1.抽屉原理-8题库版

8-28-2教学目知识点一、知识点介抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家雷首先明确提出来并用来证明一些数论中二、抽屉原理的定n＋1n＋1n三、抽屉原理的解题方苹果÷抽屉＝ n（1） n余数＝x

，结论：至少有（商＋1）余数 知识精模块一、利用抽屉原理公式解（一、直接利用公式进行解求结1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进2利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，65 1，112（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有12【巩固】把9条任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数、语文、地理四科作业试说明：这5名学【解析】将5名学生看作5个苹果将数、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉由抽屉2【巩固】年级一班学小组有13人．教数学的老师说“这个小组至少有2个人在同一月过生”与月份有关．知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个【巩固】数学小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样【解析】属相共12个，把12个属相作为12个“抽屉13【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生【解析】一年最多有366天，把366天看作366367名学生看作367个苹果放进3662名同学的生【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同【解析】五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中被涂上相同的颜色．也可以把五种颜色作为52向阳小学有730问：至少有几个学生的生日是同一【解析】3663667307307303661364，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天．【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同【解析】将一年中的366天或365天视为366个或365个抽屉，400个人看作400个苹果，从最情况考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有35个或34个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，【例3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是2男1女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游【解析】假设共有n个小朋友到公园游玩把他们看作n“苹果再把每个小朋友遇到的熟人数nn02n10n1n．下面两种情况来：n1种可能：0，1，2，…n2n个小朋友)n1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相2，3，……，n1n个小朋友)仍然超过“抽屉”数(n1种熟人数目)，根据总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目【巩固】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，120192【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除【解析】因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．余数的这三种情形看成是三“抽屉一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然放入三个抽屉至少有一个抽屉里放了不止一个数也就是说至少有两个数除以3的余数相（【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由【解析】想，不同的自然数被3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差7的倍数【解析】a、b，m的余数相同，那abm82除以7的余数相同.可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、56分成七类.也就是7个抽屉.任取877【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数【解析】555655【巩固】（第八届《小数报》数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字1的为第1类，个位数字是229的为9类，个位数字是010类（1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？（2）意取7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请煎药说明【解析】（1）1、2、3、4、5、10610（2）192837464510167410【巩固】证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相【解析】两位数除以11的余数有11种：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，1011．121121111．1111，22……7】11个数，其中必有6个数，它们的和6的倍数【解析】11个数为a1a2a3a115a1a2a3a4a5中必有33a1a2a33k1a4a5a6a7a833a4a5a63k2a7a8a9a10a1133a7a8a93k3．又在k1k2k3k1k2的奇偶性相同，那么3k13k2是6a1a2a3a4a5a6的和是6的倍数．【巩固】在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3【解析】至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数3除的余数分别为0，1，2．因此这三个数之和能被3整除．综上所述，在任意的五个自然数中其中必有三个数的和是3的倍数【解析】2008a1a2a3a2008，第1个数为a1；2a1a23a1a2a3前2008个数的和为a1a2 a2008的倍数，那么它们除以2008的余数只能为1，2，……，2007之一，根据抽屉原理，必有两个【巩固】20道复习题，在两周内做完，每天至少做一道题．证明：一定在连续的若干天内恰好做了7道题目．【解析】设第1a12a23a314a14a1420，而a1～a13都小于20a1a2a3a14a17a27a37a14728a37，……，a147也互不相等，因而这两个相等的数只能一个一组，另一个在后一组中，ajai7ajai7．这表明从第i1天到第j天，7道题．9求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数1996的倍数【解析】1996449911499500：1，11，111，……，111……1（5001．用499500500a1a2a3a5000，1，2，…，49849911…100…0499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是4994，41996【巩固】任意给定一个正整数n，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完07组成的数【解析】n1个数：7，77，777，…777777n1n n11，2，……，n1中之一，共n种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以n的余数相同，不妨设为 7和 7(pq)，那么 7 7 0是n的倍数，所以n乘以适p q

