【教学课件】简单的三角恒等变换（第一课时）参考教学课件

简单的三角恒等变换第一课时

追问1

已知角

与待求角

有什么关系？目前我们掌握的公式中，有没有相关公式可以将具有这种关系的角联系起来？

二倍角公式新知探究例1

试以cosα表示

．

在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以

代替α，得

，所以

．

①在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以

代替α，得

，所以

．

②将①②两个等式的左右两边分别相除，得

．新知探究例1

试以cosα表示

．

与代数恒等变换相比，进行三角恒等变换时，三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所含的角差异，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式．新知探究问题2

经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等变换与代数恒等变换二者之间有何区别吗？符号由

所在象限决定新知探究半角公式新知探究降幂公式

练习：求证：

．所以得证．新知探究证法一：因为

练习：求证：

．又

即所以得证．新知探究证法二：因为

（1）（2）新知探究例8

求证：你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？问题3

（1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？

你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？可以从两个不同的角度回答这个问题：第一，从所含角的角度考虑，等式左侧包含角α及β，而等式右侧包含了α与β的和角以及差角，因此如果从等式右边出发，借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的形式；第二，从运算结构的角度考虑，等号左侧是sinα与cosβ的乘积，而右侧是加的形式，如果设计从左向右的变换过程，新知探究问题3

（1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？

需要将积转化为和的形式，回顾所学公式，在公式S(α＋β)

，S

(α＋β)中遇到过sinαcosβ这一结构，但上述两个公式中同时都包含了sinαcosβ这个结构，因此需要两个式子用加减消元法消去sinαcosβ即可证明待证结论．这两种思考方法是本质上是一致的．新知探究你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？问题3

（1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？

从等式两侧所含角的角度考虑，（1）的右侧所含角是左侧所含角的和角与差角，而（2）的左侧所含角是右侧所含角的和角与差角；从运算结构考虑，（1）左侧积结构是右侧和结构的一半，（2）左侧和结构是右侧积结构的二倍．综合以上分析，只需将（1）式等号两侧交换，再将α，β分别替换成

即可得到（2）．新知探究问题4

注意观察（2）式的左右两侧，它与（1）的结构特征有何区别？两个等式之间有什么联系？

证明：（1）因为sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ，即sinαcosβ＝

［sin（α＋β）＋sin（α－β）］．新知探究（1）例8

求证：

证明：（2）由（1）可得sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ．

③设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么把α，β的值代入③，即得sinθ＋sinφ＝新知探究（1）（2）例8

求证：

我们进行三角恒等变换时，应首先分析已知条件与目标之间的差异，这些差异可能是所含角的差异，也可能是三角函数名称的差异，或是结构差异等等，找到“差异”之后，再选择合适的公式，将这个“差异”逐步“拉近”，就可以一步一步达到目标．在变换中经常用到化归思想、转化思想、方程思想以及换元法．回顾小结问题5

我们在进行三角恒等变换时，应该怎样进行分析？在变换中经常会用到哪些数学思想或方法？

目标检测2．已知等腰三角形的顶角的余弦等于

，求这个三角形的一个底角的正切．答案：1．