生产系统建模与仿真课件 第4章 随机变量与随机分布

第4章随机变量和随机分布4.1随机变量和随机分布概述4.1.1离散型随机变量4.1.2连续型随机变量4.1.3随机变量的数字特征4.1.4常用随机分布类型及其特性4.1.5随机变量分布类型及其参数的确定4.2随机数的生成方法4.2.1随机数的特性4.2.2随机数发生器的设计4.3随机数发生器的检验4.4随机变量的生成原理4.5典型随机变量的生成4.5.1离散型随机变量的生成4.5.2连续型随机变量的生成11/14/20221第4章随机变量和随机分布4.1随机变量和随机分布概述14.1随机变量和随机分布概述

活动的分类（1）确定性活动（deterministicactivity）

活动的变化规律已知，活动结果可以准确预计，在一定条件下活动可以准确地再现和重复，或由根据过去状态可以准确预见活动的未来进展。例如：重物的自由落体运动，炮弹的运行轨迹及落点等都可以根据相关公式进行计算。11/14/202224.1随机变量和随机分布概述活动的分类（1）确定性活动（4.1随机变量和随机分布概述（2）随机性活动（stochasticactivity或probabilisticactivity）

活动的结果难以准确预见，即使在相同的条件下进行重复试验，每次试验的结果未必相同，或者由过去状态不能确定相同条件下活动的未来发展趋势。

例如：抛掷硬币时，每次硬币是正面向上还是正面向下；红旗大道上每一时段汽车的通行量；百货商店内不同时刻到达的顾客人数；从一批相同型号齿轮中任意抽取一个齿轮，测量它在一定条件下的工作寿命；某型号发电机组每次的大修时间等。

11/14/202234.1随机变量和随机分布概述（2）随机性活动（stocha4.1随机变量和随机分布概述对于随机性活动，我们可以定义一个变量，以变量的不同取值表示活动的不同结果，并通过统计确定变量取不同数值的概率，将这类变量称为随机变量。根据取值是否连续，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。11/14/202244.1随机变量和随机分布概述对于随机性活动，我们可以定义4.1随机变量和随机分布概述4.1.1离散型随机变量若随机变量的取值为有限个数值或为可以逐一列举的无穷多个数值，则称此类随机变量为离散型随机变量（discreterandomvariable）。设离散随机变量X所有可能的取值为x1、x2、…、xn、…，并且所有可能取值的概率分别为p1、p2、…、pn、…，则将{xi，pi}（i=1，2，…，n，…）配对的集合称为随机变量X的概率分布（probabilitydistribution），并将

P={p1，p2，…，pn，…}称为随机变量X的概率质量函数（probabilitymassfunction，PMF）。11/14/202254.1随机变量和随机分布概述4.1.1离散型随机变量4.1随机变量和随机分布概述概率质量函数满足以下条件：①pi>0（i=1，2，…，n，…）②图4-1抛掷硬币的概率分布11/14/202264.1随机变量和随机分布概述概率质量函数满足以下条件：①4.1随机变量和随机分布概述设F（x）为离散型随机变量的累积分布函数（cumulativedistributionfunction，CDF），它表示X小于或等于某个给定值xi（i=1，2，…，n，…）的概率函数：累积分布函数具有以下特性：②F（x）为单调递增函数，即当x<y时，有F（x）≤F（y）。①11/14/202274.1随机变量和随机分布概述设F（x）为离散型随机变量的4.1随机变量和随机分布概述4.1.2连续型随机变量

若随机变量X可以在某个数值区间内连续取任一数值，则称之为连续型随机变量（continuousrandomvariable）。由于X的取值为无穷多个点，我们无法定义X在某一个数值点的概率，只能考察X落入某个子区间内的概率。X的概率密度函数（probabilitydensityfunction，PDF）

11/14/202284.1随机变量和随机分布概述4.1.2连续型随机变量4.1随机变量和随机分布概述f（x）需满足以下条件：②①

F（x）为连续型随机变量的累积分布函数（CDF），它表示随机变量小于或等于x的概率：

②

当x1<x2时，有F（x1）≤F（x2）①11/14/202294.1随机变量和随机分布概述f（x）需满足以下条件：②4.1随机变量和随机分布概述4.1.3随机变量的数字特征概率函数、概率密度函数以及累积分布函数等反映了随机变量的某些概率特征。但是，在工程实际中，往往存在以下情况：①

