【教学课件】环节二 空间向量的数量积运算

空间向量及其运算环节二空间向量的数量积运算平面向量及其线性运算空间向量及其线性运算推广平面向量的数量积运算空间向量的数量积运算类比定义你能类比平面向量的数量积运算，把它推广到空间向量吗？问题1类比定义追问1学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的？夹角数量积的定义运算律应用类比定义追问2什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？类比定义平面向量的夹角

两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做＝a

，

＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π．如果〈a，b〉＝

，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.ba.OαAB类比定义空间向量的夹角

两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，做＝a

，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π.

如果〈a，b〉＝

，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.ba.OαAB类比定义追问3平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？答案：两个非零平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

特别地，零向量与任意向量的数量积为0．

类比定义追问3平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？平面向量的数量积空间向量的数量积

已知非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积（innerproduct），记作a·b

．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．特别地，零向量与任意向量的数量积为0．类比定义平面向量的数量积空间向量的数量积

由向量数量积定义，可以得到：

①

若a，b是非零向量，a⊥b

⇔a·b＝0；

②a·a＝a2＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2

．证明空间中的垂直关系求空间中线段的长度追问3平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？类比定义追问4在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？类比定义平面向量的投影

两个非零向量a，b，＝a，baABA1DCB1＝b，过A和B分别做

所在直线的垂线，垂足分别为A1和B1，得到，称上述变换为向量a向向量b的投影，叫向量a在向量b上的投影向量．类比定义baABA1DCB1ba.ONMM1

＝|a|cos〈a，b〉追问4在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？类比定义ba.Oαac追问4在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？类比定义空间向量的投影向量

将空间向量a，b，平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影得到与向量b共线的向量c，即：

c=|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类比定义平面向量的数量积运算律

①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；

a·b＝b·a（交换律）；

a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）．追问5空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？类比定义平面向量的数量积运算律空间向量的数量积运算律

①(λa)

·b＝λ(a·b)，λ∈R；②

a·b＝b·a（交换律）；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）．追问5空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？类比定义空间向量的数量积运算由平面向量的数量积运算推广而来，与平面向量数量积运算一样，要注意它与向量的线性运算、实数的乘法运算的区别．你能回答以下问题吗？问题2辨析数量积运算追问1由a·b＝0，能得到a＝0或

b＝0吗？不一定！

因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0，

所以|a|＝0或|b|＝0或cos〈a，b〉＝0．即a＝0或b＝0或a⊥b．答案：辨析数量积运算追问2

对于三个均不为零的实数a，b，c，若ab＝ac，则b＝c．对于非零向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？不一定！由a·b=a·c，有a·(b－c)＝0．从而有b＝c或a⊥(b－c

)．答案：辨析数量积运算追问3对于三个均不为零的数a，b，c，若ab＝c，则

或

．那么对于向量a，b，若a·b＝k，能写成

或吗？kk不能！因为没有定义向量的除法运算．

答案：辨析数量积运算追问4

对于三个均不为零的实数a，b，c，有(ab)c＝a(bc)．对于向量a，

b，c，(a·b)c＝a(b·c)成立吗？不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c和a(b·c)分别表示

与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等．向量的数量积运算没有结合律．答案：辨析数量积运算

用空间向量的数量积运算，可以解决空间中的哪些问题？问题3

由于空间向量可以通过平移，转化成共面向量，因此能解决平面向量能解决的问题．答案：数量积运算的应用追问1平面向量的数量积运算可以解决哪些问题？平面向量数量积的应用

（1）求线段长度(距离)：（2）求夹角：（3）证明垂直：数量积运算的应用追问1平面向量的数量积运算可以解决哪些问题？平面向量数量积的应用

（1）求线段长度(距离)：（2）求夹角：（3）证明垂直：把所求线段看成一个向量的模，并用其它已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模；a⊥b

⇔a·b＝0．cos〈a，b〉＝；数量积运算的应用平面向量数量积的应用空间向量数量积的应用

（1）求线段长度(距离)：（2）求夹角：（3）证明垂直：a⊥b

⇔a·b＝0．cos〈a，b〉＝；追问2空间中的这些问题是否也可以用它们解决?

把所求线段看成一个向量的模，并用其他已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模；数量积运算的应用例1如右图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA‘=7，∠BAD=

60°，∠BAA’=

∠DAA‘=

45°，

求：(1)；(2)AC'的长（精确到0.1）．

问题4数量积运算的应用追问1

如何计算？它们的长度，夹角是多少？AB，AD的长度和夹角均已知，AB＝5，AD＝3，∠BAD=

60°．解：(1)答案：数量积运算的应用追问2

为了求AC'的长，应该用哪些向量表示？为什么？如何表示？可以根据已知条件与平行四边形法则，用

来表示，因为它们的模长和夹角均已知，可以进行数量积运算．答案：数量积运算的应用(2)．．数量积运算的应用

用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长，是立体几何中求线段长度的常用向量方法．数量积运算的应用例2如右图，m，n是平面α内的两条相交直线．

如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥平面α．mnlα

问题5

数量积运算的应用追问1

直线和平面垂直的定义是什么？如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l垂直于平面α．mnlα答案：数量积运算的应用追问2

如何用向量方法证明l和平面α内任意一条直线垂直？

mnlα在平面α内任取一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g作为方向向量，由向量共面的充要条件知，g可由m，n的线性组合表示．

由已知l⊥m，l⊥n，通过数量积运算，得到l⊥g，从而l⊥g，从而l⊥平面α．gmgnl答案：数量积运算的应用mnlαgmgnl证明：在平面α内作任意直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g．因为直线m，n相交，所以m，n不共线．因此，存在唯一有序实数对(x，y)，使得g＝xm+yn．因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m，

l⊥n，即l·m＝0，l·n＝0．于是l·g＝l·xn＋l·ym＝xl·n＋yl·m＝0，所以l⊥g