71主对角元素Kii由未知量△i的相关单元的刚度矩阵的主对角元素叠加而成。K

k2

k3

(1652.25)103

167.2510344

44

11若未知量△i与△j是相关未知量，则Kij=

Kji

≠0若未知量△i与△j不是相关未知量，则

Kij=Kji

=0。如△1与△7不是相关未知量，则K17=K71

=0。72在整体刚度矩阵[K]中：整体刚度矩阵[K

]的性质如下：[K

]是对称矩阵。[K

]是非奇异矩阵，即∣[K

]∣≠0，因为采用先处理法，结点位移未知量中已剔除了零位移分量，即已经引入了支座条件，结构没有刚移。[K

]的元素分布在对角线两侧的斜带形区域内，即具有带形分布规律。越是大型结构，矩阵[K]的带形分布规律越明显。7374四、等效结点荷载平面刚架的整体刚度方程{F}=[K]{△}反映的是结构的结点力与结点位移之间的转换关系，它并不能直接建立非结点荷载与结点位移之间的关系。因此非结点荷载要转换成等效结点荷载才能求解。所谓等效，是指非结点荷载产生的结点位移与等效结点荷载产生的结点位移相等，故等效是指结点位移等效。-M2即为等效结点荷载。123FP2123FPM22

0

(Ⅰ)

123-M22

2(Ⅱ)75{F

}e

[F

eP

xP1yP1

P1

xP

2

yP

2P

2在单元局部坐标系中，单元固端力、为负；

以顺时针方向为正，逆时针为负。eFF

e

M

e

F

e

F

e

M

e

]TexPi

yPiF分别与坐标轴

x

和

y

正方向一致为正，相反ePiM步骤：1）求单元固端力{FP}（e局部坐标系）1非结点荷载的正方向见右图。2）求单元等效结点荷载{P}e(整体坐标系）2FP

q

xymeP{P}e

[T

]T{F

}e(

{F}e

[T]T{F}e)76yP1P1xP2yP2PFeMeFeFeMe]T223040xP1{P}e

[Fe1{P}

[********]T12345678F

{P}

{Pj

}77{Pj

}为结点荷载向量。3）利用单元定位向量由Pe集成结构等效结点荷载向量P。若结构的结点上还作用有结点荷载，则结构总的结点荷载向量F为：1）单元定位向量为：{}1

[1,2,3,0,4,0]T{}2

[1,2,3,0,0,5]T例9-3-2求等效结点荷载向量{P}，考虑杆件的轴向变形。解：12kN.m2(0,4,0)1(1,2,3)

①4.8kN/m8kN②3(0,0,5)

x5my2.5m782.5m{FP}1

[0

12

10

0

12

10]TP{F

}2

[04

5

0

4

5

]T2）求单元固端力（局部坐标系）4.8kN/m①xy101210125②8kN54x4

yα=90°793）

求单元等效结点荷载{P}e（整体坐标系)2T

2000P0

1

00

00

1

04

41

4

0

0

{P}

[T]

{F

}

123005

5

5

50

11

00

0

4

4

0

00

0

0

451

5

5

(

90

)。{P}1

{F

}1

[0

12

10

0

12

10]TP1

2

3

0

4

080(

0。)810

4

41212

012{P}

0

5

51j 0

0

{P

}

12

12

0

5

5

0

jF

{P}

{P

}

7

12

5

叠加结点荷载向量{Pj}，则总结点荷载向量为：

4

124）

求结构等效结点荷载向量{P}五、求单元杆端力并作内力图解整体刚度方程求得结构的结点位移向量{△}后，欲求单元杆端力向量Fe，要从{△}中取出单元

e

的杆端位移组成向量{}e

，为此要利用单元定位向量。例10-3-2的单元②，其整体坐标系中的单元杆端位移{}2为：

0

0

]T35{}2

[

1

2单元杆端力按下式计算：

eeeee

eP

[T]{}

F

[k

]

{}

F

82eeeP{F}e

[k]e{}eF

[T]{F}

F或例9-3-3

求下图示组合结构的内力。1）结构的结点编码、单元编码、结点位移未知量编码如上图所示。单元定位向量为：{}1

[0,0,0,1,2,3]T

{}2

[1,2,3,4,5,6]T{}4

[0,0,1,2]T{}3

[4,5,6,0,0,0]T

{}5

[4,5,0,0]T解：20m20m15m

10kN/m

⑤①

2(1,2,3)

②20m3(4,5,6)

③4(0,0,0)5(0,0,0)④1(0,0,0)6(0,0,0)xy横梁：EA

2EI

/m2831

120m2吊杆：

E

A

EI

2）形成单元刚度矩阵（整体坐标系）单元①

、

②

、

③：[k

]e

[k

]e4EI4

EIl20EA

2EI

2

EIl

20

20400

20

20l312EI

12

EI

0.03

EI20