2017-2018学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷

2017-2018学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2020•广东二模）下列四个城市的地铁标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2019秋•舒兰市期末）抛物线y＝2x2经过平移得到y＝2（x+1）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位3．（3分）（自贡）下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼4．（3分）（2017秋•越秀区期末）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0有一个根为1，则另一个根是（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．35．（3分）（莆田）如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55° B．70° C．125° D．145°6．（3分）（2017秋•越秀区期末）如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（）A．4 B．5 C．20 D．3.27．（3分）（2017秋•越秀区期末）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5，下列结论正确的是（）A．其图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣1 C．函数的最大值为5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大8．（3分）（2019•安徽一模）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≠0 D．a＜1且a≠09．（3分）（2017秋•越秀区期末）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（，0），则n的值是（）A．8 B．9 C．10 D．1110．（3分）（2017秋•越秀区期末）⊙O是△ABC的内切圆，∠C＝90°，AB＝10，⊙O的内接正六边形DGHIJK的边长为2．则△ABC的面积是（）A．24 B．48 C．20 D．18二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2017秋•越秀区期末）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于坐标原点O，点A的坐标为（，1），则点C的坐标是．12．（3分）（2017秋•越秀区期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数501002004008001000“射中9环以上”的次数3882157317640801“射中9环以上”的频率0.7600.8200.7850.7930.8000.801根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是．（结果保留小数点后一位）13．（3分）（长宁区一模）抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为．14．（3分）（2017秋•越秀区期末）圆锥的底面半径是1，高是，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是．15．（3分）（2017秋•越秀区期末）已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≤﹣8）的两根，则矩形的面积是．16．（3分）（2017秋•越秀区期末）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为yx2﹣3x﹣8，AB为半圆的直径，点M为半圆的圆心，点P为x轴正半轴上的一点，若△COP∽△CPD，则点P的坐标是．三、解答题（本大题有9小题，满分102分）17．（9分）（东西湖区校级模拟）解方程：x2﹣1＝2（x+1）．18．（9分）（2017秋•越秀区期末）如图在7×7的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1BC1；（2）求出旋转过程中，线段BA扫过的图形的面积（结果保留π）．19．（10分）（2017秋•越秀区期末）一个不透明的口袋中有2个红球和2个白球，这四个小球除颜色外无其他差别．（1）从中随机摸取一个小球，这个小球的颜色为红色的概率是多少？（2）从中随机同时摸取两个小球，这两个小球颜色相同的概率是多少？试用列表或画树状图说明．20．（10分）（2017秋•越秀区期末）如图，已知平行四边形ABCD，点E是边AB的延长线上一点，DE与BC交于点F，BEAB．（1）求证：△ADE∽△CFD；（2）若△BEF的面积为1，求四边形ABFD的面积．21．（12分）（2019春•乐陵市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？22．（12分）（2017秋•越秀区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径．23．（12分）（2017秋•越秀区期末）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，A（2，0），该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）求点B的坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一点，若P关于原点的对称点P′也落在该抛物线上，求m的值；（3）若当x≤0时，y≥﹣6，试求该抛物线的解析式．24．（14分）（2017秋•越秀区期末）如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4）．且经过点N（2，3）．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．抛物线的对称轴与x轴交于点E，点P在对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）直线CM与x轴交于点D，若∠DME＝∠APE，求点P的坐标；（3）请探索：是否存在这样的点P，使∠ANB＝2∠APE？若存在，求出点P的坐标；若不存在；请说明理由．25．（14分）（2017秋•越秀区期末）如图，在直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（5，3）．点P（x，0）为x轴正半轴上的一个动点，以BP为直径作圆Q交x轴于点C，圆Q与直线AC交于点D，连接PD，BD，过点P作PE∥BD交圆Q于点E，连接BE．（1）求证：四边形BDPE是矩形；（2）设矩形BDPE的面积为S．试求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围．并判断S是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由；（3）当0≤x≤5时，求点E移动路线的长．

