高数下课件等多个文件

一、偏导数的定义及其计算法x0

x定义

设函数z

f

(

x,

y)

在点(

x0

,

y0

)的某邻域内有定义，将y固定为y0

,在

时,xx0函数有相应的增量(称为关于x的偏增量).

x

z

f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)如果极限lim

x

z

lim

f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)存在,则称此极限为函数z

f

(

x,

y)在点(

x0

,

y0

)处对x的偏导数。2/25记为0z0,

f0,

z,

或fx

(x0

,y0

).y0

yyy00y

yy

x

x0记为z00y

yy

x

x,

f00y,

zy

yx

x

,

或

f

(

x

,

y

).y

0

0同理,可定义函数z

f

(

x,

y)在点(

x0

,

y0

)处对y的偏导数,为lim

y

z

lim

f

(

x0

,

y0

y)

f

(

x0

,

y0

)3/25x

x记作

z

,

f

,

z或

f

(

x,

y).x

x同理,可定义函数z

f

(

x,

y)

对自变量y的偏导函数

(简称偏导数),记作

z

,

f

,

zy

y4/25y

或f

(

x,

y).yz

f

(x,y)对自变量x的偏导函数(简称偏导数),如果函数z

f

(x,y)在区域D内任一点

(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数仍是x、y

的二元函数,它就称为函数f

(

x,

y,

z)

xz偏导数的概念可以推广到二元以上函数如,

u

f

(

x,

y,

z)在(

x,

y,

z)处xlim

f

(

x

x,

y,

z)

f

(

x,

y,

z),x0yf

y

(

x,

y,

z)

lim

f

(

x,

y

y,

z)

f

(

x,

y,

z)

,y0z5/25f

(

x,

y,

z)

lim

f

(

x,

y,

z

z)

f

(

x,

y,

z)

.z0求多元函数的偏导数并不需要新的方法,如求f

x

(x,y),只需将y

看作常量,利用一元函数的求导法对x求导即可.例1.

求

z

xy

(

x

0)

的偏导数.解.xz

yx

y1

,yz

x

y

ln

x求某一点的偏导数时,可将其它变量的值代入,变为一元函数,再求导,常常较简单.6/25解.x1

2

cosln

x2x

[sin

ln

x2

]x1

2f

y

(1,0,2)

0

0y0fz

(1,0,2)

0

z

2

0例2.求f

(x,y,z)

(z

axy

)sin

ln

x2

在点(1,0,2)处的三个偏导数.fx

(1,0,2)

[

f(x,0,2)]

x17/25证.p

RT

p

RT

;V

V V

2V

2V

T

p

p

R

pV偏导数的记号只是一个整体记号,不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商.8/25例3.已知理想气体的状态p为压强,V为体积,T为温度,R为常数,求证:

p

V

T

1V

T

p二、偏导数的几何意义设二元函数z

f

(

x,

y)在点

M0

(

x0

,

y0

)

有M0yz

z

fO偏导数.如图,设M0

(x0

,y0

,f

(x0

,y0

))为曲面

z

f

(

x,

y)

上的一点,过点M0

作平面

y

y0

,

此平面与曲面相交得一曲线,

曲线的

z

f

(

x,

y),0方程为

y

y

.z

f

(

x,

y0

)由于偏导数fx

(x0

,y0

)等于一元函数

f

(x,y0

)的0导数

f

(

x,

y

)0x

x,故由一元函数导数的几何意义0xy09/25x可知:x0TyTxy0z

fyzOz

f

(

x0

,

y)M0偏导数fx

(x0

,y0

)在几何上表示10/250

y

y曲线

z

f

(

x,

y)

在点M0

(x0

,y0

,f

(x0

,y0

))处的切线对x轴的斜率;偏导数f

y

(x0

,y0

)在几何上表示0

x

x0

0

0

0

0曲线

z

f

(

x,

y)

在点

M (

x

,

y

,

f

(

x

,

y

))处的切线对y轴的斜率.z

f

(

x,

y0

)x0xy当(x,y)

(0,0),当(x,y)

(0,0).例4.f

(x,y)

x2

y2求f

(x,y)的偏导数.解.当(x,y)

(0,0)时,fx

(

x,

y)

y

(

x2

y2

)

xy

2

x

y(

y2

x2

)f

y

(

x,

y)

(

x2

y2

)2(

x2

y2

)2

(

x2

y2

)2

,x

(

x2

y2

)

xy

2

yx(

y2

x2

)11/25

.(

x2

y2

)2当(x,y)