无法了解或无需知道随机变量准切的概率特征；②

只能得到或只需利用随机变量的具有代表性的数值。此时，仅靠概率函数、概率密度函数和累积分布函数等参数还不足以反映随机变量的某些特性。随机变量的数字特征是与其分布有关的某些数值，例如平均值、最大可能值等，它们反映了随机变量某些方面的特征。11/14/2022104.1随机变量和随机分布概述4.1.3随机变量的数字特4.1随机变量和随机分布概述也称数学期望值（expectation或expectedvalue），或随机变量的一阶矩（thefirstmoment）它是指随机变量取值的平均数，表示随机变量取值的集中程度。一般以E（X）或μ表示。1．平均值（mean或meanvalue）11/14/2022114.1随机变量和随机分布概述也称数学期望值（expect4.1随机变量和随机分布概述设X为离散型随机变量,其概率分布如表4-2所示:表4-2随机变量的概率分布

离散型随机变量的平均值：离散型随机变量的平均值为：

连续型随机变量的平均值：11/14/2022124.1随机变量和随机分布概述设X为离散型随机变量,其概率分4.1随机变量和随机分布概述若某一随机变量的方差为0，则表示该随机变量没有偏差，此时随机变量退化为一个确定值。因此，确定性变量可认为是方差为零的随机变量，是随机变量的一种特殊形式。2．方差和标准差（variance）方差的定义为：

表示随机变量相对于均值的平均分散和变动程度11/14/2022134.1随机变量和随机分布概述若某一随机变量的方差为0，则4.1随机变量和随机分布概述方差的单位是随机变量单位的平方。为了保持与随机变量单位的一致性，常以方差的平方根作为衡量分散性的尺度。将方差的平方根称为随机变量的标准差（standarddeviation），通常以σ表示，即：11/14/2022144.1随机变量和随机分布概述方差的单位是随机变量单位的平方4.1随机变量和随机分布概述为了更好地描述随机变量的分散程度，引入变异系数的概念，也称变化系数或变差系数。变异系数是指随机变量的标准差与平均值的比值，即：

3．变异系数（coefficientofvariation）由于标准差与平均值的量纲相同，变异系数是无量纲量，它不受数据量纲的影响。变异系数的数值越小，则随机变量的分散性越小。11/14/2022154.1随机变量和随机分布概述为了更好地描述随机变量的分散4.1随机变量和随机分布概述模数也称众数，它是指随机变量的频率（或频数）取得某个峰值时的随机变量的值。当随机变量的概率密度函数有多个峰值时，通常取最大峰值作为随机变量的模数。对于离散型随机变量，观测值出现最多的数即为模数；对于连续型随机变量，模数是指概率密度函数为极大值时的x

值，即概率密度函数峰值所对应的x值。4．模数（modenumber）11/14/2022164.1随机变量和随机分布概述模数也称众数，它是指随机变量4.1随机变量和随机分布概述中间值也称中位数。对于随机变量X，若存在一个点xm使得随机变量的一半数值落在该点以下，则称xm点为随机变量的中间值，即与F（x）

=0.5相对应的点。也可以由累积分布函数曲线求得随机变量的中间值。5．中间值（mediumvalue）11/14/2022174.1随机变量和随机分布概述中间值也称中位数。5．中间值4.1随机变量和随机分布概述4.1.4常用随机分布类型及其特性根据参数的物理意义和几何意义，可以将分布参数分为：

位置参数（locationparameter）

比例参数（scaleparameter）

形状参数（shapeparameter）

也称为位移参数，它确定分布函数在横坐标（x轴）的取值范围。当位置参数发生变化时，分布函数在横坐标的位置上会向左或向右发生偏移，而它的范围或形状不发生变化。（1）位置参数11/14/2022184.1随机变量和随机分布概述4.1.4常用随机分布类型及4.1随机变量和随机分布概述图4-8均匀分布的位置参数11/14/2022194.1随机变量和随机分布概述图4-8均匀分布的位置参数14.1随机变量和随机分布概述图4-9正态分布的位置参数11/14/2022204.1随机变量和随机分布概述图4-9正态分布的位置参数14.1随机变量和随机分布概述比例参数用于确定在分布范围内取值大小的比例尺度。当比例参数的数值改变时，分布函数被压缩或扩张，分布的范围发生改变，但分布的基本形状不会改变。（2）比例参数11/14/2022214.1随机变量和随机分布概述比例参数用于确定在分布范围内4.1随机变量和随机分布概述图4-10指数分布的比例参数11/14/2022224.1随机变量和随机分布概述图4-10指数分布的比例参数4.1随机变量和随机分布概述图4-11正态分布的比例参数11/14/2022234.1随机变量和随机分布概述图4-11正态分布的比例参4.1随机变量和随机分布概述形状参数用来决定分布函数的基本形状，改变分布函数的性质。