2017-2018学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2020•广东二模）下列四个城市的地铁标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）（2019秋•舒兰市期末）抛物线y＝2x2经过平移得到y＝2（x+1）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位A【分析】直接利用二次函数平移规律进而得出答案．解：抛物线y＝2x2经过平移得到y＝2（x+1）2，则这个平移过程是向左平移1个单位．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．3．（3分）（自贡）下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼B【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．解：水涨船高是必然事件，A不正确；守株待兔是随机事件，B正确；水中捞月是不可能事件，C不正确缘木求鱼是不可能事件，D不正确；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（3分）（2017秋•越秀区期末）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0有一个根为1，则另一个根是（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和即可求出另一根．解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系得1+x1＝3，解得：x1＝2．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1•x2．5．（3分）（莆田）如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55° B．70° C．125° D．145°C【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，然后求出∠BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角∠BAB1即为旋转角．解：∵∠B＝35°，∠C＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°，∴旋转角等于125°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确对应边的夹角即为旋转角是解题的关键．6．（3分）（2017秋•越秀区期末）如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（）A．4 B．5 C．20 D．3.2B【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边的比值相等，进而得出答案．解：∵△ADE∽△ACB，∴，∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，∴，解得：AE＝5．故选：B．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出比例式是解题关键．7．（3分）（2017秋•越秀区期末）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5，下列结论正确的是（）A．其图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣1 C．函数的最大值为5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大D【分析】利用二次函数的性质对用顶点式表示的二次函数进行分析后即可得到答案．解：y＝3（x﹣1）2+5中，∵a＝3＞0，∴图象开口向上，故A错误；对称轴为：x＝1，故B错误；函数有最小值为5，故C错误；当x＞1时，y随x的增大而增大，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记其用顶点式表示的二次函数的性质是解决本题的关键．8．（3分）（2019•安徽一模）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≠0 D．a＜1且a≠0D【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△＝22﹣4a＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．解：根据题意得a≠0且△＝22﹣4a＞0，所以a＜1且a≠0．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．9．（3分）（2017秋•越秀区期末）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（，0），则n的值是（）A．8 B．9 C．10 D．11D【分析】根据等边三角形的性质求出点A的坐标，根据位似变换的性质总结规律，代入计算即可．解：∵△OAB是等边三角形，边长为8，∴点A的坐标为（8，0），由位似变换的性质可知，点A1的坐标为（8，0），即（4，0），点A2的坐标为（8，0），即（2，0），由题意得，8，解得，n＝11，故选：D．【点评】本题考查的是位似变换，掌握等边三角形的性质、位似变换的性质是解题的关键．10．（3分）（2017秋•越秀区期末）⊙O是△ABC的内切圆，∠C＝90°，AB＝10，⊙O的内接正六边形DGHIJK的边长为2．则△ABC的面积是（）A．24 B．48 C．20 D．18A【分析】根据S△ABC•r•（AB+BC+AC），只要求出AB+BC+AC即可．解：连接OD、OE．则四边形CDOE是正方形，∴CD＝CE＝OD＝OE＝2，∵⊙O是△ABC的内切圆，D、F、E是切点，∴AD＝AF，BF＝BE，CD＝CE，∴AB+AC+BC＝2AF+2BF+2CD＝2（AB+CD）＝24，∴S△ABC•r•（AB+BC+AC）2×24＝24，故选：A．【点评】本题考查正多边形与与圆、三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，记住三角形的面积公式S△ABC•r•（AB+BC+AC）．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2017秋•越秀区期末）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于坐标原点O，点A的坐标为（，1），则点C的坐标是（，﹣1）．