考点十四导数与函数极值最值

考点十四导数与函数的极值、最值考点十四导数与函数的极值、最值考点十四导数与函数的极值、最值玩转数学优异之路安老师讲堂考点十四导数与函数的极值、最值知识梳理1．函数的极值的定义一般地，设函数f(x)在点x0及邻近有定义，假如对x0邻近的全部的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数的极大值，x0叫做函数的极大值点．假如对x0邻近的全部的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数的极小值，x0叫做函数的极小值点．极大值与极小值统称为函数的极值．极大值点与极小值点统称为极值点．注意：可导函数的极值点一定是导数为

0的点，但导数为

0的点不必定是极值点，即

f′(x)0＝0是可导函数

f(x)在x＝x0处获得极值的必需不充分条件．比如函数

y＝x3在

x＝0处有

y′＝0，但

x＝0不是极值点．2．判断

f(x0)是极大、极小值的方法当函数

f(x)在点

x处连续时，假定0

x知足0

f′(x)＝0，且在0

x的双侧0

f(x)的导数值异号，那么

x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值．假如在x0邻近的左边f′(x)>0，右边f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；假如在x0邻近的左边f′(x)<0，右边f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．3．求可导函数f(x)的极值的步骤确立函数的定义域，求导数f′(x)；求方程f′(x)＝0的根；检查f′(x)在x0双侧的符号①假定f′(x)在x0双侧的符号“左正右负〞，那么x0为极大值点；②假定f′(x)在x0双侧的符号“左负右正〞，那么x0为极小值点；③假定f′(x)在x0双侧的符号同样，那么x0不是极值点．4．函数的最值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．假定函数f(x)在[a，b]上单一递加，那么f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；假定函数f(x)在[a，b]上单一递减，那么f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤以下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．玩转数学优异之路安老师讲堂5．函数的极值与最值的差别与联系极值是个“局部〞观点，而函数最值是个“整体〞观点．函数的极值表示函数在某一点邻近的状况，是在局部对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的状况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不必定是最值，最值也不必定是极值．典例分析题型一利用导数求函数的极值x3－2x2例1函数f(x)＝ex.求f(x)的极大值和极小值．x(x2－5x＋4)－x(x－1)(x－4)分析函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex＝ex，当x变化时，f(x)、f′(x)的符号变化状况以下：xx<0x＝00<x<1x＝11<x<4x＝4x>4f′(x)＋0－0＋0－f(x)极大值极小值极大值321∴f(x)的极大值为f(0)＝0和f(4)＝4，f(x)的极小值为f(1)＝－.exee变式训练设f(x)＝2，此中a为正实数．1＋ax4(1)当a＝3时，求f(x)的极值点；(2)假定f(x)为R上的单一函数，求a的取值范围．分析x1＋ax2－2ax.①对f(x)求导得f′(x)＝e·1＋ax22当a＝4时，假定f′(x)＝0，那么4x2－8x＋3＝0，331解得x1＝，x2＝.联合①，可知22x－∞，111，333，＋∞222222f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以x＝3是极小值点，x＝1是极大值点．1222(2)假定f(x)为R上的单一函数，那么f′(x)在R上不变号，联合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒建立，即＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并联合a>0，知0<a≤1.所以a的取值范围为{a|0<a≤1}．玩转数学优异之路安老师讲堂题型二利用极值求参数例2设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，假定f(x)在x＝1处获得极值，那么a的值为________．1答案－4分析由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且f′(x)＝1－2ax－1＝－2ax2－2a＋1x，1＋x1＋x1由题意得：f′(1)＝0，那么－2a－2a－1＝0，得a＝－，1211xx－1x－x又当a＝－1时，f′(x)＝22＝2，41＋x1＋x0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，所以f(1)是函数f(x)的极小值，所以1a＝－.4变式训练x＝3是函数f(x)＝alnx＋x2－10x的一个极值点，那么实数a＝________．答案12分析f′(x)＝a＋2x－10，由f′(3)＝a＋6－10＝0，得a＝12，经查验知足条件．x3题型三利用导数求函数的最值例3设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.求a，b的值；令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．答案(1)a＝－1，b＝3(2)最大值为0，无最小值分析(1)f′(x)＝1＋2ax＋b(x>0)，x又f(x)过点P(1,0)，且在点P处的切线斜率为2，f1＝0，1＋a＝0，∴即解得a＝－1，b＝3.f′1＝2，1＋2a＋b＝2.由(1)知，f(x)＝x－x2＋3lnx，其定义域为(0，＋∞)，∴g(x)＝2－x－x2＋3lnx，x>0.g′(x)＝－1－2x＋3＝－x－12x＋3.xx0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单一递加，在(1，＋∞)上单一递减．g(x)的最大值为g(1)＝0，g(x)没有最小值．变式训练函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．求函数f(x)的单一区间；玩转数学优异之路安老师讲堂当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．1分析(1)f′(x)＝－a(x>0)，①当a≤0时，f′(x)＝1x－a>0，即函数f(x)的单一增区间为(0，＋∞)．②当a>0时，令f′(x)＝1－a＝0，可得x＝1，xa0<x<1时，f′(x)＝1－ax>0；axx>1时，f′(x)＝1－ax<0，ax故函数f(x)的单一递加区间为11，＋∞.0，a，单一递减区间为a(2)①当1≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2a－2a.②当1≥2，即0<a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.a21111，2③当1<a<2，即2<a<1时，函数f(x)在1，a上是增函数，在a上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，所以当1时，最小值是f(1)＝－a；<a<ln22当ln2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln2－2a.综上可知，0<a<ln2时，函数f(x)的最小值是－a；a≥ln2时，函数f(x)的最小值是ln2－2a.解题重点求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，此中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．当堂练习1．函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象以下列图，那么y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值玩转数学优异之路安老师讲堂C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值答案C分析由f′(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单一递加，在(0,2)上单一递减，∴f(x)在x＝0处获得极大值，同理f(x)在x＝2处获得极小值，故A，B，D均不正确，由f′(x)的图象可知f(x)在(4，＋∞)上单一递减．222．函数f(x)＝(x－1)＋2的极值点是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝1或－1或0D．x＝0答案C分析∵f(x)＝x4－2x2＋3，f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．3.假定函数