形状参数与位置参数、比例参数之间相互独立。

与位置参数、比例参数相比，形状参数可以从根本上改变分布的形状。一些分布（如正态分布、指数分布等）没有形状参数；另一些分布（如γ分布、威布尔分布等）具有形状参数。

（3）形状参数11/14/2022244.1随机变量和随机分布概述形状参数用来决定分布函数的基4.1随机变量和随机分布概述图4-12γ分布的形状参数11/14/2022254.1随机变量和随机分布概述图4-12γ分布的形状参数14.1随机变量和随机分布概述图4-13WEIBULL分布的形状参数11/14/2022264.1随机变量和随机分布概述图4-13WEIBU4.1随机变量和随机分布概述广义γ分布和Weibull分布都是三参数分布，由于具有形状参数，它们具有很强的数据拟合能力。通过改变参数数值，可以模拟其它分布或具有与其它分布相类似的属性。γ分布可以用来模拟威布尔分布或正态分布；当形状参数α=1时，威布尔分布演化为指数分布；当α=3.43954时，威布尔分布接近于正态分布。

11/14/2022274.1随机变量和随机分布概述广义γ分布和Weibull分4.1随机变量和随机分布概述表4-6常用分布的参数类型11/14/2022284.1随机变量和随机分布概述表4-6常用分布的参数类型14.2随机数的生成方法

随机数（randomnumbers）是随机变量的取样值，它是离散事件系统仿真的基础和必备的建模元素。任何离散事件系统仿真程序或模型都必须具备能够产生指定分布的随机变量生成模块或子程序。运行仿真程序或模型，当用户赋予某一随机变量以确定参数的分布时，仿真系统就调用和生成相应的随机变量，以便再现系统的随机特征。产生[0，1]区间上均匀分布的随机数是产生随机变量的基础，其它类型分布（如正态分布、γ分布、β分布、指数分布等）都是在[0，1]均匀分布的基础上通过一定变换实现的。11/14/2022294.2随机数的生成方法随机数（randomnumber4.2随机数的生成方法[0，1]区间上均匀分布的随机数[0，1]均匀分布随机数的定义[0，1]区间上均匀分布随机变量x的概率密度函数为：其累积分布函数为：11/14/2022304.2随机数的生成方法[0，1]区间上均匀分布的随机数[04.2随机数的生成方法仿真程序中的随机数序列必须具有以下统计特性：①均匀性：随机变量在其可能取值范围中任一区间出现的概率和此区间的大小与可能值范围的比值成正比。②独立性：在某个区间内一个观测值发生的概率与先前已有的观测值结果无关。仿真程序中常根据确定的递推公式近似地生成随机数。这些随机数并不能严格地满足“均匀性”和“独立性”准则，不是真正的随机数，又能在某种程度上表现出随机性，常称之为

伪随机数。4.2.1随机数的特性用于产生[0，1]区间均匀分布随机数的专门程序称为——随机数发生器11/14/2022314.2随机数的生成方法仿真程序中的随机数序列必须具有以下4.2随机数的生成方法

随机数发生器的评价指标：（1）随机性:有较好的独立性与均匀性,与真实的随机数具有相同或相近的数字特征,如数学期望、方差等（2）长周期:无重复出现的随机数序列长度称周期。（3）可再现性:便于再现仿真状态。

（4）高计算效率:仿真过程要求短时间内产生大量随机数。11/14/2022324.2随机数的生成方法随机数发生器的评价指标：（1）随4.2随机数的生成方法均匀分布的随机数的产生方法（1）平方取中法（3）混合同余法（2）线性同余法（4）乘同余法（5）取小数法11/14/2022334.2随机数的生成方法均匀分布的随机数的产生方法（1）平4.2随机数的生成方法(1)平方取中法由冯·纽曼(JohnvonNeumann)在40年代中期提出的。方法：首先从某个初始的种子数开始,求出这个数的平方,取这个平方数的中间几位作为随机数序列中的第2个数；再求出第2个数的平方，又取这个平方数的中间几位作为随机数序列中的第3个数；不断按这个方式继续此算法，即可得到相应的伪随机序列。4.2.2随机数发生器的设计11/14/2022344.2随机数的生成方法(1)平方取中法4.2.2随4.2随机数的生成方法例:利用平方取中法产生4位数的随机数序列，种子数取为xo=3187。计算过程为：

xo＝3187,(3187)2＝10156969

x1＝1569,(1569)2＝02461761x2＝4617,(4617)2＝21316689

x3＝3166,(3166)2＝10023556x4＝0235将此过程继续下去，便可以得到一系列随机数。缺点伪随机数序列的重复周期通常较短。对于较长的伪随机数序列，可能无法通过随机性的统计检验。当0在任何时侯生成之后，其后产生的数都将为0，称为“退化”，如果这种现象在一个较复杂的仿真研究过程中出现，它将会使仿真分析人员误入歧途。11/14/2022354.2随机数的生成方法例:利用平方取中法产生4位数的随机数4.2随机数的生成方法（2）线性同余法：式中，m为模数（modulus）a为乘数（multiplier）c为增量（increment）其中，Z0为种子数，由上式产生一系列数Z1，Z2，…,

