第3课时二次根式混合运算

学习目标掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点）会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点）导入新课问题引入高为

cm，那么它的面积是多少？梯形面积

=

1(2 2

+4 3)×

62=(

2

+2 3)×

6=

2×

6

+2

3×

6=

2×6

+2

3×6=

2×2×3

+2

3×3×2=

2 3

+2×3

2=

2 3

+6

2(cm2).如果梯形的上、下底长分别为2

2

cm,

4

3

cm，6导入新课问题1

单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么?m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb问题2

多项式与单项式的除法法则是什么?(ma+mb+mc)÷m=a+b+c单×多转化分配律前面两个问题的思路是：思考若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳， 发现了什么？单×单讲授新课二次根式的混合运算—二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.例1

计算：（1）（8+解：（1）（

8+ 8

6+ 3

64

3+3 2

.2

3 6

2

23）

6

；（2）（4

2

3

6

）

2

23）

6

（2）（4 2

3 6

）

2

2

4 2

2

2

3

3.2二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.归纳（3）(

2

3)(

2

5).解（：3）( 2

3)( 2

5)3 2

15（

2）2

13

2

2

.此处类比“多项式×多项式”即

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.(1)

（3 2

3）27+ 6

36

.23）0

+

3

12

-6

3

3

3

3

6(2)（2016

解：(1)原式(2)原式

3 3

.13

3 3

2

.【变式题】计算：归纳有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.例2：计算：3

2

;2

3(1)1

;8(2) 18

8

24

1

)

3.6(3)(2

3解：（1）3

22

2

3

33

2

2

3

16

1

632

(

1

1)

62

36

;

16（2）18

8

81

16232

2

22

24

3 2

2 2

1

2

5

2

;424

1

)

3

6解法一：（3）

(31

624

3

24

3

1

3

616

38

26

6

4

2

2

11

2 2

162

.6你还有其他解法吗？1

6

14

6

6

6

36解法二：原式=(3)( 24

1

)

3.36

2 6

6

3

11 6

363

11 6

36

3

11

3

26

3

11 2

.6解：(4)原式=(4)99

18;225

25

2

99

9

22

22

99

3

2

522

1

2

99.思考：还可以继续化简吗？为什么？如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其它最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式.提醒二

二次根式的化简求值问题：化简b

ab

，其中a=3，b=2.你是怎么做的？a1

解法一：把a=3，b=2代入代数式中，2 3

231

原式=

1

3

2

2

3

23

2

2 3.解法二：aa

b

b a

b原式=12

2 3.原式

b

b

a把a=3，b=2代入代数式中，先代入后化简先化简后代入哪种简便？解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．方法总结例3：已知a

，求5

2 5

21,

b

1a2

b2

2.分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.1 5

2解：a

5

2,5

2

( 5

2)( 5

2)1 5

2

5

2,5

2

( 5

2)( 5

2)b

a

b

2 5,

ab

1,

a2

b2

2

(a

b)2

2ab

2

(2 5)2

2

2

20

2

5.变式训练：已知

10

的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.解：

3

10

4

a

3,

b

10

3

.

a2

b2

32

( 10

3)2

9

19

6 3

28

6 3

.思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？

二次根式的应用三可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，

.方法1：分割法S1S2S3S梯形ABCD=S1+S2+S3

1

3

1

1

3

2

1

(3

6)

32

2

2

3

3

27

18.2

2通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，

.方法2：补图法S1S2S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2

1

(2

7)

5

1

11

1

4

22

2

2

45

1

4

18.2

2EF过点D作AB边的高DE，.方法3：直接法2

1

( 2

5 2

)

3

2E2S梯形ABCD

1(CD

AB)

DE

1

6 2

3

22

18.归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．例4：教师节就要到了， 同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算

彩带够不够用.分析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正

方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论.解：贺卡的周长为2

13

2)4( 288

338)

4

(12

4

25 2

141.4(厘米)50＞141.4本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．答：

的彩带够用.方法总结当堂练习1.下列计算中正确的是（

）3A.

3( 3

1

)

3B.(

12-

27)

3

1C. 32

1

2

2D.

3( 2

3)

6

2

3B22.已知

x

试求x2+2xy+y2的值.3

1,

y

3

1,解：x2+2xy+y2=（x+y)2代入上式得把

x

3

1,

y

3

1,23+1）+（

3

1）原式=（（2

3）2

12.3（1）3

1

；（3）( 18

1

)

8.2解：（1）5

52

5

2

1

；（2）

12

5

102

1

5

10110

11010

51010

1

1010

;10

1（2）

12

3

31

1

34

3

3

2 3

3

133

33

433

;3.计算.解：（3）( 18

21

)

821

18

8

28

188

1

84

12

2

＝10

.

144

4.在一个边长为

(6 15

5 5)

cm的正方形 ，挖去一个边长为

(6 15

5 5)

cm的正方形，求剩余部分的面积.解：由题意得，(6 15

5

5)2

(6 15

5

5)2

(6 15

5

5)

(6 15

5

5)

(6 15

5

5)

(6 15

5

5)

12 15

10 5

600 3(cm2

).即剩余部分的面积是600

3

cm2

.5.(1)已知x

2x

3的值；3

1，求x2解：x2-2x-3=(x-3)(x+1)

3

1

3

3

1

1

3

23

2

1.(2)已知x

5

1

,

y

2

25

1，求x2

xy

y2

的值.解：2

2x

y

51

5

1

5,

xy

5

1

5

1

1,2

25

2

x2

xy

y2

x

y

2

xy

1

4.能力提升：6.阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：23

1方法一：3

1

3

1

3

23

13

13