p q

p p) q【例10】求证对于8个自然数一定能从中找6a，b，c，d，e，f，使得(ab)(cd)(ef105的倍数【解析】1053578273【巩固】任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使105【解析】根据上一题的提示可以写出下列数字谜(ab)(cd)(ef)使其结果为105的倍数，那么717273477【巩固】（2008年中国小学数学竞赛决赛（一）在100卡片上不重复地编上1~100，至少要随意抽出几卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除？【解析】12223，因为3的倍数有10033个，所以不是3的倍数的数一共有1003367（个取这67个数无法保证乘积是3的倍数，但是如果抽取68个数，则必定存在一个数是3因为奇数只有50个，所以抽取的偶数至少有184积是12的倍数。于是最少要抽取68个数（即：68卡片）才可以保证结果11】1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小17．【解析】1)把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为a1、a2、a3、…、a10．相邻的三个数为一a1a2a3a2a3a4a3a4a5a9a10a1a10a1a2共10组．a1a2a3+a2

2101a101a10之外，把a1、a2、a3、…、a9a1a2a3a4a5a6a7a8a9a1a2a3+a4a5a6

,1999（每一点只标一个数，不同的点标上不的数．证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于【解析】a1a2a3、…、a2000．相邻的三个数为一组，a1a2a3a2a3a4a3a4a5a1999a2000a1a2000a1a2共2000组．这2000a1a2a35997000 20001000，根据抽屉原理，这两千组数中至少有一组数的和不小于【例12】证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认【解析】666A，A533B、C、DB、C之间的线段是红色，那A、B、C3B、C、D三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样B、C、D3点组成蓝色三角形，也符合条件．所以结论成立．【巩固】平面上给定63一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边．【巩固】问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？【解析】6AA53不妨设有3B、C、D，那么这三点中只要有两点比如B、C之间的线段是红色，那么A、B、C3B、C、D三点之间的B、CD3点组成蓝色三角形，也符合条件．所以结论【巩固】平面上有7个三角形．证明：一定有一个三角形三边的颜色相同．【解析】17AA161666A66113【例13】上体育21名男女学生排成3行7列的队形老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是?如果能，请说明理由如果不能，请举出实例．【解析】因为只有男生或两种情况所以第1行的7个位置中至少有4个位置同为了确定起见4424三行的前3个位置中至少有2个位置是同学生当是2名男生时与第一行构成一个四角同性出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生同．问题得证．【例14】8个学生解8(1)若每道题至少被5过两个学生中的一个解出．(2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)构造一个例子说明这点.【解析】（1）858=408555为A，以下4种可能：第一种可能：若A只解出5道题，则另3道题应由其他7个人解出，而335=15733(15=2每道题至少被A、B两名同学中解出．A6272题目至少被A、C学生中一人解出．A7DA、D第四种可能：若A解出8道题目，则随意找一名学生，记为E，那么，每道题目至少被A、(2)类似问题(1)中的想法，题目共被解出84=32次，可以使每名学生都解出4由于16=2×7+2，可以使每名同学解出题目不超过3道，这样就无法找到两名学生，使每道题【巩固】试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案．一群学生参加考试，结果是中任何3人，都有一个题目的答案互不相同．问参加考试的学生最多有多少【解析】AA1A2，第三题筛人只有两种答案．由于A4是A3人做第四题后筛选取出的人数，则由抽屉原则知，AA3A

