上海市闵行区名校2022-2023学年数学九年级上册期末教学质量检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，.若要使四边形为菱形，则可以添加的条件是（）A． B． C． D．2．将半径为5cm的圆形纸片沿着弦AB进行翻折，弦AB的中点与圆心O所在的直线与翻折后的劣弧相交于C点，若OC=3cm，则折痕AB的长是（）A． B． C．4cm或6cm D．或3．如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（）A． B． C． D．4．已知点，，是抛物线上的三点，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．5．把二次函数，用配方法化为的形式为（）A． B．C． D．6．已点A（﹣1，y1），B（2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，并且y1＜y2，那么k的取值范围是（）A．k＞0 B．k＞1 C．k＜1 D．k≠17．如图，等边的边长为是边上的中线，点是边上的中点.如果点是上的动点，那么的最小值为（）A． B． C． D．8．下列方程中，是一元二次方程的是（）．A． B． C． D．9．如图，点A、B、C是⊙0上的三点，若∠OBC=50°，则∠A的度数是（）A．40° B．50° C．80° D．100°10．如果可以通过配方写成的形式，那么可以配方成（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在轴的正半轴上依次截取……，过点、、、、……，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点、、、、……，得直角三角形、，，，……，并设其面积分别为、、、、……，则__．的整数）.12．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，且AE：ED＝1：2，若EF＝4，则CE的长为___13．如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1cm，则BF＝__________cm.14．在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____．15．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为_________．16．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（﹣1，2），B（1，﹣2）两点，若y1＞y2，则x的取值范围是_____．17．若关于x的一元二次方程x2+2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．18．若关于的方程和的解完全相同，则的值为________．三、解答题(共66分)19．（10分）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝度；（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝1．若BD是∠ABC的平分线，①求证：△BDC是“近直角三角形”；②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连结AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．20．（6分）小王和小张利用如图所示的转盘做游戏，转盘的盘面被分为面积相等的1个扇形区域，且分别标有数字1，2，3，1．游戏规则如下：两人各转动转盘一次，分别记录指针停止时所对应的数字，如两次的数字都是奇数，则小王胜；如两次的数字都是偶数，则小张胜；如两次的数字是奇偶，则为平局．解答下列问题：（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？（2）该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．21．（6分）如图，与交于点，过点，交与点，交与点F，，，，.(1)求证：(2)若，求证：22．（8分）如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是1．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（1）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．23．（8分）先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=1．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．24．（8分）一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．（Ⅰ）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；（Ⅱ）求两次取出的小球标号相同的概率；（Ⅲ）求两次取出的小球标号的和大于6的概率．25．（10分）在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．26．（10分）如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′，若反比例函数的图像恰好经过A′B的中点D，求这个反比例函数的解析式．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可.【详解】解：∵在四边形中，，∴四边形是平行四边形若添加，则四边形是矩形，故A不符合题意；若添加，则四边形是矩形，故B不符合题意；若添加，与菱形的对角线互相垂直相矛盾，故C不符合题意；若添加则四边形是菱形，故D符合题意.故选D.【点睛】此题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的判定定理是解决此题的关键.2、D【分析】分两种情况讨论：AB与C点在圆心同侧，AB与C点在圆心两侧，根据翻折的性质及垂径定理和勾股定理计算即可．【详解】如图：E是弦AB的中点是直角三角形，沿着弦AB进行翻折得到在中如图：E是弦AB的中点是直角三角形沿着弦AB进行翻折得到在中故选：D【点睛】本题考查的是垂径定理，掌握翻折的性质及垂径定理并能正确的进行分类讨论画出图形是关键．3、D【解析】水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图有圆形．【详解】解：依题意，光线是垂直照下的，它的正投影图有圆形，只有D符合，故选：D．【点睛】本题考查正投影的定义及正投影形状的确定．4、D【分析】将A，B，C三点坐标分别代入抛物线，然后化简计算即可.【详解】解：∵点，，是抛物线上的三点，∴，，.∴故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标，将点坐标分别代入关系式，正确运算，求出a，b，c是解题的关键．5、B【分析】先提取二次项系数，再根据完全平方公式整理即可．【详解】解：；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的三种形式的转化，难点在于（3）判断出二次函数取最大值时的自变量x的值．6、B【分析】利用反比例函数的性质即可得出答案．