【教学课件】指数函数的概念教学课件

指数函数的概念整体感知对于幂（a＞0），我们已经把指数x的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数．新知探究问题1

随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．新知探究时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次2001600

278

2002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？从表格中的数据不难看出，A，B两地景区的游客人次都在增长，但是A地景区游客的年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区游客的年增加量越来越大，从开始的31万次增长到最后的126万次．新知探究追问1

除了通过直接观察表格中数据的变化情况，我们还可以对数据做怎样的处理，进而发现其变化规律？比如能否将数据转化为图象的形式进行观察？怎样转化？为了有利于观察规律，根据表格，可以分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年，游客人次随年份变化的图象．我们可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来．画好的图象如下图．新知探究追问2

通过观察图象，并结合表格中的数据，你能发现什么规律？通过观察图象，并结合表格中的数据，可以发现A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长）；B地景区的游客人次则是非线性增长，并且增长速度越来越快．新知探究追问3

图象显示出A，B两地景区的游客人次呈不同的增长方式，这两种增长变化如何用数量表示？我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，通过年增加量可以看出A地景区的游客人次的变化规律．那么，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？谈谈你的想法．我们可以用“增长率”来刻画B地景区人次的变化规律．从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到新知探究追问3

图象显示出A，B两地景区的游客人次呈不同的增长方式，这两种增长变化如何用数量表示？我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，通过年增加量可以看出A地景区的游客人次的变化规律．那么，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？谈谈你的想法．结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11－1＝0.11，是一个常数．新知探究追问4

根据我们发现的B地景区游客人次的变化规律，能否给出B地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的规律的关系式？这一关系式有什么特点？从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：新知探究1年后，游客人次是2001年的1.111倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；……；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；追问4

根据我们发现的B地景区游客人次的变化规律，能否给出B地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的规律的关系式？这一关系式有什么特点？如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么新知探究y＝1.11x(x∈[0，＋∞))．这是一个函数，其中指数x是自变量，这个函数刻画的实际问题的变化规律的特征是增长率不变，并且是呈指数增长．新知探究问题2

当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？请同学们进行思考．追问1

能否求出生物死亡后，体内碳14含量的年衰减率是多少？新知探究设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么……死亡1年后，生物体内碳14含量为；死亡2年后，生物体内碳14含量为

；死亡3年后，生物体内碳14含量为

；死亡5730年后，生物体内碳14含量为

；追问1

能否求出生物死亡后，体内碳14含量的年衰减率是多少？新知探究根据已知条件，

，从而

，所以年衰减率为

．追问2

根据计算出的碳14含量的年衰减率，能否给出死亡生物体内碳14含量随死亡年数变化的规律的关系式？这一关系式有什么特点？新知探究解：设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么

，即这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以

的衰减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减．问题3

比较问题1和问题2中的两个实例，它们所描述的变化规律有什么共同特征？新知探究如果用字母a代替上述两式：y＝1.11x(x∈[0，＋∞))，中的底数1.11和

，那么函数y＝1.11x和

就可以表示为y＝ax的形式，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常数．问题3

比较问题1和问题2中的两个实例，它们所描述的变化规律有什么共同特征？新知探究一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数（exponentialfunction），其中指数x是自变量，定义域是R．新知探究例1

已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．解：因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝

，解得

，于是所以，新知探究例2

（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？新知探究例2

（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．解：设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则f(x)＝1150×(10x＋600)，g(x)＝1000×278×1.11x．利用计算工具可得，当x＝0时，f(0)－g(0)＝412000；当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)．新知探究例2

（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．解：结合右图可知：当x＜10.22时，f(x)＞g(x)，当x＞10.22时，f(x)＜g(x)．当x＝14时，g(14)－f(14)≈347303．新知探究例2

（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然f(x)＞g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2001年2月某个时刻就有f(x)＝g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)＜g(x)，游客给B地带来的收入超过了A地；由于g(x)增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多了347303万元了．新知探究例2

（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？解：设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x)．当x＝10000时，利用计算工具求得所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30％．问题4

观察例2（1）中的函数解析式g(x)＝1000×278×1.11x，它与我们前面所定义的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)有何异同？在实际问题中，经常会遇到类似于例2（1）的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．例2（1）中的函数解析式g(x)＝1000×278×1.11x，也是呈指数增长型的函数，它与指数函数y＝ax相比，在ax(a＞0，且a≠1)前面多了一个系数．新知探究归纳小结问题5

回顾本节课，谈谈问题1中的增长率和问题2中的衰减率为什么是一个常数？这体现了指数函数的什么本质特性？增长率和衰减率是一个常数，这是由指数的运算性质决定的，增长率或衰减率相等在一定程度上体现了指数函数增长或衰减变化的本质．拓展：对于指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，其本质特征是：对任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)．因此，问题1和问题2的两个实例中指数增长或指数衰减的本质可以用下列式子体现：当x0＝0，Δx＝1时，上式即归纳小结事实上，对于形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数，也满足上面的式子．归纳小结归纳小结问题6

阅读教科书115页“阅读与思考—放射性物质的衰减”，完成相应的思考问题．目标检测下列图象中，有可能表示指数函数的是（）．1C目标检测已知函数y＝f(x)，x∈R，且

，

，

，…，

，n∈N*，求函数y＝f(x)的一个解析式．２说明函数f(x)以4为增长比例呈指数增长．解：因为

，