Zi；令yi＝Zi/m则得到区间[0，1]上的随机数yi（i＝1，2，…）线性同余法在1951年由荣默尔(Lehmer)首先提出。目前大多数随机数发生器都采用这种方法。

递推关系11/14/2022364.2随机数的生成方法（2）线性同余法：式中，m为模数（4.2随机数的生成方法线性同余法举例（m=24，a=13，c＝17，Z0＝5）yiyi11/14/2022374.2随机数的生成方法线性同余法举例yiyi11/11/24.2随机数的生成方法

线性同余法的缺点yi并不是真正意义上的均匀分布随机数；当模数m较小时，yi只能取到有限个数值。为取得近似均匀分布的数值，m通常取得很大（如m≥109）。由于yi只能取到有限个数值，随机数发生器会出现周期性。11/14/2022384.2随机数的生成方法线性同余法的缺点yi并不是真正4.2随机数的生成方法（3）混合同余法（Mixedcongruence）（4）乘同余法（Multiplicativecongruence）（5）取小数法取小数法又可分为平方取小数法和开方取小数法。平方取小数法：将前一次随机数平方后的数，取其小数点后第一个非零数字后面的尾数作为下一个所求的随机数。11/14/2022394.2随机数的生成方法（3）混合同余法（Mixedcon4.2随机数的生成方法

开方取小数法：将前一次随机数开方后的数，取其小数点后第一个非零数字后面的尾数为下一所求随机数。11/14/2022404.2随机数的生成方法开方取小数法：将前一次随机数开方4.3随机数发生器的检验

随机数发生器的检验方法：①数字特征检验：检验该随机分布的参数估计值与[0，1]均匀分布的或称理论值的差异是否显著。③独立性检验：检查随机数序列u1，u2，…，un前后各项的统计相关是否显著。②分布均匀性检验：检查随机数序列u1，u2，…，un的实际频率与理论频率的差异是否显著(频率检验)。从理论上来说，随机数只是随机变量的一组取样值，也就是随机变量的一个样本，样本值是否能够反映随机变量？这就需要对产生的随机数进行检验。作为[0，1]均匀分布随机数产生之后，我们需要对在这一区间上随机数样本值进行检验，检验其是否有较好的独立性和均匀性。11/14/2022414.3随机数发生器的检验随机数发生器的检验方法：①数4.3随机数发生器的检验1数字特征检验数字特征检验是采样平均值、方差与理论平均值、方差差异的显著性检验。在(0，1)区间上均匀分布的随机变量X和X2的平均值及方差分别为：11/14/2022424.3随机数发生器的检验1数字特征检验数字特征检4.3随机数发生器的检验

如果N个随机数x1，x2，…，xn是X的N个独立观测值，令则它们的平均值和方差为:11/14/2022434.3随机数发生器的检验如果N个随机数x1，x2，…，x4.3随机数发生器的检验

由数理统计理论中的中心极限定理，可知统计量渐近地服从正态分布N(0,1)。

因此，只要有一组随机数序列，即可求上述u1、u2。当给定显著性水平（如α=0.05)后，若有|ui|>1.96，表示差异显著，则应拒绝X为(0，1)均匀分布的随机数。11/14/2022444.3随机数发生器的检验由数理统计理论中的中心极限定理，4.3随机数发生器的检验2分布均匀性检验分布均匀性检验又称为频率检验，是对经验频率和理论频率之间的差异进行检验。方法：把[0，1]区间划分成k等分。则xi值落在任一小区间的概率Pi均应等于这些小区间的长度1／k，故N个xi值落在任何一个小区间的平均数为mi=N／k，称理论频率。设实际上xi中属于第i个小区间的数目为ni计算统计量显然，若ni=mi，则χ2=0，实际频率与理论频率一致。χ2的大小反映了随机数的均匀性程度。11/14/2022454.3随机数发生器的检验2分布均匀性检验分布均匀性检验4.3随机数发生器的检验3独立性检验用于检验随机数前后各项之间是否独立。

以相关系数进行判断。两个随机变量的相关系数反映了它们之间的线性相关程度。相关系数为0是随机数相互独立的必要条件。

相关系数大小可以衡量随机数的相关程度。对于给定的随机数xi，前后距离为K的样本相关系数为：式中：11/14/2022464.3随机数发生器的检验3独立性检验用于检验随机数前4.4随机变量的生成原理

随机变量的实现原理如前所述，产生[0，1]区间上均匀分布的随机数是生成其它类型随机变量的基础。

随机变量生成算法应具备的特点：②效率（efficient）：占用内存小，执行时间短①精确性（exactness）：满足一定的精确度要求③鲁棒性（robustness）：健壮，适应11/14/2022474.4随机变量的生成原理随机变量的实现原理如前所述，4.4随机变量的生成原理①逆变法