【详解】∵点A（﹣1，y1），B（1．y1）都在反比例函数y＝的图象上，并且y1＜y1，∴k﹣1＞0，∴k＞1，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象上的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7、D【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解【详解】连接BE，与AD交于点G．∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点C关于AD的对称点为点B，∴BE就是EP+CP的最小值．∴G点就是所求点，即点G与点P重合，∵等边△ABC的边长为8，E为AC的中点，∴CE=4，BE⊥AC，在直角△BEC中，BE=，∴EP+CP的最小值为，故选D.【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的对称性、三线合一的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.8、A【分析】根据一元二次方程的定义进行判断．【详解】A、符合题意；B、是一元一次方程，不符合题意；C、是二元一次方程，不符合题意；D、是分式方程，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．9、A【分析】在等腰三角形OBC中求出∠BOC，继而根据圆周角定理可求出∠A的度数．【详解】解：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=50°，∴∠BOC=180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠A=∠BOC=40°；故选A．【点睛】本题考查在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．10、B【分析】根据配方法即可求出答案．【详解】∵x2−8x＋m＝0可以通过配方写成（x−n）2＝6的形式，∴x2−8x＋16＝16−m，x2−2nx＋n2＝6，∴n＝4，m＝10，∴x2＋8x＋m＝x2＋8x＋10＝0，∴（x＋4）2＝6，即故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】根据反比例函数y=中k的几何意义再结合图象即可解答．【详解】∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,S=|k|.∴=1,=1，∵O=，∴==，同理可得,=1====.故答案是：.【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义.12、1【分析】根据AE：ED＝1：2，得到BC=3AE，证明△DEF∽△BCF，得到，求出FC，即可求出CE．【详解】解：∵AE：ED＝1：2，∴DE＝2AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝AE+DE＝3AE，AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴，∴∴FC＝6，∴CE＝EF+CF＝1，故答案为：1．【知识点】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的判定与性质定理是解题关键．13、2+【详解】过点E作EM⊥BD于点M,如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM=EC=1cm，∴DE=EM=cm.由旋转的性质可知：CF=CE=1cm，∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1++1=2+cm.故答案为2+.14、1【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．【详解】由勾股定理得：AB＝＝10，∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10；∴这个三角形的外接圆半径长为1，故答案为1．【点睛】本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握是解题的关键.15、3：1【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案．【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：21∴两个相似三角形的相似比是3：1∴对应边上的中线的比为3：1故答案为：3：1．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．16、x＜﹣2或0＜x＜2【解析】仔细观察图像，图像在上面的函数值大，图像在下面的函数值小，当y2＞y2，即正比例函数的图像在上，反比例函数的图像在下时，根据图像写出x的取值范围即可.【详解】解：如图，结合图象可得：①当x＜﹣2时，y2＞y2；②当﹣2＜x＜0时，y2＜y2；③当0＜x＜2时，y2＞y2；④当x＞2时，y2＜y2．综上所述：若y2＞y2，则x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．故答案为x＜﹣2或0＜x＜2．【点睛】本题考查了图像法解不等式，解题的关键是仔细观察图像，全面写出符合条件的x的取值范围.17、k＜【分析】根据当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根可得△＝4﹣12k＞0，再解即可．【详解】解：由题意得：△＝4﹣12k＞0，解得：k＜．故答案为：k＜．【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根．18、1【分析】先分解因式，根据两方程的解相同即可得出答案．【详解】解：，，∵关于x的方程和的解完全相同，∴a=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确用因式分解法解方程是解此题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）20；（2）①见解析；②存在，CE＝；（3）tan∠C的值为或．【分析】（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°；（2）①如图1，设∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，即,即，解得：AE=，即可求解.（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，设BH＝x，则HE＝5﹣x，则AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝，即可求解；②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，AF∶EF＝AG∶GE＝2∶3，则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝2k，在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝1k，由勾股定理得：25＝8k2+16k2，解得：k＝，即可求解.