热力学统计物理期末复习考试试题

一.填空题.设一多元复相系有个中相，每相有个k组元，组元之间不起化学反应。此系统平衡时必同时满足条件:Ta=T条件:Ta=TP=...=TQ 、Pa=PP=---=PQ 、Ra二.p=...=rq(i=12,・・・k)iii[.热力学第三定律的两种表述分别叫做：能特斯定律和绝对零度不能达到定律。.假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有4种。则系统可能的微观态数为:。.均匀系的平衡条件是1=%且P=Po；平衡稳定性条件是0卜>0且(器I<°。a=一 a二一^^玻色分布表为 ‘ea+p*-i；费米分布表为 'e『+p"+1；玻耳兹曼分布表为a=3e-a-p^ ―1°。当满足条件e-<<1时，玻色分布和费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。6热力学系统的四个状态量S、V、P、T所满足的麦克斯韦关系为-(»)avap at-(»)avap atasT V, P s, T P, V saT V, P s, T P, V sa a&lnZ7.玻耳兹曼系统粒子配分函数用Z表示，内能统计表达式为u-n卞1广义力统计表达式为iN-aInz1 s=Nk(InZ-P01nZi)-=-P 7T，熵的统计表达式为 1那 ，自由能的统计表达式为F=-NkT1nZ、 1_。.单元开系的内能、自由能、焓和吉布斯函数所满足的全微分是：，，，。.均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程：dU=Tds-pdV+RdndHTdsV"dndG=-sdT+Vdp+pdndF=SdT~pdV+^dn ， ， ，.等温等容条件下系统中发生的自发过程，总是朝着自由能减小方向进行，当自由能减小到极小值时，系统达到平衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝着吉布斯函数减小的方向进行，当吉布斯函数减小到极小侑时，系统达到平衡态。.对于含N个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热容量无贡献；7 「3温度大大于振动特征温度时， 0厂2N—；温度小小于转动特征温度时， °V=2N—。温度大大于转动特征温度而小小于动特征温度时，，zii^—。12.玻耳兹曼系统的特点是：系统由全同可分辨粒子组成:粒子运动状态用量子态来描写:确定每个粒子的量子态即可确定系统的微观态：粒子所处的状态不受泡利不相容原子的约束。113准静态过程是指过程进行中的每一个中间态均可视为平衡态 的过程:无摩擦准静态过程的特点是外界对系综的作用力，可用系统的状态参量表示出来。14.绝热过程是指，系统状态的改变，完全是机械或电磁作用的结果，而没有受到其他任何影响的过程。在绝热过程中，外界对系统所做的功与具体的过程无关，仅由初终两态决定。二.简述题.写出系统处在平衡态的自由能判据。一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即AF>0。.写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即AG>0。.写出系统处在平衡态的熵判据。一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即AS<0.玻尔兹曼关系与熵的统计解释。由波耳兹曼关系S=k«ln。可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。.为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1〜10eV，相应的特征温度为104〜105K。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。.为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？因为双原子分子的振动特征温度0y~103K,在常温或低温下kT<<k9y,振子通过热运动获得能量力①二k0y从而跃迁到激发态的概率极小，因此对热容量的贡献可以忽略。.能量均分定理。对于处在平衡态的经典系统，当系统的温度为T时，粒子能量£的表达式中的每一个独立平方项的平均值为2kT。8等概率原理。对于处在平衡态的孤立系统，系统的各种可能的微观状态出现的概率是相等的。9.系统的基本热力学函数有哪些？什么叫特性函数？什么叫自然参量。基本热力学函数有：物态方程，内能，熵。特性函数：适当选择独立变量，只要知道一个热力学函数就可以求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质确定，这个热力学函数称为特性函数。11试说明，在应用经典理论的能量均分定理求理想气体的热容量时，出现哪些与实验不符的结论或无法解释的问题（至少例举三项）？.最大功原理①系统在等温等容过程中对外所做的功不大于其自由能的减小（-wWFa-Fb）②在等温等压条件下，能够从系统获得的最大体变功等于系统吉布斯函数的减小。.写出能斯特定理的内容凝聚态的熵在等温过程中的改变随绝对温度趋于零.什么是近独立粒子系统粒子之间的相互作用力很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用.单元复相系达到平衡时所满足的相变平衡条件是什么？如果该平衡条件未能满足，变化将朝着怎样的方向进行？相变平衡条件：Ra=RB变化方向：（P82）.写出吉布斯相律的表达式，并说明各物理量的含义。F=k+2-① F:多元复相系的自由度，是多元复相系可以独立改变的强度量变量的数目。k：系统的组元数中：系统的相数.写玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态数统计表达式，并说明它们之间的联系。^二n（①/:a_:）!与分布｛〃，｝相应的，玻色系统微观状态数为__B•E-Q3!；费米系统的微观状态q二n/①！、 q.二nNa!n3"数B.EQad（3厂aJ；玻耳兹曼系统微观状态数为BEM' 。当满足条件经q=q q典近似条件时，三种微观状态数之间的关系为Qb'EQF.DN!Qm・E 。.为什么说，对于一个处在平衡态的孤立系统，可以将粒子的最概然分布视为粒子的平衡态分布？.试说明，在应用经典理论的能量均分定理求固体热容量时，出现哪些与实验不符的结论或无法解释的问题？①.在低温范围内，实验发现固体的热容量随温度降低地很快，当温度趋近绝对零度时，热容量也趋于零②.对于金属的自由电子，如果将能量的均分定理应用于电子，自由电子的热容量与离子振动的热容量将有相同的数量级，实验结果是3k以上的自由电子的热容量与离子振动的热容量相比可以忽略不计。三.选择题1.系统自某一状态A开始，分别经两个不同的过程到达终态B。下面说法正确的是 B（A）在两个过程中吸收的热量相同时，内能的改变就一定相同（B）只有在两个过程中吸热相同且做功也相同时，内能的改变才会相同3（C）经历的过程不同，内能的改变不可能相同（D）上面三种说法都是错误的2.下列各式中不正确的是（dH2.下列各式中不正确的是（dH）(B)1dn)T,V(C)33.吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是（A）温度和体积（A）温度和体积（C）熵和体积（D）孤立的系统（B）温度和压强（D）熵和压强44.费米统计的巨配分函数用已表示，则熵的统计表达式是Coa/i「oa/i「dln己ddln己'(A)S=“1n二-洋—0"07(i「dIn己dd1n己'(C)S—卜11nx.-P"oa/i「dIn己dd1n己)(B)s=N1n^-a——-p--—Ida dPJ(7(i「dIn己dd1n己)(D)s=k1n^+a——+p——、 da dp).自由能作为特性函数应选取的独立态参量是 A.自由能作为特性函数应选取的独立态参量是 A（A）温度和体积B）温度和压强 （C）熵和体积（D）熵和压强.由热力学基本方程dG—-SdT+Vdp可得麦克斯韦关系D(A)(C)居IVI(A)(C)居IVISIIdVJT-国1ds4(B)(D)佟I1dpJs七〕pg)1dsJp-1s,1dpJT.将平衡辐射场视为处在平衡态的光子气体系统，下面说法不正确的是（A）这是一个玻色系统（B）这是一个能量和粒子数守恒的系统（C）系统中光子的分布遵从玻色分布（D）这是一个非定域系统.封闭系统指 C（A）与外界无物质和能量交换的系统（B）能量守衡的系统（C）与外界无物质交换但可能有能量交换的系统.下列系统中适合用玻尔兹曼分布规律处理的系统有 B（A）经典系统（B）满足非简并条件的玻色系统和费米系统