见试题解答内容【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可知点A、C关于点O对称，再根据关于原点中心对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数解答．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于坐标原点O，∴点A、C关于原点O对称，∵点A的坐标为（，1），∴点C的坐标为（，﹣1）．故（，﹣1）．【点评】本题考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，关于原点对称的点的坐标特征，比较简单．12．（3分）（2017秋•越秀区期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数501002004008001000“射中9环以上”的次数3882157317640801“射中9环以上”的频率0.7600.8200.7850.7930.8000.801根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．（结果保留小数点后一位）见试题解答内容【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．故0.8．【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．13．（3分）（长宁区一模）抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1）．见试题解答内容【分析】利用公式法求顶点坐标．解：∵2，1，∴顶点坐标是（2，﹣1）．【点评】公式法：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为，对称轴是x．14．（3分）（2017秋•越秀区期末）圆锥的底面半径是1，高是，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是180°．见试题解答内容【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为2，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a＝2，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，根据题意得2π•1，解得n＝180，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为180°．故答案为180°．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15．（3分）（2017秋•越秀区期末）已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≤﹣8）的两根，则矩形的面积是4．见试题解答内容【分析】不妨设矩形的长和宽分别为a、b，由根与系数的关系可求得ab的值，即可求得答案．解：不妨设矩形的长和宽分别为a、b，∵矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≤﹣8）的两根，∴ab4，即矩形的面积是4，故4．【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．16．（3分）（2017秋•越秀区期末）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为yx2﹣3x﹣8，AB为半圆的直径，点M为半圆的圆心，点P为x轴正半轴上的一点，若△COP∽△CPD，则点P的坐标是（4，0）．见试题解答内容【分析】连接CM，依据抛物线的解析式为yx2﹣3x﹣8，即可得到AB＝10，OD＝8，依据△COP∽△CPD，可得∠COP＝∠CPD＝90°，依据射影定理，即可得到OP2＝CO×OD，进而得出OP的长，可得点P的坐标．解：如图所示，连接CM，令y＝0，则x2﹣3x﹣8＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，∴AO＝2，BO＝8，∴AB＝10，CM＝5，OM＝3，∴Rt△COM中，OC＝4，令x＝0，则y＝﹣8，∴OD＝8，若△COP∽△CPD，则∠COP＝∠CPD＝90°，又∵OP⊥CD，∴OP2＝CO×OD，即OP4，又∵点P为x轴正半轴上的一点，∴点P的坐标为（4，0），故（4，0）．【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、射影定理的综合运用，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．三、解答题（本大题有9小题，满分102分）17．（9分）（东西湖区校级模拟）解方程：x2﹣1＝2（x+1）．见试题解答内容【分析】首先把x2﹣1化为（x+1）（x﹣1），然后提取公因式（x+1），进而求出方程的解．解：∵x2﹣1＝2（x+1），∴（x+1）（x﹣1）＝2（x+1），∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是提取公因式（x+1），此题难度不大．18．（9分）（2017秋•越秀区期末）如图在7×7的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1BC1；（2）求出旋转过程中，线段BA扫过的图形的面积（结果保留π）．见试题解答内容【分析】（1）分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°所得对应点，再顺次连接可得；（2）根据扇形的面积公式计算可得．解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求；（2）在旋转过程中，线段BA扫过的图形的扇形ABA1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则AB，所以扇形ABA1的面积为π．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转的性质作出变换后的对应点及扇形的面积公式．19．（10分）（2017秋•越秀区期末）一个不透明的口袋中有2个红球和2个白球，这四个小球除颜色外无其他差别．（1）从中随机摸取一个小球，这个小球的颜色为红色的概率是多少？（2）从中随机同时摸取两个小球，这两个小球颜色相同的概率是多少？试用列表或画树状图说明．见试题解答内容【分析】（1）用红球的个数除以布袋中球的总数即可；（2）列举出所有可能出现的情况，让摸到颜色相同的情况数除以情况总数即可解答．解：（1）摸到红球的概率．（2）如图所示：红1红2白1白2红1红红红白红白红2红红红白红白白1白红白红白白白2白红白红白白共有12种可能，颜色相同的有4种，∴这两个小球颜色相同的概率是．【点评】本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．20．（10分）（2017秋•越秀区期末）如图，已知平行四边形ABCD，点E是边AB的延长线上一点，DE与BC交于点F，BEAB．（1）求证：△ADE∽△CFD；（2）若△BEF的面积为1，求四边形ABFD的面积．