【数学欣赏】蜂巢探秘

《蜂》唐·罗隐不论平地与山尖，无限风光尽被占。采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？有的国家发行了精美的蜜蜂邮票来赞美小蜜蜂的辛勤工作。大多数邮票都是长方形的，但是蜜蜂邮票的造型很特别，它的外框采用了正六边形，这种造型源于蜜蜂的家---蜂巢。“巢房的精巧构造十分符合需要，如果一个人在观赏精密细致的蜂巢后，而不知加以赞扬，那人一定是个糊涂虫”。——达尔文

你知道蜂巢为什么这么令人赞叹吗？蜂蜡蜜蜂建造蜂巢的材料不是普通的泥土、树枝和石块，而是蜜蜂分泌的——据估计，工蜂每分泌1公斤的蜂蜡，需要消耗大约16公斤的花蜜；而采集1公斤的花蜜，蜜蜂们需要飞行32万公里才得以完成，相当于绕地球飞行八圈的距离。因此，蜂蜡对蜜蜂而言，是珍贵的。蜜蜂必须用最经济的方式来建造自己的家——用最少材料，建造最大的空间。“蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表。”——古希腊数学家佩波斯

公元前3世纪，古希腊数学家就研究过，蜜蜂的正六棱柱的巢是自然界最经济有效的形状，在相同条件下，这种形状容积最大。正六边形的建筑结构，密合度最高、所需材料最简、可使用空间最大，其致密的结构，各方受力大小均等，且容易将受力分散，所能承受的冲击也比其他结构大。

蜂巢的外部为什么是正六边形？怎么不选择圆形呢？这里涉及到平面镶嵌问题。古埃及人早就知道，用大小相同的正三角形、正方形、正六边形，能各自铺成一平面。如果蜂巢呈圆形等，会出现空隙，反而会浪费材料。

公元前180年，古希腊数学家芝诺多罗斯证明：(1)周长固定的n边形，以正n边形的面积最大，并且n越大，面积越大；(2)周长固定时，圆面积大于所有正多边形。

当周长一定时，正六边形是面积最大，这就是聪明的小蜜蜂不选择正三角形和正方形的原因！“蜜蜂凭着本能选择了正六边形，因而使用同样材料可以比正三角形和正方形具有更大的面积。”——帕普斯《数学汇编》第5卷序言

从蜂巢的表面看，两侧都是一个个正六边形的中空柱状房室，背对背对称地排列着，六边形房室之间相互平行，每一间房室的距离都相等。每一个巢房的建筑，都是以中间为基础向两侧水平展开，从房室底部至开口处有13°的仰角，能够防止存蜜的流出。两侧的中空柱状房室是不相通的，其底部不是平的，而是由三个全等的菱形组成的漏斗形状。同侧的三个中空柱状房室围在一起，形成另一侧中空柱状房室的底部。这样，两侧的中空柱状房室完美地结合在一起。打开蜂巢，里面的情况出乎人们的意料。

这种充满空间对称的蜂巢底部菱形的角应该和菱形十二面体中菱形的角的大小一样。——天文学家开普勒这个菱形的一角为109°28'，另一角为70°32'。——天文学家马拉尔第的测量结果给定正六角柱，底部由三个全等菱形组成，最省材料的做法是，菱形两邻角分别是109°26'和70°34'。——瑞士数学家克尼格的计算结果菱形两邻角分别是109°28'和70°32'。——英国数学家马克劳林的计算结果这种蜂巢可能是在相同容积下所用材料最省的。——法国物理学家雷奥米尔的猜测菱形的钝角一定要为109°28'吗？下面我们用中学数学的知识进行解释。把正六棱柱的一角沿AB切下，然后沿AB翻转180o。按照同样的方法对其余三个角进行操作，最后三个角堆在一起，形成蜂巢的尖顶。在这个过程中，无论DC多长，蜂巢的体积都不会变化。尽管蜂巢体积没有变化，但是蜂巢壁的面积却受DC变化影响。这是从一个正六棱柱形成蜂巢的过程。不妨设棱柱底边长为a，高为h，DC长为x，要求蜂巢壁面积的最小值，利用对称性，只考虑图形的六分之一，即等腰△CBC’和直角梯形EFBC的面积之和最小即可。这就说明在蜂巢体积不变的情况下，巢壁面积最小时，蜂巢底部菱形的钝角刚好为109°28’。

建筑方面。生活中的一些建筑直接模仿了蜂巢的造型，这样的建筑不但看上去美观，而且还可以多面采光，节约材料。

通信方面。人们从蜂巢的结构中受到启发，建立了形似蜂巢的无线电覆盖区域。信号塔发射的无线电波覆盖区域是一个圆形，每个小区实际上的有效覆盖区是一个圆的内接多边形，这些多边形可能有正三角形、正方形和正六边形。其中正六边形覆盖区域的有效面积最大，覆盖同样范围区域所建的信号塔个数最少，有效地减少了投资。由于网络结构形似蜂窝状，人们常把通信网络称为蜂窝网。

散热方面。当结构强度一定时，蜂窝型最省材料。电脑主机采用六边形通孔作为主体结构，结构稳定，可以保证其机械强度，不仅降低了重量，节省了材料，而且增加了与空气的接触面积，加快了内部向外部进行热传递的速度，提高了散热性能。

利用蜂巢原理制作的蜂窝纸板强度高、质