总复习概率论与数理统计东南课件

2第

1

章

随

量(一)概率论的基本概念随机试验随机事件必然事件样本空间不可能事件事件与事件之间的关系和运算概率古典概型的计算公式中的基本事件总数P(A)

A中包含的基本事件数3条件概率P(B

|

A)

P(AB)P(A)全概率公式贝叶斯公式事件独立性nB为E的任一事件,设A1

,A

2

,

An

为的一个划分,则有

P(B)

P(Ai

)P(B|

Ai

)

.i1jn,

j

1,2,...,

n.P(A |

B)

P(

Aj

)P(B

|

Aj

)

P(

Ai

)P(B

|

Ai

)i

14（二）

随 量及其分布随

量离散型随

量

连续型随

量二项分布nP{X

k}

Ck

pkqn

k

,k

0,1,2,...,n。k!P{X

k}

,

k

0,

1,

2,

...

,

其中

0是常数.泊松分布k

e

二项分布可以通过泊松分布求近似5指数分布f(x)

正态分布f(x)

随

量函数的分布xf(t)dtF(x)

1, a

x

b,b

a连续型随

量均匀分布

f

(x)

0,

xe

,

x

0,0, x

0.e1,

x

,22

2

(

x

)26238

.50235

10

2

4

3

5

23

;5

10

5

10

502

471500C200400C901100

C11040011001500C200C90C11011001500C200C200400C11100

1500C199

C200811111115556302Y

sin[

(X

1)]291

x2e

2

,

-

x

,解:f

X

(x)2先求Y的分布函数.FY

(y)

P{Y

y}

0;y

1时,y

1时,2YF

(y)

P{Y

y}

P{2X

1

y}

P2y

1

X

2y

1

y12

y12Xf

(x)dx10

,

y

1.e

,y

1,2

(y

1)01

y14,

y

1.),

y

1,2y

1)(2y

120)(2y

1 y

1f

()

f

X

(XfY

(y)

FY

(y)11第

2

章

随机向量二元联合分布函数F(x,

y)

P{X

x,Y

y}联合分布列P{X

xi

,

Y

y

j}

pij

,

i,

j

1,

2,

边缘分布列i

1,2,,P{X

xi}

pijj1ˆ

pi

,j

1,2,,

P{Y

y

j}

piji1ˆ

p

j

,12边缘密度联合密度

y

x-

-f(u,

v)dudv,f(x,

y)

F(

x,

y)

Yf

(y)

X

f(x,y)dx.--f

(x)

f(x,y)dy,随

量独立性F(x,

y)

FX(x)

FY(y),13或等价于：P{X

xi

,Y

y

j

}

P{X

xi

}P{Y

y

j

},或

f(x,

y)

f

X

(x)

fY

(y)二元随

量函数的分布i,

j

1,2,140,

其它2

x

y, 0

x

1, 0

y

1f

(x,

y)

310

x,

0

x

1;(2

x

y)dy

22310

y,

0

y

1;(2

x

y)dx

15f

(x,

y)

fX

(x)

fY

(y)0

x

1,0,

其它0

y

1x

y,f

(x,

y)

16311

10

0xy(

x

y)

dxdy

E(

XY

)

f

(

x

,

z

x)dx

０0,＝2z

z0

z

1, 1

z

2其它f

(

x

,

z

x)dx,0

z

11

z

2其它(2)

f (

z)

2

z

2

,1z

10,

z

f

(

x

,

z

x)

dx

，Z17第

3

章

数字特征x

pkk数学期望k

1E(X)

xf(x)dx

-或

E(X)

随

量函数的数学期望

g(x)f(xd)

x.-

Eg(X)

Eg(X)

g(xk

)pk

或k

1数学期望的性质18随

量的方差D(X)

E[

X

-

E(X)]

2

E(X

2

)-E(X)

2方差的性质矩、协方差矩阵C

ov(X,

Y)D(X)

D(Y)XY

常见随

量协方差

相关系数C

ov(X,

Y)

E{[X -

E(X)][Y -

E(Y)]},19大数定律及中心极限定理nlimP

Y

a

1,n则称序列{Y}依概率收敛于a,记作Y

n

nPa.2.若对于

0,有

nlimP

1

1nnni

1n

E(

Xi

)

1.

Xii

1则对

0,都有1.契大数定律:设X1

,X

2

,

Xn

,是由两两互不相关的随量所构成的序列,每一个随机变量都有有限的方差,并且它们有公共的上界:D(X1

)

k,

D(X2

)

k,

,D(Xn

)

k,

nn:

limPn

p

13.贝努利定理1n

1.n

ni

1Xi4.辛理:

limPD(kX

)k

15.独立同分布的中心极限定理:设随

量Xk

(k

1,

2,)相互独立,服从同一分布，

且具有有限的数学期望和方差,则随

量:n

n

Xk

E(

Xk

)Yn

k

1 k

1

的分布函数趋向于标准正态分布

n21l

i

m

P

x

(

x).np

(1

p

)

n

npn

设随量

n

(

n

1,

2,

)

