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文档简介
数值微积分第四章求积方法复化求积方法数值积分方法方法数值微分第四章数值微积分13425求积的一般理论求积定理求积公式的误差几种常用的
求积公式
提高数值求积公式精度的方法
如求积公式适当选取xk
复化求积公式增加xk
个数1高斯求积的一般理论两个节点的求积公式：1
f
(
x
)dx
A0
f
(
x0
)
A1
f
(
x1
)131
11还可以是：
f
(
x
)dx
f
(
3
)
f
(
)11它可以是：
f
(
x
)dx
f
(1)
f
(1)
具有一次代数精度1具有三次代数精度1高斯求积的一般理论有n个节点的求积公式nbk
1
f
(
x
)dx
Ak
f
(
xk
)a最高可具有2n-1次代数精度。这类求积公式就是 求积公式。如
果
一
组
节
点
n
[,a,,x,]xbx能
使
求
积
公
式21
nbak
1
(
x
)
f
(
x
)dx
Ak
f
(
xk
)定义k而此公式称为带权函数
(x)的Gauss型求积公式。具有2n
1次代数精度，则称这组
节点x
为Gauss点，1高斯求积的一般理论的问题：哪些节点是
点？各节点对应的系数是多少？分析：nk
0ba对f
(
x
)
x
l
(l
0,1,
,2n
1)精确成立公式
(x
)f
(x
)dx
Ak
f
(xk
)bl令
)a
1
11
1
12
n12
n12
2
n
nA
x
A
x
2
n1
A
x
2
n1
u2
2
n
n
A
x
A
x
A
x
u
A1
A2
An
u0则此方程组为非线性方程组，求解十分
。2高斯求积定理nbak
1插值型求积公式
(
x
)
f
(
x
)dx
Ak
f
(
xk
)nk
1的
节
点
是
点
的
充
要条
件
是
函
数
n
n在([p),a]xb
上必要性：若21
,,
求积公式nk
1ba
(x
)f
(x
)dx
Ak
f
(xk
)具有2n
1次代数精度设p(x)为任意次数不超过n
1次的多项式,定理与任意次数不超过n
1的多项式b关于权函数
()x
正交，
即
a证明2高斯求积定理nk
1则p
(x
)
n
(x
)为至ba
xxknpkkA
0
n
(
即
n
(x
)与任意次数不超过n
1的多项式p(x
)在[a
,b]上关于权函数
(x
)正交
n
(()(f)q()r
x其
中
q
(
x
),
r
(
x
)均
为
至
多
n
1次
多
项
式
，
且r
(
x
k
)
f
(
x
k
)的多项式,
n
x
除(用f())x
得充分性：设f
()x
为任意次数不超过
n
1次2nk
1
n2高斯求积定理由于所给的求积公式是插值型的，所以具有n-1次代数精度，即对任意不超过n-1次多项式精确成立。nbak
1
(
x
)r
(
x
)dx
Ak
r
(
xk
)a
a
ab
b
b故
(x
)f
(x
)dx
(x
)q(x
)
n
(x
)dx
(x
)r
(x
)dxn
nbak
1
k
1
(
x
)r
(
x
)dx
Ak
r
(
xk
)
Ak
f
(
xk
)证毕2高斯求积定理区间[a
,b]上关于权函数
(x
)的正交多项式系中的n次正交多项式的根就是Gauss
点。结论：2高斯求积定理Ak的求法)xnkjk
x
(k
1,2,
,
n)x
x
jj
1j
k
n
(
x
)取pk
(x
)
(k
j0,
j
k则p
(
x
)
1,
j
knbal
1
(
x
)
pk
(
x
)dx
Al
pk
(
xl
)
Akbanf
(
x
)
lk
(
x
)
f(
xk
)
Ak
lk(
x
)dxk
0由求积公式的一般形式知：对插值型求积公式3高斯求积公式的误差设f
(x
)在[a
,b]上2n阶连续可微，
(x
)
0,则带权函数
(x
)的Gauss
型求积公式的余项为(2
n)!nf
(2)nnxk
)(aa
()a(,)b()
x
2
)(bbR
f
x
f
x)(d)x()(
Ak
fk
1来源于特插值的余项定理4几种常用的高斯求积公式1.Gauss-Legendre
求积公式(1)其中 点为Legendre多项式的零点11nk
1Ak
f
(
xk
)f
(
x
)dx
nL
(
x)
1
dn
(
x2
1)n2n
n!