（C）满足弱简并性条件的玻色系统和费米系统（D）非定域体系统.0，和0，分别是双原子分子的振动特征温度和转动特征温度，下面说法正确的是（A）T；>,时，振动自由度完全“解冻”，但转动自由度仍被“冻结”。（B）T>>0:时，转动自由度完全“解冻”，但振动自由度仍被“冻结”（C）T>>,时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”。（D）T>>0:时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”。.气体的非简并条件是 D（A）分子平均动能远远大于kT（B）分子平均距离极大于它的尺度（C）分子数密度远远小于1（D）分子平均距离远大于分子德布罗意波的平均热波长.不考虑粒子自旋，在边长L的正方形区域内运动的二维自由粒子，其中动量的大小处在P〜p+dp范围的粒子可能的量子态数为 B一九L（D）--p2dp

h2-4兀L2 2兀L一九L（D）--p2dp

h2（A）——pdp （B）pdp（C）dph2 h2 h2五.推导与证明1.试用麦克斯韦关系，导出方程1.试用麦克斯韦关系，导出方程TdS=CvdTdV假定CV可视为常量，由此导出理想气体的绝热过程方程TV.1=C（常量）。右."S

解：:心=［而dT+:.TdS=右."S

解：:心=［而dT+:.TdS=T（dS[dT+TV由麦氏关系1dVJtdV=CdT+TVTdS=CdT+TV1dVJtdVdVnRnR一nR绝热过程dS=0，理想气体p=v^TddTdWCVT+nRp-=0积分得CVInT+nRInV=C（常量）•・•C/CV=,nR=C-CV=CJy-1）故：lnTVy-1=C',即：TV卜二C（常量）.证明:

=Q)证明：选T,V为独立变量，则;dG=-SdT+Vdp+日dn\±(aG_)_anap.u-CaG)一n\±(aG_)_anap故勺),n&ipTp,而6)-故勺),n&ipTn.证明焓态方程:证：选T、p作为状态参量时，有而，dHdT+dp(1)dSlatp(as1dT+--dp

lapJ（2）代入（3）得:比较（1）、（4）得:（2）dH=TdS+VdpdH=T|-aS|dT+

latJp（5）（3）dp（4）（6）代入（6），即得代入（6），即得将麦氏关系—1ap(11T.导出含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式:3N力①3N力①CV=3Nk网/T解：按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：£=(n+1/2)%3(n=0,1,2・・・)

则,振子的配分函数为：4=工痔(n"n=则,振子的配分函数为：4=工痔(n"n=0・.・lnZ]=-2P力3—ln（1—e—P%）dInZ 3 3N%3e邛」.・.U=-3N—厂=-N力3+ 那2 1—e-a3方V方 e-P%/2=e-P3/2•乙（e-P3）n= -1—e-p3n=0M[=-W]箓）=3Nk【襄）（epe^VV引入爱因斯坦特征温度eE：%3=keE，即得：CV=3Nk1%jC:")5.导出爱因斯坦固体的熵表达式：S=3Nk上”-ln《-e-pGep力3—1解：设固体系统含有N个原子，按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为:8=%3(n+J),(n=0,1,2，…)乙则，振子的配分函数为：方1 e-之p%3Z=»e-P3（n+2）=e21 1—e-p.3n=0lnz=-lnz=-1p力3-ln（1—e-p%）,1 2盟=-1力3-#-郎2 ep%-1S=3Nk(lnZ-P。1nZ1)=3Nk[即3-ln(1-e-p方3)]1 0P ep1-16.证明，对于一维自由粒子，在长度L内，能量在£〜8+d的范围内，可能的量子态数为D（8）d8=L（2m）1/28-1/2d8。h证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元adp.内的可能的量子态数为驾匕。h因此，在长度L内，动量大小在p〜p+dp范围内粒子的可能的量子态数为2Ldp

h故，在长度L内，能量在故，在长度L内，能量在2〜£+成范围内，可能的量子态数为D(8)d8=L(2m)1/28-1/2d8。

h7.证明:①彦1lapJ,①证明：・・・dH=TdS+VdP,由全微分条件得：7.证明:①彦1lapJ,①证明：・・・dH=TdS+VdP,由全微分条件得：②证明：由dU=TdS-PdV，令dU=0得:P〉0,T〉0 ,Q)〉0avU.导出普朗克黑体辐射公式。Gt);Gv)°Ps解：在体积v内，动量在P〜p+dp范围的光子的量子态数为因为，光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为1*e卬/kT―1「 8方3又 P二二二一cC所以，在体积V内，圆频率在3〜3+d3范围内的光子的量子态数为D(3)d3=8兀V♦力332d3=V•32d3h3c3 兀2c3在此范围内的光子数为Nd3=f•D(3)d3=-V H2—d33 兀2C3e:/kT―1故，在此范围内的辐射能量为:U(T,3)d3二.对于给定系统，若已知力3・Nd3=- 上3—d33 兀2C3e%/kT一1但1=旦，户1=工-把包laTJv-blavJ v-bRv3v P，求此系统的物态方程。解：设物态方程为P=P(T,v)，则dp噜|dT+席Jdvv T(1)・・(0p1dp噜|dT+席Jdvv T(1)・・(0p1=-1l°vJT(0TJ(vv-b和［割)pT 2a(v-b)v-b Rv3代入（2）得(0TJ(v上Tv-bv-b2a(v-b)Rv32aRTv3Q-b»Rr和（3）代入（1）得v-bRRTdp- dT-， rv-b \y-b)2dv+竺dv-d”V3v-bIv-bv2Y，… RTa也积分得：p- --—，即:v-bv2(v-b)=RT11.已知气体系统通常满足经典极限条件且粒子动量和能量准连续变化，采用量子统计方法导出单原子分子理想气体的内能。解：气体系统遵从玻耳兹曼分布，粒子配分函数为Z工3e-%ii=Ze-叱（对所有量子态s求和）当粒子能量准连续变化时，上述对量子态求和可用日空间积分替代。因为，在6维日空间中，x〜x+dx，，p~p+dp，py〜py+dpy,p-p+dp范围内的粒子，其可能的量子态数为—dxdydzdpdpdph3 xyz且，粒子的能量为：£2m(px2+py2+啖。所以Z-f..Je-t(px2+py2+P；)—dxdydzdpdpdp

1 h3 xyz匕』-P-2ge-2mpxdx-gInZ=InV+31n

i 2-21nP由内能的统计表达式U=-N以吗，得:ap3—NkT.证