服

从B

(n,p)，则对于

x,恒有Bnn

n

Xk

kk

1 k

1

x

(x).l

imFn

(x)

limPn

n

22mj1imj1iij2

1m

(2m

1)(m

1)

,6E(X

2

)

mj

1mj

1,...,m;

m

1

,2

E(X )

P(X

j)

1

,i

1,...,k.X

X1

Xk可知Xi

的分布律为：23.12kiki2

1

12m

222i

i

i2k(m

1).D(X )

D(X)

E(X )

1

k(m

1),

E(X)

1D(X )

E(X )

[E(X

)]i1i124X

~

N(0,1),Y

~

N(1,2),3X

YX

Y得解

由：0

cov(3X

Y,

X

Y)

3cov(X,

X)

3

cov(X,

Y)

cov(Y,

X)

cov(Y,

Y)

3

2

1.525100Ck0.8k·

0.2100－k2627第

4

章

统计估值总体样本简单随机样本样本定义统计量抽样分布28常用的几个统计量n

-

11X

;niknX

kik

2ninni(X

X)

k

,

k

1,

2,

.

1,

k

1,

2,

;

1(X

X)

;n

n

2

(X

i

X)

;n

i

1i

1i

1n

-

1

i

11i

15

.

样本

k

阶中心矩

B4

.

样本

k

阶原点矩

A3

.

样本标准差

S

2.

样

本

方

差

S

2

1.样本均值X

1

29(二) t

-

分布:设X

~

N(0,1),

Y

~

2

(n),并且X,

Y

相互独立,

则称t

X

, 服从t(n)分布.Y

/

nV

/

n服从

度为(n1

,

n

2

)的2F

分布,记作F

~

F(n

1

,n

2

).则称随

量F

U/n1(三)F分布:

设U

~

2

(n ),

V

~

2

(n ),

且U,

V独立,1

230参

数

估

计矩估计法极大似然估计法定义

如果似然函数L(x1

,

x

2,

xn

;1

,

,

,

)在

,

ˆ

ˆˆ2

k

1

2

k,,

取到最大值，则称ˆ

,

ˆ

,,

ˆ

分别为

,

,

,

的极大似然估计.1

2

k

1

2

k(三)估计量的评选标准有三个:无偏性、有效性和相合性。31若对于给定值，有:1P{

2

}

1

n的置信区间：(

X

z1

2置信度为1

的置信区间则称(

,

)为的。1.当

2已知时，选取Z

X

，可得

n

/

2

).nS,t

(n

1)).X

S

n

/

2可得的置信区间：(X

2.当

2

未知时,

构造随

量

Z

，

可得

2(n

1)S

2选取Z

3.

2的置信区间:)(n

1)S

2(n

1)S

2

21

/

22

/

2，(n

1)

2

(n

1)的置信区间为

:

(当2

和2已知时,求

的置信区间1

2

1

2当

2

和

2

均未知时,求

的置信区间1

2

1

223.

2

2

2

,

但

2未知时,

求

1

2

1的置信区间X1

,

X2

,...,XnX,

S2E(S2

)

2E(X),

D(X)nnnnn22i2ninini

2

,nD(X )

X

1

1D(X)

DE(X )

1nn

,

1

X

1ni11E(X)

E

n

i1i1i1i1i134

n

1

n

1

)

(X

)2

]ni1ini1in

n

12ni1i

)

2

－2(X

)ni[(X

)

2

n

1

i1nii

n

1

i1[(X

)

2－n(X

)

2

]

E[(X

)

2

－2(X

)n(X

)

n(X

)

2

]

1

E(X

)

n(X

)

]

1

E

2(X

)(Xi

1[

(Xii1

1

E

1

E1nE(S2

)

E

(X

X)

2

n

1

i1[(X

)－(X

)]2

in[n11[n

2

n

1

2

]n

1n

11n

1

i1i1n＝

22[

－nD(X)]E(X

)

2－nE(X

)

2

]X1

,

X2

,...,X10Y1

,

Y2

,...,Y20X

YP(|

X

Y

|

0.1)0.1

)0.3

0.3

2[1

(

0.1

)]

2(1

(0.1825))0.3

2(1

0.5714)

0.8572.X

Y

~

N(0,0.3);P(|

X

Y

|

0.1)

P(|

X

Y

|解X1

,

X2

,...,X2000N2001,2

。

2

2

21

解.

(1)

记n

2000,ni1ini1ini1i2ini1(x

2001)22000

1(x

2001)2

0,(x

2001)2

,12lnL

n

ln(2)

n

ln

2

d

2

2

2

2

4ˆ2(x

2001)2

],2

2exp[21

1L

得2

2由

d

lnL

n

12000i20001

ˆ2是

2的无偏估计。2E(x

2001)

2

,i1

E(ˆ

2

)

的置信区间为：１２２

(n)２２

(n)ni1

2x

2001

in

i1

,x

20012i得

2的置信度为1

ni1

x

2001

2(2)

由２＝

i

~

2

(n),第

5

章

统计检验一般地，检验问题可叙述为:在显著性水平下，检验假设H0

，

H1其中H0

称为原假设，H1

称为备择假设(备选假设)。假设检验的一般步骤(1)

提出