A3A=3，A34，4

屉(三种答案)，那么必然有两个抽屉(两种答案)中至少放有

A2个苹果(即AAA2A=4，A至少为5，即5AA1A

A至少为7，即做完第一道题必然有7AA0A=7A 况如下表所示(汉字表示题号，数字表示学生)．故参加考试的学生最多有9人．求抽【例15】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔10只小兔放进1019个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两16】125分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至4书，那么，这个班最多有【解析】本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和”情况的结合，的情况是只有1个人分4本书，而其他同学都只分到3本书，则12543401，因此这个班最多有：40141(人)(处理余数很关键，如果有42人则不能保证至少有一个人分到4本书)．【巩固】某次选拔考试，共有1123名同学参加，说“至少有10名同学来自同一个学校”如果他【解析】本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和”情况的结合，的情况是只有10个同学来自同一个学校，而其他学校都只有9名同学参加，则112310912361231124个学校(处理余数很关键，如果有125个学校则不能保证至少有10名同学来自同一【巩固】100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12求这个数.100个按每个学生分苹果不多于11个（即少于12个）苹果，最少也要分10人119×11＜100，912（11）【解析】16888444234÷2=224求苹18】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到【解析】把50名小朋友当作5050屉中有两本书，根据抽屉原理，书的数目必须大于50，而大于50的最小整数是50151至少要拿51【巩固】班上有8名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？【解析】老师至少拿29本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书【巩固】有10只鸽保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽有几只鸽子【解析】有10只鸽笼，每个笼子住1只鸽子，一共就是10只．要保证至少有122上的鸽子．那么至少需要11只鸽子，这多出的1只鸽子会住在这1012只鸽子．所以至少需要11【巩固】三年级二班有43名同学，班上的“角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以【解析】4343个抽屉，根据抽屉原理，要使至少有一个抽屉里有两个苹果，那么就要使苹果的个数大于抽屉的数量．因此“角”至少要准备44本课外书．【例19】海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米到150厘米之间（包括140厘米150厘米，那么，至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高【解析】24在140厘米至150厘米之间（包括140厘米到150厘米）共有11个整厘米数，把这11个整厘米数看作113113334【例20】一次数学竞赛出10选择题，评分标准为：基础10每道题答3答错扣1分不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛343×（41-3）+1=115【巩固】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少人参这次测验，才能保证至少有3人得得分相同【解析】5000～501244749（人）3（二、构造抽屉利用公式进行解【例21】在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什么吗？【解析】从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面6种把6种搭配方式当作67个小朋友当作7【巩固】在一只口袋中有红色与黄色球各4只，现有4个小朋友，每人从口袋中任意取出2个小球，请【巩固】篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？（种．将这10种搭配作为1011个小朋友才能保证有两个小【巩固】学校里买来数两类课外读物若干本规定每位同学可以借阅其中两本现有4位小朋前来借阅每人都借了2本请问你能保证他们之中至少有两人借阅的属于同一种吗【解析】242本同样的书．【巩固】11名学生到老师家借书，老师的书有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同10101111【巩固】买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？【解析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下6组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马【巩固】6最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？足排、足篮、排篮共9种情况，即有9个抽屉，则：6697 3，718，即至少有8名同【巩固】买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【解析】根据题意列下表有3个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟42件3种66件2个3人，要保证有相同的所以至少要有3142件488件2个4人，要保证有相同的所以至少要有4154种东西任选两种的选择有几种．可以简单跟学生讲一下简单乘法原理的思【巩固】篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？（种．将这10种搭配作为1011个小朋友才能保证有两个小列第四列列第一行第二行【解析】用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形红红蓝红红红蓝红红蓝蓝蓝（，【解析】这道题是例题的拓展提高，通过列举发现给这些方格涂色，要使每列的颜色不同，最多有红蓝黄红黄蓝红蓝黄红黄蓝蓝红黄蓝黄红黄红蓝黄蓝红24】2、4、6、8、、5025个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52 ，{24,28}，{26}，共13种搭配，即13个抽屉所以任意取出1452个数．