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线面垂直性质的应用指点迷津

利用直线与平面垂直的性质知，一个平面的两条垂线互相平行，该定理实现了垂直关系与平行关系的转化，又为我们提供了一种证明线线平行的方法．1例题如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．分析：对于（1）要证明线线平行，要先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC．对于（2）可利用平行的传递性加以证明．（2）M是AB的中点．求证：（1）MN∥AD1；1例题如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．（2）M是AB的中点．求证：（1）MN∥AD1；证明：（1）∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D．又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1．∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1．1例题如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．（2）M是AB的中点．求证：（1）MN∥AD1；证明：（2）连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．∴ON∥AM．又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM．∴M是AB的中点．∴AM＝

AB，∵ON＝

AB，∴ON

CD

AB．小结若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．知一反三B1．若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为（）．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b．A．1

B．2

C．3

D．0解析：由线面垂直的性质知①、④正确．②中b可能满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交（不垂直），也可能平行，故③不正确．故选B．知一反三2．已知α∩β＝l，EA⊥α于点A，EB⊥β于点B，a⊂α，a⊥AB．求证：a∥l．⇒l⊥平面EAB．又∵a⊂α，

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