y＝ax3＋bx2获得极大值和极小值时的

x的值分别为

0和13，那么(

)A．a－2b＝0

B．2a－b＝0

C．2a＋b＝0

D．a＋2b＝0答案

D分析

y′＝3ax2＋2bx，据题意，

0，13是方程

3ax2＋2bx＝0的两根，2b1∴－＝，∴a＋2b＝0.x)4．函数f(x)＝x，x∈[0,4]的最大值是(e142A．0B.eC.e4D.e2答案B5．假定函数x2＋aa＝________.f(x)＝在x＝1处取极值，那么x＋1答案3分析x2＋2x－af′(x)＝12，由f(x)在x＝1处获得极值知f′(1)＝0，∴a＝3.x＋课后作业一、选择题3x21．函数f(x)＝＋x－3x－4在[0，2]上的最小值是()A．－17B．－10C．－4D．－64333答案A玩转数学优异之路安老师讲堂分析f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103，故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－173.2．函数f(x)＝x3－3x2－6x的极值点的个数是()2A．0B．1C．2D．3答案C分析f′(x)＝3x2－3x－6＝3(x2－x－2)＝3(x－2)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2.易知x＝－1为f(x)的极大值点，x＝2为f(x)的极小值点．故f(x)的极值点有2个．3．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是()A.－9B.－16C.－12D.－11答案B分析由f′(x)＝12-3x2＝0，得x＝-2或x＝2.又f(-3)＝-9，f(-2)＝-16，f(2)＝16，f(3)＝9，∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值为－16.x4．f(x)＝e－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是()1A．1＋e

B．1

C．e＋1

D．e－1答案

D分析

f′(x)＝ex－1，令

f′(x)＝0，得

x＝0.令

f′(x)>0，得

x>0，令

f′(x)<0，得

x<0，那么函数

f(x)(－1,0)上单一递减，在(0,1)上单一递加，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝1e＋2e<1＋2－e<0，所以f(1)>f(－1)．应选D.25．假定商品的年收益y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，那么获取最大收益时的年产量为()A．1百万件B．2百万件C．3百万件D．4百万件答案C分析依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当0<x<3时，y′>0；当x>3时，y′<0因.此，当x＝3时，该商品的年收益最大．6．函数322在x＝1处获得极大值af(x)＝x＋ax＋bx－a－7a10，那么的值为()b222A．－3B．－2C．－2或－3D．2或－3答案A玩转数学优异之路安老师讲堂由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即3＋2a＋b＝0分析，解得1＋a＋b－a2－7a＝10a＝－2a＝－6a＝－6a2b＝1或，经查验知足题意，故＝－.b＝9b＝9b37．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象以下列图，那么下列结论中必定建立的是()A．函数C．函数

f(x)有极大值f(x)有极大值

f(2)和极小值f(2)和极小值

f(1)f(－2)

B．函数D．函数

f(x)有极大值f(x)有极大值

f(－2)和极小值f(－2)和极小值

f(1)f(2)答案

D分析由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此能够获取函数f(x)在x＝－2处获得极大值，在x＝2处获得极小值．8．f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(

)A．－37

B．－29

C．－5

D．以上都不对答案

A分析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上单一递加，在(0,2)上单一递减．∴x＝0为极大值点，也为最大值点．∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值是－37，选A.二、填空题9．函数f(x)＝x3+x2－x+2在[0,2]上的最小值是________．答案4927分析311)＝49，f(2)＝12.可知f′(x)＝3x+2x－1，f′(x)＝0，x∈[0,2]，得x＝.比较f(0)＝2，f(2733最小值为4927.10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，假定该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有以下关系：Q＝8300－170p－p2，那么该商品零售价定为________元时收益最大，收益的最大值为________．答案3023000分析设商场销售该商品所获收益为y元，那么玩转数学优异之路安老师讲堂232，y＝(p－20)Q＝(p－20)(8300－170p－p)＝－p－150p＋11700p－166000(p≥20)y′＝－3p2－300p＋11700.y′＝0得p2＋100p－3900＝0，∴p＝30或p＝－130(舍去)，那么p，y，y′变化关系以下表：∴当p＝30时，y取极大值为23000元．又y＝－p3＋150p2＋11700p－166000在(20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．∴该商品零售价定为每件30元，所获收益最大为23000元．11．假定y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，那么a＝________，b＝________.答案－2－136a分析y′＝x＋2bx＋1.a＋2b＋1＝0，2a＝－3，由a＋4b＋1＝0，解得12b＝－6.三、解答题212．〔2021北京文节选〕设函数f(x)＝x－klnx，k>0.求f(x)的单