【教学课件】环节二 对数的运算

对数环节二对数的运算复习引入问题1因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号．在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？答案：通过上节课学习，我们知道对数是通过指数幂的形式定义出来的，因此对数运算是由指数幂运算衍生出来的．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算，正像加法与减法、乘法与除法之间的关系一样，我们通过加法运算学习减法运算，通过乘法运算学习除法运算．对于对数运算，我们也可以通过指数幂运算推导对数运算的性质．探究新知问题1追问1

请回忆指数幂的运算性质．答案：对于任意实数r，s，均有下面的指数幂运算性质．（1）（2）

（3）探究新知问题2追问2

根据对数与指数间的关系，结合指数幂的运算性质（1）

，你能将指数式

转换为对数式的形式么？由此你可以得出的对数的运算性质是什么？答案：设

，因为

，所以

．根据对数与指数间的关系可得探究新知问题2答案：这样，就得到了对数的一个运算性质：其中a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0．追问2

根据对数与指数间的关系，结合指数幂的运算性质（1）

，你能将指数式

转换为对数式的形式么？由此你可以得出的对数的运算性质是什么？探究新知问题2追问3

仿照上述的推导过程，由

你能推出对数的其他运算性质吗？答案：设

，因为

，所以以．根据对数与指数间的关系可得于是：新知探究问题2追问4

运用指数幂的运算性质及对数的概念，推导对数的运算性质：

．设

，因为，故于是：根据对数与指数间的关系可得所以

．答案：探究新知问题2追问5

总结对数的运算性质，谈谈对数的运算性质有什么特点？．答案：对数有如下的运算性质．其中a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0．答案：从对数的运算性质可以看出，通过对数运算可以把乘法转化为加法，把除法转化为减法，把乘方转化为乘法．从运算角度看，加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算．运算数量级的不同决定了运算的复杂度，一般来说，运算的数量级越高，运算的复杂度也越高．对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算．追问5

总结对数的运算性质，谈谈对数的运算性质有什么特点？．探究新知问题2探究新知问题2现代社会，由于有了计算器（机）等计算工具，对数的运算性质的这种作用似乎有些微不足道，但在数学发展过程中，由于当时没有计算工具，对于天文学中大数的乘、除等运算，仅靠纸笔运算是相当繁琐、复杂的，而对数的发明“延长了天文学家的寿命”．因此，对数运算性质在数学发展史上是伟大的成就．结论知识应用例1追问

根据题目中运算对象的特点，应该选择对数的哪条运算性质作为求解依据？求下列各式的值：（1）

；

（2）

．答案：（1）应该选择第3条性质；（2）应该选择第1条性质，之后根据化简的情况再进行选择．知识应用例1求下列各式的值：（1）

；

（2）

．解：（1）

；（2）知识应用答案：通过观察，本题需要综合运用对数的3条运算性质进行求解．追问

类比例3中具体数值的计算，本题可以依据对数的哪些运算性质？用lnx，lny，lnz表示

．例2解：知识应用问题3从历史上看，发明对数完全是计算的需要，但在计算过程中，我们无法穷尽所有对数的运算，毕竟对数的运算数量级高、复杂度高．当时人们为了运算的方便，经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．请思考：为了方便地求出其他底数的对数，能否将其他底数的对数转换为以10或e为底的对数？知识应用追问1

首先从一个具体的问题开始研究．利用计算工具可以求出ln2，ln3的近似值，那么根据对数的定义，你能利用ln2，ln3的值求出log23的值吗？我们应该对ln2，ln3和log23做怎样的处理？答案：设log23＝x，则2x＝3，于是ln2x＝ln3．根据性质（3）得xln2＝ln3，即

．利用计算工具可以求出

，所以问题3知识应用追问2

在上述具体问题及其解决过程的启发下，根据对数的定义，你能用logca，logcb表示logab(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)吗？根据性质（3）得

，即(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．答案：设

，则

，于是

．我们把上式叫做对数换底公式．问题3知识应用追问3

在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算

的值．利用计算工具，根据换底公式，求解

的值．解：由换底公式，可得

．由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍．利用计算工具，可得

．问题3知识应用例52011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8＋1.5M．知识应用例5解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2．由lgE＝4.8＋1.5M，可得lgE1＝4.8＋1.5×9.0，lgE2＝4.8＋1.5×8.0．于是，

利用计算工具可得，虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍．知识应用例5追问：想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？答案：地震中能量是很大的数值，进行对数运算后，其数值就变得非常小．在以10为底的指数幂运算中，指数每增加1，其幂的值就是原来的10倍；每增加2，其幂的值就是原来的100倍；反之，在以10为底的对数运算中，真数是原来的10倍，对数值就增加1；真数是原来的100倍，对数值就增加2．归纳小结问题4回顾本节课，我们是如何得到对数的运算性质的？这对我们有什么启示？谈谈对数的换底公式为什么非常重要？答案：（1）我们是根据对数的定义，以及对数与指数间的关系，通过指数幂运算推导出对数的运算性质．这对我们的启示是，数学知识、数学运算不是相互孤立的，它们之间有着密切的联系．所以我们在今后的学习中，也应当注重在现有知识的基础上，进行新知识的拓展，并且注意新旧知识之间的联系．归纳小结问题4（2）到目前为止，我们学习了加法、减法、乘法、除法、乘方、开方、指数幂、对数等运算．以我们目前所掌握的知识来看，对数运算与其他运算的一个很大的不同点是：其他运算基本上都可以仅靠纸笔来计算；而对