dxn,
(
x)
1对于一般有限区间[a,b]，用线性变换x
a
b
b
a
t2
2使它变成为[-1,1]。4几种常用的高斯求积公式dx1
d
(
x
2
1)
x
,零点为x
0n
1时,
L1
(
x
)
231
0
x
dx
21
d
2
(
x
2
1)2n
2时,
L2
(
x
)
2
2
2!11
2,333
0
1()3
x
0,
x
1
153!2
dxd
3
x
2n
时
L3
x
)(,3计算相应的系数，就可得到
求积公式：52k
1(,2,,)
n(1
2')[
Lxx(
)]2knkAk
神奇点的出处4几种常用的高斯求积公式具有一次代数精度11个节点时，
f
(x
)dx
2
f
(0),11)
f
(
),3
3112个节点时，
f
(
x
)dx
f
(15
1113个节点时，
f
(
x
)dx
9
f
(
515
)
8
f
(0)
5
f
(
1
15
),9
9
5具有五次代数精度332)2)2
(1
3
1
(具有三次代数精度
1 (k
1,2)k其中A
4几种常用的高斯求积公式-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式的节点和系数典型例题例1作变换t
x
,则4
40
112I
sin
tdt
4
sin
(
x
1)4dx若用n=2的Gauss-Legendre公式，则
4
4
4
4I
sin
(1
0.5773503)
sin
(1.5773503)
0
.9984725求积分2I
的sin近td似t
值。0典型例题若用n=3的Gauss-Legendre公式，则I
0.5555556
f
(0.7745967)
0.8888889
f
(0)
0.5555556
f
(0.7745967)
1
.00000814几种常用的高斯求积公式2.Gauss-Chebyshev
求积公式212
f
(
x
)
nAk
f
(
xk
)dx
11
x
k
1
1
x
(
x
)
1
xkk,
A2n
n
cos
k
1(2)
其中 点为Chebyshev
多项式Tn(x)的零点Tn(x)=cos(narccos(x))4几种常用的高斯求积公式3.Gauss-Laguerre
求积公式0nk
1
xAk
f
(
xk
)e
f
(
x
)dx
ndxnd
nL
(
x
)
e
x
(e
x
xn
)是[0,)上关于
(x
)
e
x的正交多项式系(n
0,1,)2'k
n
kx
[
L
(
x
)](n!
)2Ak
4几种常用的高斯求积公式-拉
（Gauss-Laguerre）求积公式的节点和系数4几种常用的高斯求积公式
n
ef
(
x
)dx
Ak
f
(
xk
)2
x4.Gauss-Hermite
求积公式2k
1nn
xndxndH
(
x
)
(1)
e是(,)上关于
(x
)
e
x
2
的正交多项式系2(e
x
)
(n
0,1,)k[
H
'
(
x
)]2n
k2n
1
n!A
4几种常用的高斯求积公式- 特（Gauss-Hermite）求积公式的节点和系数典型例题例2分别用不同方法计算如下积分,并做比较各种做法比较如下：一、Newton-Cotes公式dxxsin
xI
10nk
k(
n
)C f
(
x
)I
(b
a
)k
0当n=1时，即用梯形公式，
I
0.9270354当n=2时,即用Simpson公式I,
0.9461359当n=3时,I=0.9461090当n=4时,I=0.9460830当n=5时,I=0.9460831典型例题
f
(1)
f
(0)
2
f
(h)
0.94569086
f
(7
h)
h2sin
x
x10dx
二:用复化梯形公式令h=1/8=0.125
f
(6h)
f
(1)
0.946083305sin
x
h
x
32
f
(2h)
dx
f
(0)
4
f
(h)
f
(7
h)
10三：用复化抛物线公式令h=1/8=0.125典型例题四、Romberg公式•KTnSnCnRn•00.9207355•10.93979330.9461459•20.94451350.94608690.9400830•30.94569060.94608330.94608310.9460831典型例题0.7745907
1sin
1
(0.7745907
1)110.5773503
1sin
(0.5773503
1)sin
(0.5773503
1)I
2
2
0.9460411
0.577
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