【详解】解：（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，故答案为20；（2）①如图1，设∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②存在，理由：在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，AB＝3，AC＝1，则BC＝5，则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，即，即，解得：AE＝，则CE＝1﹣＝；（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，则AE⊥BF，则AF＝FE＝3，则AE＝6，AB＝BE＝5，过点A作AH⊥BC于点H，设BH＝x，则HE＝5﹣x，则AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝；cos∠ABE＝＝＝cos2β，则tan2β＝，则tanα＝；②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，则EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴ED∥AH，则AF∶EF＝AG∶GE＝2∶3，则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝2k，在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝1k，由勾股定理得：25＝8k2+16k2，解得：k＝；在△ABD中，AB＝5，BD＝6k＝，则cos∠ABD＝cosβ＝＝＝cosC，则tanC＝；综上，tan∠C的值为或．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值等知识.属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.20、（1）；（2）该游戏公平．【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；

（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公平．【详解】解：（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率=；（2）该游戏公平．理由如下：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次的数字都是奇数的结果数为1，所以小王胜的概率=；两次的数字都是偶数的结果数为1，所以小张胜的概率=，因为小王胜的概率与小张胜的概率相等，所以该游戏公平．【点睛】本题考查的知识点是游戏公平性，概率公式，树状图法，解题关键是熟练运用树状图法.21、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△AOB∽△COD,从而可证∠A=∠D；（2）证明△AOE∽△DOF,△BOE∽△COF,然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可.【详解】证明：（1）∵，，，,∴,∵∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD,∴∠A=∠D；（2）∵∠A=∠D，∴AB∥CD,∴△AOE∽△DOF,△BOE∽△COF,∴,,∴,∵，∴【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何证明．22、（1），顶点D（1，）；（1）C（，0）或（，0）或（，0）；（2）【解析】（1）抛物线的顶点D的横坐标是1，则x1，抛物线过A（0，﹣2），则：函数的表达式为：y=ax1+bx﹣2，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；（1）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种情况求解即可；（2）由S△PAB•PH•xB，即可求解．【详解】（1）抛物线的顶点D的横坐标是1，则x1①，抛物线过A（0，﹣2），则：函数的表达式为：y=ax1+bx﹣2，把B点坐标代入上式得：9=15a+5b﹣2②，联立①、②解得：a，b，c=﹣2，∴抛物线的解析式为：yx1x﹣2．当x=1时，y，即顶点D的坐标为（1，）；（1）A（0，﹣2），B（5，9），则AB=12，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：①当AB=AC时，则：（m）1+（﹣2）1=121，解得：m=±4，即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；②当AB=BC时，则：（5﹣m）1+91=121，解得：m=5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣1，0）；③当AC=BC时，则：5﹣m）1+91=（m）1+（﹣2）1，解得：m=，则点C坐标为（，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±4，0）或（5，0）或（，0）；（2）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣2，把点B坐标代入上式，9=5k﹣2，则k，故函数的表达式为：yx﹣2，设点P坐标为（m，m1m﹣2），则点H坐标为（m，m﹣2），S△PAB•PH•xB（m1+11m）=－6m1+20m=，当m=时，S△PAB取得最大值为：．答：△PAB的面积最大值为．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．23、（1）详见解析；（2）99或2．【解析】（1）首先由题意可得a+c=b，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数”能被99整除，所以将展开式中100a拆成99a+a，这样展开式中出现了a+c，将a+c用b替代，整理出最终结果即可；（2）首先设出两个欢喜数m、n，表示出F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.【详解】（1）证明：∵为欢喜数，∴a+c=b．∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，∴11b能被99整除，99a能被99整除，∴“欢喜数”能被99整除；（2）设m=，n=（且a1＞a2），∵F（m）﹣F（n）=a1•c1﹣a2•c2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），∴m﹣n=99或m﹣n=2．∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或2．【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.24、（Ⅰ）画树状图见解析;（Ⅱ）两次取出的小球标号相同的概率为;（Ⅲ）两次取出的小球标号的和大于6的概率为．【分析】（Ⅰ）根据题意可画出树状图，由树状图即可求得所有可能的结果．

（Ⅱ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标