(0,0)时,按定义得xx0

xyy0

y注但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的.xx0yf

(0,0)

lim

f

(0,0

y)

f

(0,0)

lim

0

0y00xyf

(

x,

y)

x2

y2当(x,y)

(0,0),当(x,y)

(0,0).求f

(x,y)的偏导数.当(x,y)

(0,0)时,按定义得f

(0,0)

lim

f

(0

x,0)

f

(0,0)

lim

0

0由以上计算可知,

f

(

x,

y)

在点(0,0)处可偏导,12/25三、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导

连续多元函数中在某点偏导数存在连续说明偏导数fx

(x0,y0)存在只能保证当y固定在y0时,作为一元函数f

(x,y0)在x

=x0处连续.偏导数fy

(x0,y0)存在只能保证当x固定在x0时,作为一元函数f

(x0,y)在y

=y0处连续.函数f

(x,y)在(x0,y0)点连续与f

(x,y)在该点的邻域内的所有点的函数值都有关,它要求动点(x,y)以任何方式趋于(x0,y0)时,f

(x,y)的极限都为f

(x0,y0).13/25二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),f

y(x0,y0)存在是f

(x,y)在该点连续的14/25(

).充分条件而非必要条件必要条件而非充分条件充分必要条件既非充分条件又非必要条件D例5.选择题.(

x,

y)yyf

yx

(

x,

y)函数z

f

(

x,

y)的二阶偏导数为x

x

x2

z

2

z

y2

fxx

(

x,

y),

y

y

z

2

z

fxy

fxy

(

x,

y),

y

x

z

2

zx

y

yx

15/25

z

2

z

四、高阶偏导数混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6.求z

x3

y2

xy

的四个二阶偏导数.z2

2解.

3x

y

y,xx2

z2

6

xy2

,y2

2

z

32

x

,

6x2

y

1.2

z

xy

6x

yy2

zyx16/25z

2x3

y

x,22

y0

xx3

y当(x,y)

(0,0),当(x,y)

(0,0).例7.设f

(x,y)

fx

(

x,

y)

f

(

x,

y)

y(

x2

y2

)23

x2

y(

x2

y2

)

x3

y

2

x3

x2

y

2

x4

y2

x3

y217/25x2

y2

(

x2

y2

)2

,x3x2

y2

(

x2

y2

)2

.求fxy

(0,0)和fyx

(0,0).解.当(x,y)

(0,0)时,有8/25xx0

xyy0

yxx0yy0xfyy03

x2

y

2

x4

yfx

(

x,

y)

x2

y2

(

x2

y2

)2fxx0(0,0)

lim

f

y

(0

x,0)

f

y

(0,0)

1.2

x3

y2x3f

y

(

x,

y)

x2

y2

(

x2

y2

)2当(x,y)

(0,0)时,按定义得f

(0,0)

lim

f

(0

x,0)

f

(0,0)

lim

0

0f

(0,0)

lim

f

(0,0

y)

f

(0,0)

lim

0

0022

x

yx3

y设f

(x,y)

当(x,y)

(0,0),求fxy

(0,0)和fxy

(0,0).当(x,y)

(0,0).y(0,0)

lim

fx

(0,0

y)

fx

(0,0)

0,yx多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地,续就与求导次序无关.定理在例6中两个混合二阶偏导数相等,但在例7中两者不相等,这说明混合偏导数与求偏导数的次序有关.导数fxy

(x,y)与f

yx

(x,y)在区域D内连续，那么在该区域内fxy

(

x,

y)

f

yx

(

x,

y).如果函数

z

f

(

x,

y)的两个二阶混合偏19/25多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微分方程.偏微分方程是描述自然现象、反映自然规律的一种重要.例如方程2

z

2

2

zy2

a

x2(a是常数)称为波动方程,

它可各类波的运动.又如方程

y2

0x2

2

z

2

z称为拉

斯(laplace)方程,

它在热传导、流体运动等问题中有着重要的作用.20/25x

x2

y2

,0.

2

z

2

z

x2

y2斯方程:证.因z

lnz

x

x2

(

x2

y2

)22

z

(

x2

y2

)

x

2

x2

,(

x2

y2

)y2

x22x2

y2

1

ln(

x2

y2

),由x,y在函数表达式中的对称性,立即可写出,z

yy

x2

y2

2

z

x2

y2y2

(

x2

y2

)