江西省南昌市2022-2023学年数学九年级上册期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．反比例函数经过点（1，），则的值为（）A．3 B． C． D．2．如图，抛物线交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上．过点Aʹ作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点Aʹ的纵坐标为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．33．如图，是的直径，，是的两条弦，，连接，若，则的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°4．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C'所在的区域在1区∼4区中，则点C'所在单位正方形的区域是（）A．1区 B．2区 C．3区 D．4区6．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是A．14 B．12 C．9 D．77．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（）．A． B． C． D．9．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，已知点的坐标为，若为线段的中点，连接，且，则的值是（）A．12 B．6 C．8 D．410．如图，在中，，AB＝5，BC＝4，点D为边AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上.若这样的菱形能作出两个，则AD的取值范围是()A． B．C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，圆形纸片⊙O半径为5，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出4个最大的小正方形，则4个小正方形的面积和为_______．12．近日，某市推出名师公益大课堂.据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次.如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，则这个增长率是______.13．如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是．14．如图，是的切线，为切点，连接．若，则=__________．15．已知一元二次方程x2-10x+21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________．16．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2,4），B（1,1），则不等式ax2＞bx+c的解集是_________.17．反比例函数的图象在第象限．18．如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，取△ABC的边AB的中点O，以O为圆心AB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，若DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若DE=1，∠BAC=120°，则的长为．20．（6分）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点（1）求抛物线的表达式；（2）请直接写出时的取值范围.21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别为（1，﹣4）、（5，﹣4）、（4，﹣1）．（1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）将△A1B1C1绕顶点A1逆时针旋转90°后得到对应的△A1B2C2，画出△A1B2C2，并求出线段A1C1扫过的面积．22．（8分）如图，在中，，为边上的中线，于点E.（1）求证：；（2）若，，求线段的长.23．（8分）问题发现：（1）如图1，内接于半径为4的，若，则_______；问题探究：（2）如图2，四边形内接于半径为6的，若，求四边形的面积最大值；解决问题（3）如图3，一块空地由三条直路（线段、AB、）和一条弧形道路围成，点是道路上的一个地铁站口，已知千米，千米，，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点处，另外三个入口分别在点、、处，其中点在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.24．（8分）已知，二次三项式﹣x2+2x+1．（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+1＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围．25．（10分）如图,将绕点顺时针旋转得到,点恰好落在的延长线上，连接．分别交于点交于点．求的角度;求证：．26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在斜边AB上取一点D，使CD=CB，圆心在AC上的⊙O过A、D两点，交AC于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若，且AE=2，求CE的长．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】此题只需将点的坐标代入反比例函数解析式即可确定k的值．【详解】把已知点的坐标代入解析式可得，k=1×（-1）=-1．故选：B．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，．2、B【分析】先求出点A坐标，利用对称可得点横坐标，代入可得纵坐标.【详解】解：令得，即解得点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上点的横坐标为1当时，所以点Aʹ的纵坐标为2.故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键.3、D【分析】连接AD，由AB是⊙O的直径及CD⊥AB可得出弧BC=弧BD，进而可得出∠BAD=∠BAC，利用圆周角定理可得出∠BOD的度数．【详解】连接AD，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴弧BC=弧BD，