或者从小数入手考虑，2、4、6 、26，当再取28时，与其中的一个去陪，总能到一个数使这两个数之和为52【巩固证明：在从1始的10奇数中任取6个2的和将)，任取【巩固】1，4，7，10，…，37，4014个数中任8个数，试证：其中至少有2【解析】41的抽屉：(140，(4,37)，(7,34，(10,31，(1328，(1625，(1922，现在取82【巩固从123，，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定有两个数的差为50。 ，{50,100}，将其看作50个抽屉，在选出51个数中，必有两个属于一组，这一组的差为50【巩固】请证明：在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于共有18个抽屉．从这18个抽屉里面任意抽取20个数，则至少有18个数取自前16个抽屉，所以至少有4个数取自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是104．【巩固】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差12．｛20，8｛19，7｛18，6｛17，5｛16，4｛15，3｛14，2｛13，1｛9｛10｛11｛12制成个抽屉取1，2，3，…，12，那么这12个数中任意两个数的差必不等于1【巩固】（小学数学决赛）从1，2，3，4，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取 数，其中每两个数的差不等于4．【解析】1～198944，每个数列中不能取相1，9，17，…，19852492494【巩固】2、4、6、…、3015个偶数中9个数，证明其中一定有两个数之和【解析】用题目中的15个偶数制造8个抽屉，(2),(4,30)，(6,28)，…，(16,18),凡是抽屉中的有两个数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34．159（8），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34．【例25】（市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取 数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．【解析】199418141111963，1964，…，1979，1980；1981，1982，…，1994．每一组中取前9个数，共取出9111999（个）9．999方法二：构造公差为9的9个数列（除以9的余数 ,1990，共计222 ,1991，共计222 ,1992，共计222 ,1993，共计222 ,1986，共计221 ,1988，共计221 ,1989，共计2211119999个数【巩固】(市首届“杯”少年数学邀请赛)从1至36个数中，最多可以取出 数种没有两数的差是5的倍数．【解析】构造公差为5的数列，如图，有五条链，看成515【例26】（2008春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）从12、3、4、5、6、7、8、9、1011和12中至多选 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍【解析】12612345622212（1，42，8或1822（3，12第3组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共221111893，4，5，654个数，剩下945【巩固】12020个数中11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍【解析】201010)，前101125【解析】3、5、73×33：99，39，…，9933350)共组．前33评注：1～2n个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整2，3．……3n2n+131，2，3，……，mnm-1)n+1个的整数倍，且至少是m倍(m、n为正整数).【例28】从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，【解析】2001，12，122，123，…，1273，32，322，323，…，3265，52，522，523，…，525…99，992…100100【例29】从1，2，3，……49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，【解析】将1至50这50个数，按除以7的余数分为7类：[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，所含的的个数分别为787777771677257数只能是这两种之一；被73477771多可以取出877123【例30】1，2，3，…，99，100100个数中任意选51个数．证明：(151个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大1．5150(2)1—100分成(1，51)，(2，52)，(3，53)，…，(40，90)，…(50，100)这50组，50．5051502数在同一抽屉，那么这两个数的差为50．问题得证．(3)1—100按2的倍数、3的奇数倍、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有95，97)50、17、33最不利的情况下，51331831】49每人胸前有一个号码，号码149同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个【解析】1491009(8×9)、(8×10)、(8×111818×2=3618例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)15)、(15×4)、(4×16)、(16X3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18×1)、(1×10181819种各不相同的个数，共有：12345156115411、2、34、54155【解析】每人不许超过11本，”的情况是每人得到的本数尽量不相同，为：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、1111种各不相同的本数，共有：1+2+3++11=66本4006664，最1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、1164117【例34】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶【解析】需先跟学生介绍奇偶性：奇数奇数偶数；奇数偶数奇数；偶数偶数（（（（44个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这52堆属于上述4种情形的同一【例35】（难度等级※※※）在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？