随机变量的生成算法：11/14/2022484.4随机变量的生成原理①逆变法随机变量的生成算法：4.4随机变量的生成原理逆变法生成连续随机变量原理图11/14/2022494.4随机变量的生成原理逆变法生成连续随机变量原理图11/4.4随机变量的生成原理离散随机变量的生成原理当X为离散随机变量时，由于离散随机变量的分布函数也是离散的，不能直接利用反函数获得抽样值。其解法如下：设X为离散随机变量，取值及概率为p(x1),p(x2),…,p(xn),且有0<p(xi)<1,∑p(xi)=1，则可求其累积分布F(X)：p(x1)p(x1)+p(x2)p(x1)+p(x2)+p(x3)x1x2x3xn1u11/14/2022504.4随机变量的生成原理离散随机变量的生成原理4.4随机变量的生成原理

表述为：首先将随机变量按从小到大排列：即x1<x2<…<xn确定分布函数子区间的分界点：（0，p(x1))，(p(x1)，p(x1)+p(x2))，…生成0~1上均匀分布的随机数u判断u所在区间，取x值11/14/2022514.4随机变量的生成原理表述为：11/114.4随机变量的生成原理例1：求服从指数分布的随机数所求的变量为：上式可以简化为：11/14/2022524.4随机变量的生成原理例1：求服从指数分布的随机数所求的4.4随机变量的生成原理①取舍法基本思想：从许多均匀分布的随机数中选择，使选出的那部分数据具有所需要的分布。适应问题：应用于产生任意有界的随机变量，包括概率分布函数无法用数学公式表达的情况。方法步骤：设随机变量X的概率密度f(x)中的X值的上、下限为a、b，f(x)的上界为c，则取舍法的步骤为：产生两个独立的（0，1）均匀分布的随机数u1,u2；计算x0=a+u1(b-a),y0=cu2;如果y0<=f(x0)，则x0为所求随机数重复此过程。11/14/2022534.4随机变量的生成原理①取舍法基本思想：从许多均匀分4.4随机变量的生成原理abcxyo方法说明：在矩形中产生均匀分布点，点落在阴影部分时为所求随机数，符合所需要的分布。方法特点：不使用累积分布函数；效率问题。11/14/2022544.4随机变量的生成原理abcxyo方法说明：在矩形中产第4章随机变量和随机分布4.1随机变量和随机分布概述4.1.1离散型随机变量4.1.2连续型随机变量4.1.3随机变量的数字特征4.1.4常用随机分布类型及其特性4.1.5随机变量分布类型及其参数的确定4.2随机数的生成方法4.2.1随机数的特性4.2.2随机数发生器的设计4.3随机数发生器的检验4.4随机变量的生成原理4.5典型随机变量的生成4.5.1离散型随机变量的生成4.5.2连续型随机变量的生成11/14/202255第4章随机变量和随机分布4.1随机变量和随机分布概述14.1随机变量和随机分布概述

活动的分类（1）确定性活动（deterministicactivity）

活动的变化规律已知，活动结果可以准确预计，在一定条件下活动可以准确地再现和重复，或由根据过去状态可以准确预见活动的未来进展。例如：重物的自由落体运动，炮弹的运行轨迹及落点等都可以根据相关公式进行计算。11/14/2022564.1随机变量和随机分布概述活动的分类（1）确定性活动（4.1随机变量和随机分布概述（2）随机性活动（stochasticactivity或probabilisticactivity）

活动的结果难以准确预见，即使在相同的条件下进行重复试验，每次试验的结果未必相同，或者由过去状态不能确定相同条件下活动的未来发展趋势。

例如：抛掷硬币时，每次硬币是正面向上还是正面向下；红旗大道上每一时段汽车的通行量；百货商店内不同时刻到达的顾客人数；从一批相同型号齿轮中任意抽取一个齿轮，测量它在一定条件下的工作寿命；某型号发电机组每次的大修时间等。

11/14/2022574.1随机变量和随机分布概述（2）随机性活动（stocha4.1随机变量和随机分布概述对于随机性活动，我们可以定义一个变量，以变量的不同取值表示活动的不同结果，并通过统计确定变量取不同数值的概率，将这类变量称为随机变量。根据取值是否连续，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。11/14/2022584.1随机变量和随机分布概述对于随机性活动，我们可以定义4.1随机变量和随机分布概述4.1.1离散型随机变量若随机变量的取值为有限个数值或为可以逐一列举的无穷多个数值，则称此类随机变量为离散型随机变量（discreterandomvariable）。设离散随机变量X所有可能的取值为x1、x2、…、xn、…，并且所有可能取值的概率分别为p1、p2、…、pn、…，则将{xi，pi}（i=1，2，…，n，…）配对的集合称为随机变量X的概率分布（probabilitydistribution），并将