∴∠BAD=∠BAC=20°．

∴∠BOD=2∠BAD=40°，

故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，利用圆周角定理求出∠BOD的度数是解题的关键．4、C【解析】试题分析：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．故选C．考点：平行四边形的判定5、D【分析】如图，连接AA'，BB'，分别作AA'，BB'的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而便可判断出点C'位置.【详解】如图，连接AA'，BB'，分别作AA'，BB'的中垂线，两直线的交点O即为旋转中心，连接OC，易得旋转角为90°，从而进一步即可判断出点C'位置.在4区.故选：D.【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握相关方法是解题关键.6、D【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，∴可以假设切点分别为E、H、G、F，∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，∵AD＝2，BC＝5，∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，故选D.【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理等知识，解题的关键是证明圆的外切四边形的对边和相等，属于中考常考题型．7、B【解析】由图象与x轴有交点，可以推出b2-4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由对称轴为x=-b2a=-1可以判定②错误；由x=-1时，y>0，可知③错误．把x＝1，x＝﹣【详解】①∵图象与x轴有交点，对称轴为x＝-b2a＝﹣1，与y轴的交点在又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故本选项正确，②∵对称轴为x＝-b2a＝﹣∴2a＝b，∴2a-b＝0，故本选项错误，③由图象可知x＝﹣1时，y>0，∴a﹣b+c>0，故本选项错误，④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，两边相加整理得5a+c＝b，∵c>0,即5a＜b，故本选项正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图像与各系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8、C【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．【详解】∵Rt△OAB的顶点A(−2,4)在抛物线上，∴4=4a，解得a=1，∴抛物线为，∵点A(−2,4)，∴B(−2,0)，∴OB=2，∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OCD，∴D点在y轴上，且OD=OB=2，∴D(0,2)，∵DC⊥OD，∴DC∥x轴，∴P点的纵坐标为2，代入,得，解得∴P故答案为:.【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征,坐标与图形变化-旋转，掌握旋转的性质是解题的关键.9、A【分析】根据“一线三等角”，通过构造相似三角形，对m的取值进行分析讨论即可求出m的值.【详解】由已知得，∴.如图，在轴负半轴上截取，可得是等腰直角三角形，∴.又∵，∴，∴，∴，即，解得（舍去）或，的值是12.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的知识点，解题时还需注意分类讨论的数学思想的应用10、B【分析】因为在中只能作出一个正方形，所以要作两个菱形则AD必须小于此时的AD，也即这是AD的最大临界值；当AD等于菱形边长时，这时恰好可以作两个菱形，这是AD最小临界值.然后分别在这2种情形下，利用相似三角形的性质求出AD即可.【详解】过C作交DG于M由三角形的面积公式得即，解得①当菱形DEFG为正方形时，则只能作出一个菱形设：，为菱形，，，即，得（）若要作两个菱形，则；②当时，则恰好作出两个菱形设：，过D作于H，由①知，，，得综上，故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质、锐角三角函数，依据图形的特点判断出两个临界值是解题关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、16【分析】根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB，设小正方形的面积为x，根据勾股定理求出x值即可得到小正方形的边长，从而算出4个小正方形的面积和.【详解】解：如图，点A为上面小正方形边的中点，点B为小正方形与圆的交点，D为小正方形和大正方形重合边的中点，由题意可知：四个小正方形全等，且△OCD为等腰直角三角形，∵⊙O半径为5，根据垂径定理得：∴OD=CD==5，设小正方形的边长为x，则AB=，则在直角△OAB中，OA2+AB2=OB2，即，解得x=2，∴四个小正方形的面积和=.故答案为：16.【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．12、【分析】设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解.【详解】设增长率为x，根据题意，得2(1+x)2=2.42，解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．∴增长率为10%．故答案为：10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．13、π﹣1．【详解】解：在Rt△ACB中，AB==，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，∴D为半圆的中点，S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC==π﹣1．故答案为π﹣1．考点：扇形面积的计算．14、65°【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论．【详解】解：∵是的切线，∴AB=AC∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65°故答案为：65°．【点睛】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键．15、1【分析】先求出方程的解，然后分两种情况进行分析，结合构成三角形的条件，即可得到答案．【详解】解：∵一元二次方程x2-10x+21=0有两个根，∴，∴，∴或，当3为腰长时，3+3<7，不能构成三角形；当7为腰长时，则周长为：7+7+3=1；故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解题的关键是掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．16、x＜-2或x＞1【分析】根据图形抛物线与直线的两个交点情况可知，不等式的解集为抛物线的图象在直线图象的上方对应的自变量的取值范围．【详解】如图所示：

∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，

∴二次函数图象在一次函数图象上方时，即不等式的解集为：或．

故答案为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式组．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解不等式．17、二、四【解析】：∵k=-1＜0，∴反比例函数y="-1/x"中，图象在第二、四象限18、100°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠B+∠D=180°，

