概率论与数理统计-独家课件6.第六章

现在转入课程的第二部分数理统计数理统计的特点是应用面广，分支较多,社会的发展不断向统计提出新的问题。从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、

、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作。但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导

出

这些数据范围之外的推断。到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科.数理统计学是一门应用性很强的学科.它是研究怎样以有效的方式收集、整理和分析带有随机性的数据，以便对所的问题作出推断和，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议.计算机的诞生与发展，为数据处理提供了强有力的技术支持，数理统计与计算机的结合是必然的发展趋势.学习统计无须把过多时间花在计算上，可以更有效地把时间用在基本概念、方法原理的正确理解上.

国内外著名的统计软件包：

SAS，SPSS，STAT等，都可以让你快速、简便地进行数据处理和分析.概率论与数理统计是两个有密切联系的学科,它们都以随机现象的统计规律为研究对象.但在研究问题的方法上有很大区别：概率论

——

已知随

量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用;数理统计——通过对试验数据的统计分析,寻找所服从的分布和数字特征,从而推断总体的规律性.数理统计的问题——由样本推断总体第一节随机样本和样本分布函数一、总体与二、随机样本的定义三、样本分布函数的定义四、小结总体一个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为总体()，总体中每个对象称为.研究某批灯泡的质量总体国产轿车的质量该批灯泡的全体就是总体灯泡的每公里的耗油量所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个具有的数量指标的全体就是总体.称总体中所含的数目为总体容量,总体容量有限的称为有限总体,总体容量无限的称为无限总体.一、总体与可见,

X的概率分布反映了总体中各个值的分布情况.

很自然地,就用随

量X

来表示所 的总体.X

的分布函数和数字特征就是总体的分布函数和数字特征.今后不必区分总体和其相应的随

量.

并常用随 量的记号或用其分布函数表示总体.

比如说

总体X

或

总体

F(x).也就是说，总体可以用一个随

量

X

或其分布来描述.设该大学一年级学生的分布如下.5

0.3

0.1

0.07

0.03若从该大学一年级学生中任意 学生的

，所得结果为一随 量，记作X

.X

的概率分布是：某大学一年级学生的某大学一年级全体学生的 构成问题的总体X概率那么,

此总体就可用描述其函数F

(x)表示.再如,

若研究某地区中学生的营养状况时,

关心的数量指标是身高和体重，用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随

量(X,Y)

或其联合分布函数F

(x,

y)来表示.总体概念的要旨:

总体就是一个随

量或一个概率分布！如研究某批灯泡的时,

关心的数量指标就是

,的随

量X

或用其分

布为推断总体分布及各种特征,按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验以获得有关总体的信息.

这一抽取过程称为抽样,

所抽取的部分 称为样本.

样本中包含的 数目称为样本容量.从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验抽到哪5

辆是随机的！样本是随

量容量为n

的样本可以看作n

维随 量(

X1,

X2,

…,

Xn

).但是，一旦取定一组样本，得到的是n

个具体的数x1,x2,…,xn

,称为样本(X1,X2,…,Xn

)的一组观测值，简称样本值.样本容量为5二、随机样本的定义独立性：

X1,

X2,

…,

Xn

是相互独立的随

量;代表性：

Xi

(i

=1,2,…,n)

与所 的总体

X

同分布.由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体同分布的

n

个相互独立的随

量X1,

X2,

…,

Xn表示.抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.最常用的一种抽样方法叫作简单随机抽样,它要求抽取的样本X1,

X2,

…,

Xn

满足下面两点:简单随机样本是应用中最常见的情形,今后,说到“X1,…,Xn

是来自某总体的样本”时,就指简单随机样本.若总体X

的分布函数为F(x),则其简单随机样本的联合分布函数为ni

1若总体X

的概率密度为f

(x),则其简单随机样本的联合概率密度为.*ni11

n

f

(

x

,,

x

)

F＊(

x1,

x2,

…,

xn

)=

F(x1)F(x2)…F(xn)

F

(

xi

).if

(

x

)是,(,来自总体的样本,求样本,(概率密度.2121例1布设总体X

服从参数为

)0的(指数分解总体X

的概率密度为x

0,

0,

x

0,f

(

x)

ex

,有相同的分布,因为

21

,,所以(n

)的概率密度为n

12ni

1n

(,,(),)ff

x

ni其他.x

0,0,n

xii

1X1

X

2

,(,

Xn

的分布律.),例2

设总体X

服从两点分布B

1,(p),

其中

p

1,0解总体X

的分布律为P{

X

i}

pi

(1

p)1i因为

21

,,

互独立,(i

0,

1)的分布律为且与X

有相同的分布,所以X12

(X,,),

2211

P{

X1

x1

}P{

X2

x2

}

P{

Xn

xn

}n

nn

xii

1

xi

pi

1(1

p)中取{值0,1.}其中x1

,x2

,,集合三、经验（样本）分布函数经验分布函数的做法如下:中不大设

21,,,

n是总体F

个样本,用(S)

(x

x

的个数,于定义经验分布函数Fn

(x)为nF

(

x)

1

S(

x), (

x

)n实例1设总体F

具有一个样本值1,2,3,3F

(x)的观察值为则经验分布函数1,3120,

x

1,,

1

x

2,3, 2

x

3,x

3.F

(

x)

3实例2

设总体F

具有一个样本值

1,

1,

2,则经验分布函数F3

(x)的观察值为0,

x

1,21

x

2,1,

x

2.F3

(

x)

3

,一般地，设n

是总体F

的一个容量为n

样本值,自小到大的次序排列,(n)

,先将x1

,x2

,,并重新

,(

k

1)

,1,

x

x(

n)

.则经验分布函数Fn

(x)的观察值为0,

x

x(1)

,kFn

(

x)

n

,0

Fn

(

x)

1Fn

(x)是非减函数；Fn

()

0,

Fn

()

1易知样本分布函数Fn

(x)具有下列性质：样本分布函数Fn

(x)的图形

xX}的{P

概率；经验分布函数是事件

xX}{的频率.根据

大数定理可知，当n

时，

对于任意的整数ε,

有对于任意的实数x,总体分布函数()xF是事件nlim

((1.)xεF)

xFPn对于任一实数x,当n

时,Fn

(x)以概率1一致收敛于分布函数F

(x),即

P

lim

sup

F

(

x)

F

(

x)

0

1.nn

x

对于任一实数x当n

充分大时,经验分布函数的任一个观察值Fn

(x)与总体分布函数F

(