P={p1，p2，…，pn，…}称为随机变量X的概率质量函数（probabilitymassfunction，PMF）。11/14/2022594.1随机变量和随机分布概述4.1.1离散型随机变量4.1随机变量和随机分布概述概率质量函数满足以下条件：①pi>0（i=1，2，…，n，…）②图4-1抛掷硬币的概率分布11/14/2022604.1随机变量和随机分布概述概率质量函数满足以下条件：①4.1随机变量和随机分布概述设F（x）为离散型随机变量的累积分布函数（cumulativedistributionfunction，CDF），它表示X小于或等于某个给定值xi（i=1，2，…，n，…）的概率函数：累积分布函数具有以下特性：②F（x）为单调递增函数，即当x<y时，有F（x）≤F（y）。①11/14/2022614.1随机变量和随机分布概述设F（x）为离散型随机变量的4.1随机变量和随机分布概述4.1.2连续型随机变量

若随机变量X可以在某个数值区间内连续取任一数值，则称之为连续型随机变量（continuousrandomvariable）。由于X的取值为无穷多个点，我们无法定义X在某一个数值点的概率，只能考察X落入某个子区间内的概率。X的概率密度函数（probabilitydensityfunction，PDF）

11/14/2022624.1随机变量和随机分布概述4.1.2连续型随机变量4.1随机变量和随机分布概述f（x）需满足以下条件：②①

F（x）为连续型随机变量的累积分布函数（CDF），它表示随机变量小于或等于x的概率：

②

当x1<x2时，有F（x1）≤F（x2）①11/14/2022634.1随机变量和随机分布概述f（x）需满足以下条件：②4.1随机变量和随机分布概述4.1.3随机变量的数字特征概率函数、概率密度函数以及累积分布函数等反映了随机变量的某些概率特征。但是，在工程实际中，往往存在以下情况：①

无法了解或无需知道随机变量准切的概率特征；②

只能得到或只需利用随机变量的具有代表性的数值。此时，仅靠概率函数、概率密度函数和累积分布函数等参数还不足以反映随机变量的某些特性。随机变量的数字特征是与其分布有关的某些数值，例如平均值、最大可能值等，它们反映了随机变量某些方面的特征。11/14/2022644.1随机变量和随机分布概述4.1.3随机变量的数字特4.1随机变量和随机分布概述也称数学期望值（expectation或expectedvalue），或随机变量的一阶矩（thefirstmoment）它是指随机变量取值的平均数，表示随机变量取值的集中程度。一般以E（X）或μ表示。1．平均值（mean或meanvalue）11/14/2022654.1随机变量和随机分布概述也称数学期望值（expect4.1随机变量和随机分布概述设X为离散型随机变量,其概率分布如表4-2所示:表4-2随机变量的概率分布

离散型随机变量的平均值：离散型随机变量的平均值为：

连续型随机变量的平均值：11/14/2022664.1随机变量和随机分布概述设X为离散型随机变量,其概率分4.1随机变量和随机分布概述若某一随机变量的方差为0，则表示该随机变量没有偏差，此时随机变量退化为一个确定值。因此，确定性变量可认为是方差为零的随机变量，是随机变量的一种特殊形式。2．方差和标准差（variance）方差的定义为：

表示随机变量相对于均值的平均分散和变动程度11/14/2022674.1随机变量和随机分布概述若某一随机变量的方差为0，则4.1随机变量和随机分布概述方差的单位是随机变量单位的平方。为了保持与随机变量单位的一致性，常以方差的平方根作为衡量分散性的尺度。将方差的平方根称为随机变量的标准差（standarddeviation），通常以σ表示，即：11/14/2022684.1随机变量和随机分布概述方差的单位是随机变量单位的平方4.1随机变量和随机分布概述为了更好地描述随机变量的分散程度，引入变异系数的概念，也称变化系数或变差系数。变异系数是指随机变量的标准差与平均值的比值，即：

3．变异系数（coefficientofvariation）由于标准差与平均值的量纲相同，变异系数是无量纲量，它不受数据量纲的影响。变异系数的数值越小，则随机变量的分散性越小。11/14/2022694.1随机变量和随机分布概述为了更好地描述随机变量的分散4.1随机变量和随机分布概述模数也称众数，它是指随机变量的频率（或频数）取得某个峰值时的随机变量的值。当随机变量的概率密度函数有多个峰值时，通常取最大峰值作为随机变量的模数。对于离散型随机变量，观测值出现最多的数即为模数；对于连续型随机变量，模数是指概率密度函数为极大值时的x

值，即概率密度函数峰值所对应的x值。4．模数（modenumber）11/14/2022704.1随机变量和随机分布概述模数也称众数，它是指随机变量4.1随机变量和随机分布概述中间值也称中位数。对于随机变量X，若存在一个点xm使得随机变量的一半数值落在该点以下，则称xm点为随机变量的中间值，即与F（x）

