二项式定理中的特殊项问题

二项式定理中的特殊项问题二项式定理中的特殊项问题二项式定理中的特殊项问题xxx公司二项式定理中的特殊项问题文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度《二项式定理中的特殊项问题》导学案学习目标：进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式；学会利用“赋值”的方法解决有关问题。学习重点：二项式系数性质的应用；学习难点：二项式系数性质的应用。学习过程：学习提纲：，是二项式展开式定理，主要研究了以下几个方面的问题：（1）展开式；（2）通项公式；（3）二项式系数及其有关性质。1．求的展开式中项的系数。变式1：的展开式中的系数是，求的值。求二项式的展开式中的常数项。求的展开式中的有理项。已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是。求展开式中各项系数的和；求展开式中含的项；求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。若，且，求的值。当堂检测：1．（2011陕西高考）的展开式中的常数项是（）2．若，则的值为。3．若，则的二项展开式中系数最大的项为。4．已知的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则的展开式中系数最小的项是。5．若的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含的整数次幂的项。作业：课本组1～9题；组1～5题附加题：若展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最大项．补充作业：1．若，求（1）；（2）；（3）2．在的展开式中x的系数为（）A．160 B．240 C．360 D．8003．已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第5项或第6项4．设（m、n∈N*），若其开展式中关于x一次项的系数和为11，问m、n为何值时，含x项的系数取最小值并求这个最小值．5．若则6．若n为偶数，则1+3的值等于7．若（x∈R），则+…+=；=。8．若，求的值．9．求证：10．求证：11．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()．A．11B．10C．9D．812．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是()．A．第8项B．第9项C．第8项或第9项D．第11项或第12项13．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n＝4，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝()．A．256B．136C．120D．1614．在二项式(1－2x)6的展开式中，所有项的系数之和为________．15．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．16．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当a0＋a1＋a2＋…＋an＝254时，求n的值．17．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为()．A．5B．8C．10D．1518．(2012·济宁高二检测)如果eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(3,x2))))eq\s\up12(n)的展开式中各项系数之和为128，则展开式中eq\f(1,x3)的系数是()．A．7B．－7C．21D．－2119．在(a－b)10的二项展开式中，系数最小项是________．20．若(1－2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2012x2012(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2012)＝________．(用数字作答)21．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，求(1)a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.22．(创新拓展)对于二项式(1－x)10.(1)求展开式的中间项是第几项写出这一项；(2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；(3)写出展开式中系数最大的项．23．（2013全国新课标卷9题）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为。若，则（）24．（2013全国新课标卷5题）已知的展开式中的系数为5，则（）25．（2013全国大纲卷7题）的展开式中的系数是（）26．（2013四川卷11题）二项式的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）27．（2013安徽卷11题）若的展开式中的系数为7，则实数28．（2013辽宁卷7题）使的展开式中含有常数项的最小的为29．（2013浙江卷11题）设二项式的展开式中常数项为，则30．（2013江西卷5题）展开式中的常数项为31．（2013天津卷10题）的二项展开式中的常数项为07学案参考答案1．解法一：在中项的系数为，常数项为1在中项的系数为，常数项为1故在的展开式中项的系数为。解法二：由于积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的积，故展开式中项的系数为变式1：解：，令，的系数为，2．解：，令，故展开式中的常数项为3．解：因为二项展开式中共有项，其通项公式，其中只有当或时，才是有理项。4．解：（1）1；（2）展开式中含的项为；（3）系数最大的项为，二项式系数最大的项为5．当堂检测：1．2．83．第11项4．5．附加题：解．由已知条件得，所以n=8．记第k项的系数为tk，设第k项系数最大，则有且所以，所以的所以所以3≤k≤4，所以系数最大的项分别为第3项和第4项，分别是补充作业：2．B3．C4．解．解:所以．因为n∈N*，所以n=5或6，m=6或5时，含x2项的系数最小，最小值为25．5．2187．6．．7．2006．8．解：已知等式令x=2得，令x=0得，两式直减得．所以．10．证明：左边∴右边故原式得证。11．解析∵只有第5项的二项式系数最大，∴eq\f(n,2)＋1＝5.∴n＝8.答案D12．解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)展开式中的第8项为Ceq\o\al(7,n)(eq\r(x))n－7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(7)为常数，即eq\f(n－21,2)＝0，∴n＝21.∴展开式中系数最大的项为第11项或第12项．答案D13．解析在展开式中令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44.故选A.答案A14．解析令x＝1，得(1－2x)6展开式中所有项的系数和为(1－2)6＝1.答案115．解析由1，3，5，7，9，…，可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.答案2n－116．解令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝eq\f(2（2n－1）,2－1)＝254，∴2n＝128，即n＝7.17．解析(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5.答案A18．解析令x＝1，则(3－1)n＝128＝2n，∴n＝7即求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(3,x2))))eq\s\up12(7)展开式中通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)·(3x)7－r·(x－eq\f(2,3))r·(－1)r＝Ceq\o\al(r,7)37－r·x7－eq\f(5r,3)·(－1)r.令7－eq\f(5r,3)＝－3，得r＝6，即系数为Ceq\o\al(6,7)·3＝21.答案C19．解析在(a－b)10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以系数最小的项为T6＝Ceq\o\al(5,10)a5(－b)5＝－252a5b5.答案－252a5b520．解析在(1－2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2012x2012中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2012＝(－1)2012＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2012)＝2011a0＋a0＋a1＋a2＋a3…＋a2012＝2012.答案201221．解(1)令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27.令x＝0得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a14＝27－1.(2)由(1)得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27， ①令x＝－1得a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝67， ②由①－②得：2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67，∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝eq\f(27－67,2).22．解(1)由题意可知：r＝0，1，2，…，11，展开式共11项，所以中间项为第6项：T6＝Ceq\o\al(5,1