见试题解答内容【分析】（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，平行四边形对角相等可得∠A＝∠C，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE＝∠CFD，然后根据两角对应相等，两三角形相似证明即可；（2）求出BEAE，再求出△ADE和△BFE相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出S△ADE，然后根据S四边形ABFD＝S△ADE﹣S△BFE计算即可得解．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠ADE＝∠CFD，在△ADE和△CFD中，，∴△ADE∽△CFD；（2）解：∵BEAB，∴BEAE，∵AD∥BC，∴△ADE∽△BFE，∴（）2，∵△BEF的面积为1，∴S△ADE＝9，∴S四边形ABFD＝S△ADE﹣S△BFE＝9﹣1＝8．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．21．（12分）（2019春•乐陵市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？见试题解答内容【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，整理，得：x2+2x﹣80＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染8个人．（2）81+81×8＝729（人）．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．22．（12分）（2017秋•越秀区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径．见试题解答内容【分析】（1）根据圆周角定理可知AE是△ADE的外接圆的直径，所以作AE的垂直平分线，交AE于点O，以O为圆心以OA为半径画圆即可；（2）根据连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO＝∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD＝∠DAO＝∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C＝90°即可得出∠ODB＝90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；（2）设OD＝r，根据勾股定理列方程可得r值．（1）解：如图1所示，⊙O即为所求；（2）证明：如图2，连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（3）解：设⊙O的半径为r，∵DF⊥AE，∴DF＝GFDG＝4，在Rt△ODF中，∠OFD＝90°，OD＝r，OF＝r﹣2，DF＝4，∴r2＝（r﹣2）2+42，r＝5，∴⊙O的半径为5．【点评】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用平行线的性质找出OD⊥BC；（2）利用垂径定理求DF的长，构建方程求出⊙O的半径．23．（12分）（2017秋•越秀区期末）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，A（2，0），该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）求点B的坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一点，若P关于原点的对称点P′也落在该抛物线上，求m的值；（3）若当x≤0时，y≥﹣6，试求该抛物线的解析式．见试题解答内容【分析】（1）根据A、B两点关于对称轴对称即可解决问题；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式（用a表示），再把P′坐标代入抛物线的解析式即可解决问题；（3）判断出抛物线的顶点坐标，即可解决问题；解：（1）∵A、B为抛物线与x轴的交点，A（2，0），对称轴x＝﹣1，∴B（﹣4，0），（2）由题意：，解得b＝2a，c＝﹣8a，∴抛物线的解析式为y＝ax2+2ax﹣8a，∴P（m，am2+2am﹣8a）的对称点P′（﹣m，﹣am2﹣2am+8a），把P′（﹣m，﹣am2﹣2am+8a）代入y＝ax2+2ax﹣8a得到：﹣am2﹣2am+8a＝am2﹣2am﹣8a，解得m＝±2．（3）∵当x≤0时，y≥﹣6，∴抛物线开口向上，∵x＝﹣1＜0，∴x＝﹣1时，y取最小值﹣6，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，﹣6），把（﹣1，﹣6）代入y＝ax2+2ax﹣8a得到：﹣6＝a﹣2a﹣8a，∴a，∴抛物线的解析式为yx2x．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．24．（14分）（2017秋•越秀区期末）如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4）．且经过点N（2，3）．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．抛物线的对称轴与x轴交于点E，点P在对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）直线CM与x轴交于点D，若∠DME＝∠APE，求点P的坐标；（3）请探索：是否存在这样的点P，使∠ANB＝2∠APE？若存在，求出点P的坐标；若不存在；请说明理由．见试题解答内容【分析】（1）设抛物线为y＝a（x﹣1）2+4，将点（2，3）代入即可解决问题．（2）先用待定系数法求出直线CM的解析式，进而得出点D坐标，再判断出△DEM∽△AEP，即可建立方程求解；（3）分两种情况讨论，当点P在x轴上方时，先判断出点A，B，N，P四点共圆，得出PF＝AF＝NF，即可得出结论，当点P在x轴下方时，利用对称即可得出结论．解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣1）2+4，将点（2，3）代入得到a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，∴y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1，令y＝0，则﹣（x﹣1）2+4＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，3），M（1，4），∴直线CM的解析式为y＝x+3，令y＝0，则x+3＝0，∴x＝﹣3，∴D（﹣3，0），∵∠DEM＝∠AEP＝90°，∠DME＝∠APE，∴△DEM∽△AEP，∴，∵A（﹣1，0），E（1，0），D（﹣3，0），M（1，4），∴DE＝4，ME＝4，AE＝2，∴，∴PE＝2，∴P（1，2）或（1，﹣2）；（3）如图2，当点P在x轴上方时，连接BP，∵PE是抛物线的对称轴，∴∠APE