=0.5相对应的点。也可以由累积分布函数曲线求得随机变量的中间值。5．中间值（mediumvalue）11/14/2022714.1随机变量和随机分布概述中间值也称中位数。5．中间值4.1随机变量和随机分布概述4.1.4常用随机分布类型及其特性根据参数的物理意义和几何意义，可以将分布参数分为：

位置参数（locationparameter）

比例参数（scaleparameter）

形状参数（shapeparameter）

也称为位移参数，它确定分布函数在横坐标（x轴）的取值范围。当位置参数发生变化时，分布函数在横坐标的位置上会向左或向右发生偏移，而它的范围或形状不发生变化。（1）位置参数11/14/2022724.1随机变量和随机分布概述4.1.4常用随机分布类型及4.1随机变量和随机分布概述图4-8均匀分布的位置参数11/14/2022734.1随机变量和随机分布概述图4-8均匀分布的位置参数14.1随机变量和随机分布概述图4-9正态分布的位置参数11/14/2022744.1随机变量和随机分布概述图4-9正态分布的位置参数14.1随机变量和随机分布概述比例参数用于确定在分布范围内取值大小的比例尺度。当比例参数的数值改变时，分布函数被压缩或扩张，分布的范围发生改变，但分布的基本形状不会改变。（2）比例参数11/14/2022754.1随机变量和随机分布概述比例参数用于确定在分布范围内4.1随机变量和随机分布概述图4-10指数分布的比例参数11/14/2022764.1随机变量和随机分布概述图4-10指数分布的比例参数4.1随机变量和随机分布概述图4-11正态分布的比例参数11/14/2022774.1随机变量和随机分布概述图4-11正态分布的比例参4.1随机变量和随机分布概述形状参数用来决定分布函数的基本形状，改变分布函数的性质。

形状参数与位置参数、比例参数之间相互独立。

与位置参数、比例参数相比，形状参数可以从根本上改变分布的形状。一些分布（如正态分布、指数分布等）没有形状参数；另一些分布（如γ分布、威布尔分布等）具有形状参数。

（3）形状参数11/14/2022784.1随机变量和随机分布概述形状参数用来决定分布函数的基4.1随机变量和随机分布概述图4-12γ分布的形状参数11/14/2022794.1随机变量和随机分布概述图4-12γ分布的形状参数14.1随机变量和随机分布概述图4-13WEIBULL分布的形状参数11/14/2022804.1随机变量和随机分布概述图4-13WEIBU4.1随机变量和随机分布概述广义γ分布和Weibull分布都是三参数分布，由于具有形状参数，它们具有很强的数据拟合能力。通过改变参数数值，可以模拟其它分布或具有与其它分布相类似的属性。γ分布可以用来模拟威布尔分布或正态分布；当形状参数α=1时，威布尔分布演化为指数分布；当α=3.43954时，威布尔分布接近于正态分布。

11/14/2022814.1随机变量和随机分布概述广义γ分布和Weibull分4.1随机变量和随机分布概述表4-6常用分布的参数类型11/14/2022824.1随机变量和随机分布概述表4-6常用分布的参数类型14.2随机数的生成方法

随机数（randomnumbers）是随机变量的取样值，它是离散事件系统仿真的基础和必备的建模元素。任何离散事件系统仿真程序或模型都必须具备能够产生指定分布的随机变量生成模块或子程序。运行仿真程序或模型，当用户赋予某一随机变量以确定参数的分布时，仿真系统就调用和生成相应的随机变量，以便再现系统的随机特征。产生[0，1]区间上均匀分布的随机数是产生随机变量的基础，其它类型分布（如正态分布、γ分布、β分布、指数分布等）都是在[0，1]均匀分布的基础上通过一定变换实现的。11/14/2022834.2随机数的生成方法随机数（randomnumber4.2随机数的生成方法[0，1]区间上均匀分布的随机数[0，1]均匀分布随机数的定义[0，1]区间上均匀分布随机变量x的概率密度函数为：其累积分布函数为：11/14/2022844.2随机数的生成方法[0，1]区间上均匀分布的随机数[04.2随机数的生成方法仿真程序中的随机数序列必须具有以下统计特性：①均匀性：随机变量在其可能取值范围中任一区间出现的概率和此区间的大小与可能值范围的比值成正比。②独立性：在某个区间内一个观测值发生的概率与先前已有的观测值结果无关。仿真程序中常根据确定的递推公式近似地生成随机数。这些随机数并不能严格地满足“均匀性”和“独立性”准则，不是真正的随机数，又能在某种程度上表现出随机性，常称之为

伪随机数。4.2.1随机数的特性用于产生[0，1]区间均匀分布随机数的专门程序称为——随机数发生器11/14/2022854.2随机数的生成方法仿真程序中的随机数序列必须具有以下4.2随机数的生成方法