∴∠D=180°-130°=50°，

由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=100°，

故答案是：100°．【点睛】考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接OD，利用等边对等角证得∠1=∠B，利用切线的性质证得OD∥AC，推出∠B=∠C，从而证明△ABC是等腰三角形；（2）连接AD，利用等腰三角形的性质证得∠B=∠C=30，BD=CD=2，求得直径AB=，利用弧长公式即可求解．【详解】（1）证明：连结OD．∵OB=OD，∴∠1=∠B，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE=90°，∵DE⊥AC，∴∠ODE=∠DEC=90°，∴OD∥AC，∴∠1=∠C．∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90，即AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120，∴∠BAD=∠BAC=60，BD=CD，∴∠B=∠C=30，在Rt△CDE中，∠CED=90，DE=1，∠C=30，∴CD=2DE=2，∴BD=CD=2，在Rt△ABD中，，即，∴AB=，∴OA=OD=AB=，∠AOD=2∠B=60，∴的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式等知识点的综合运用．作出常用辅助线是解题的关键．20、（1）；（2）或【分析】（1）利用对称轴方程可确定b=-2，把P点坐标代入二次函数解析式可确定c=-3，即抛物线解析式为；(2)根据抛物线的对称性和P（3，0）为x轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标，画图，根据图象即可得出结论；【详解】解：（1）根据题意得，，解得，∴抛物线解析式为；(2)函数对称轴为x=1,而P(3,0)位于x轴上，则设与x轴另一交点坐标Q为(m,0)，根据题意得：，解得m=−1，则抛物线与x轴的另一个交点Q坐标为(−1,0)，由图可得，时的取值范围为：或；【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，掌握抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.21、（1）详见解析；（2）图详见解析，【分析】（1）利用关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，分别找出A、B、C的对应点，顺次连接，即得到相应的图形；（2）根据题意，作出对应点，然后顺次连接即可得到图形，再根据扇形的面积公式即可求出面积．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为：（-1，4）；（2）如图所示，△A1B2C2即为所求；．所以，线段A1C1扫过的面积=．【点睛】本题考查的是旋转变换作图．无论是何种变换都需先找出各关键点的对应点，然后顺次连接即可．22、（1）见解析；（2）.【分析】对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD⊥BC，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED，至此问题不难证明；对于（2），利用勾股定理求出AD，利用相似比，即可求出DE.【详解】解：（1)证明：∵，∴.又∵为边上的中线，∴.∵，∴，∴.(2)∵，∴.在中，根据勾股定理，得.由（1）得，∴，即，∴.【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.23、（1）；（2）四边形ABCD的面积最大值是；（3）存在，其最大值为.【分析】（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，利用求出∠AOH=∠AOB=，根据OA=4，利用余弦公式求出AH，即可得到AB的长；（2）连接AC，由得出AC=，再根据四边形的面积=，当DH+BM最大时，四边形ABCD的面积最大，得到BD是直径，再将AC、BD的值代入求出四边形面积的最大值即可；（3）先证明△ADM≌△BMC,得到△CDM是等边三角形，求得等边三角形的边长CD，再根据完全平方公式的关系得出PD=PC时PD+PC最大，根据CD、∠DPC求出PD，即可得到四边形周长的最大值.【详解】（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，∵，∴∠AOB=120.∵OH⊥AB，∴∠AOH=∠AOB=，AH=BH=AB，∵OA=4，∴AH=，∴AB=2AH=.故答案为：.（2）∵∠ABC=120,四边形ABCD内接于，∴∠ADC=60，∵的半径为6，∴由（1）得AC=,如图，连接AC，作DH⊥AC,BM⊥AC,∴四边形的面积=,当DH+BM最大时，四边形ABCD的面积最大，连接BD，则BD是的直径，∴BD=2OA=12，BD⊥AC，∴四边形的面积=.∴四边形ABCD的面积最大值是（3）存在；∵千米，千米，，∴△ADM≌△BMC,∴DM=MC,∠AMD=∠BCM,∵∠BCM+∠BMC=180-∠B=120，∴∠AMD+∠BMC=120，∴∠DMC=60，∴△CDM是等边三角形，∴C、D、M三点共圆，∵点P在弧CD上,∴C、D、M、P四点共圆，∴∠DPC=180-∠DMC=120，∵弧的半径为1千米，∠DMC=60，∴CD=,∵,∴,∴,∴当PD=PC时，PD+PC最大，此时点P在弧CD的中点，交DC于H,在Rt△DPH中，∠DHP=90,∠DPH=60，DH=DC=,∴，∴四边形的周长最大值=DM+CM+DP+CP=.【点睛】此题是一道综合题，考查圆的性质，垂径定理，三角函数，三角形全等的判定及性质，动点最大值等知识点.（1）中问题发现的结论应用很主要，理解题意在（2）、（3）中应用解题，（3）的PD+PC最大值的确定是难点，注意与所学知识的结合才能更好的解题.24、（1）m＝7；（2）n≤﹣2或1≤n＜2．【分析】（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，由已知可得m≠1，△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，由已知可得m﹣4＝±1，解得m＝7或m＝1（舍）；（2）由已知可得A（，0），B（0，n），根据题意可得，当≤﹣1，n＜1时，n≤﹣2；当＞﹣1，n≥1时，n≥1；当＞1，n≤1时，n不存在；当＜1，n≥1时，1≤n＜2；综上所述：n≤﹣2或1≤n＜2．【详解】解：（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，由已知可得m≠1，△＝m2﹣