随机数发生器的评价指标：（1）随机性:有较好的独立性与均匀性,与真实的随机数具有相同或相近的数字特征,如数学期望、方差等（2）长周期:无重复出现的随机数序列长度称周期。（3）可再现性:便于再现仿真状态。

（4）高计算效率:仿真过程要求短时间内产生大量随机数。11/14/2022864.2随机数的生成方法随机数发生器的评价指标：（1）随4.2随机数的生成方法均匀分布的随机数的产生方法（1）平方取中法（3）混合同余法（2）线性同余法（4）乘同余法（5）取小数法11/14/2022874.2随机数的生成方法均匀分布的随机数的产生方法（1）平4.2随机数的生成方法(1)平方取中法由冯·纽曼(JohnvonNeumann)在40年代中期提出的。方法：首先从某个初始的种子数开始,求出这个数的平方,取这个平方数的中间几位作为随机数序列中的第2个数；再求出第2个数的平方，又取这个平方数的中间几位作为随机数序列中的第3个数；不断按这个方式继续此算法，即可得到相应的伪随机序列。4.2.2随机数发生器的设计11/14/2022884.2随机数的生成方法(1)平方取中法4.2.2随4.2随机数的生成方法例:利用平方取中法产生4位数的随机数序列，种子数取为xo=3187。计算过程为：

xo＝3187,(3187)2＝10156969

x1＝1569,(1569)2＝02461761x2＝4617,(4617)2＝21316689

x3＝3166,(3166)2＝10023556x4＝0235将此过程继续下去，便可以得到一系列随机数。缺点伪随机数序列的重复周期通常较短。对于较长的伪随机数序列，可能无法通过随机性的统计检验。当0在任何时侯生成之后，其后产生的数都将为0，称为“退化”，如果这种现象在一个较复杂的仿真研究过程中出现，它将会使仿真分析人员误入歧途。11/14/2022894.2随机数的生成方法例:利用平方取中法产生4位数的随机数4.2随机数的生成方法（2）线性同余法：式中，m为模数（modulus）a为乘数（multiplier）c为增量（increment）其中，Z0为种子数，由上式产生一系列数Z1，Z2，…,

Zi；令yi＝Zi/m则得到区间[0，1]上的随机数yi（i＝1，2，…）线性同余法在1951年由荣默尔(Lehmer)首先提出。目前大多数随机数发生器都采用这种方法。

递推关系11/14/2022904.2随机数的生成方法（2）线性同余法：式中，m为模数（4.2随机数的生成方法线性同余法举例（m=24，a=13，c＝17，Z0＝5）yiyi11/14/2022914.2随机数的生成方法线性同余法举例yiyi11/11/24.2随机数的生成方法

线性同余法的缺点yi并不是真正意义上的均匀分布随机数；当模数m较小时，yi只能取到有限个数值。为取得近似均匀分布的数值，m通常取得很大（如m≥109）。由于yi只能取到有限个数值，随机数发生器会出现周期性。11/14/2022924.2随机数的生成方法线性同余法的缺点yi并不是真正4.2随机数的生成方法（3）混合同余法（Mixedcongruence）（4）乘同余法（Multiplicativecongruence）（5）取小数法取小数法又可分为平方取小数法和开方取小数法。平方取小数法：将前一次随机数平方后的数，取其小数点后第一个非零数字后面的尾数作为下一个所求的随机数。11/14/2022934.2随机数的生成方法（3）混合同余法（Mixedcon4.2随机数的生成方法

开方取小数法：将前一次随机数开方后的数，取其小数点后第一个非零数字后面的尾数为下一所求随机数。11/14/2022944.2随机数的生成方法开方取小数法：将前一次随机数开方4.3随机数发生器的检验

随机数发生器的检验方法：①数字特征检验：检验该随机分布的参数估计值与[0，1]均匀分布的或称理论值的差异是否显著。③独立性检验：检查随机数序列u1，u2，…，un前后各项的统计相关是否显著。②分布均匀性检验：检查随机数序列u1，u2，…，un的实际频率与理论频率的差异是否显著(频率检验)。从理论上来说，随机数只是随机变量的一组取样值，也就是随机变量的一个样本，样本值是否能够反映随机变量？这就需要对产生的随机数进行检验。作为[0，1]均匀分布随机数产生之后，我们需要对在这一区间上随机数样本值进行检验，检验其是否有较好的独立性和均匀性。11/14/2022954.3随机数发生器的检验随机数发生器的检验方法：①数4.3随机数发生器的检验1数字特征检验数字特征检验是采样平均值、方差与理论平均值、方差差异的显著性检验。在(0，1)区间上均匀分布的随机变量X和X2的平均值及方差分别为：11/14/2022964.3随机数发生器的检验1数字特征检验数字特征检4.3随机数发生器的检验

如果N个随机数x1，x