【解析】把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图10个抽屉．现在将这11个点放到这10个抽屉中去．根据同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米．所以，在长度是10厘米的线段上任意取个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米【巩固】在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米【解析】5个点最多把1米长的直尺分成4段，要想使每一段都尽量长，应采取平均分的办法．把1米长2525厘米，所以结论成立．【巩固】试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米【解析】1100100101101101100【巩固】(《小数报》数学竞赛初赛试20米长的水泥阳台上放11盆花，随便怎样摆放，至少有几盆花之间的距离不超过2米．的10盆每两盆之间距离略大于2米，而最后两盆之间小于22【巩固】在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小2米【解析】第1盆花放在一个端点上，第2盆花放在距第1盆花恰为2米处（这是两盆花之间最近的距离了再近就说明题目已经正确了——两盆花之间距离小于2米3盆花放在距离第2盆花的距离22米放1盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第11盆花．至此，阳台上的11盆2米放好了．现在考虑最后1【例36】在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于【解析】39，10点的距离不大于1．【巩固】边长1等边三角形5那么5个点中一定有距离小于0.5两点5452边三角形中（包括边界），0.51n21个点，则至少存在2点距离小于1.n【巩固在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过0.125【解析】如图，用9个点四等分正方形，得到四个面积都为0.25的正方形，把四个面积为0.25的正49个点看成苹果，因此必有三个点在一个面积为0.25的正方形内，如果这三点恰好是正方形的顶点，则三角形的面积为0.125，如果这三点在正方形，则三角形的面积小于0.125，因此存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过0.125【巩固】在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形面积不超过1方米1【解析】9192891则必有一个小正方形里(上)至少有314(个)点，若这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点，那么以这4个点顶点的四边形的面积为1平方米；有一个点落在正方形的或边上1【巩固】在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。【解析】3【例37】在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于1厘一个抽屉有两个苹果，即一定有两个点的距离不大于1厘米【巩固】平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于117个点中必9点可以落在同一半径1【解析】如果17个点中，任意两点之间的距离都小于1，那么，以这17个点中任意一点为圆心，以大于或等于1)，设这两点为O1、O2，分别以O1、O2为圆心，1为半径作两个圆(如图)。把这两到O1、O2的距离必有一个小于1。也就是说这些点必落在某一个圆中。根据抽屉原理必有一个1581717938】9直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶39直线中至少有3条通过同一个点。NGNGQHP 【解析】ABCDEFABCDMNABCD分成两个长方ABMN和CDNMEFP（如图）ABMN的面积长方形CDNM23MNP点旋转一定角度后，原来的两个长方形就变成两个梯形，根据割补23MNP23，所以将长方形分成23P点，同样根据对称经过Q点的直线也是满足条件的直线，同理还可以找到把长方形分成上下两个梯形的两个点这样，在正方形内就有4个固定2∶34449994213【例39】如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上123这三个数，使得各行各对角线上8个数的和互不相同？并说明理由【解析】从问题入手：因为问的是和，所以就从和的种类入手。由123组成的和中最小为818最大的为8324，8~24有17种结果，而8行8列加上对角线共有18个和，根据抽屉原理，【巩固在88的方格纸中，每个方格纸内可以填上14四个自然数中的任意一个，填满后对每个2“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个【解析】先计算出在88的方格有22“田”字形：7749(个)，在14中任取4个数(可以复)的和可以是416134913310314【巩固】用数1，2，3，4，5，6填满一个66的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每22正方格内的四个数字的和称为这22正方格的“标示数”．问：能否给出一种填【解析】224244242125252114【巩固】能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1，2，3这三个数之一，使得大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同？对你的结论加以说明．【解析】1010301030间只有21个互不相同的整数值，把这21个互不相同的数值看作2110行、22110【例40】（市第三届“杯”少年数学邀请赛决赛C卷第12题）如下图①，A、B、C、D四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盘中糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盘中应各有ABABDC图 图【解析】有两种方法（填出一种即可，如1212461372【巩固】(市第三届“杯”少年数学邀请赛决赛D卷第12题)如右图A、B、C、D四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果.每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果可取出2只相邻盘中的全部糖果.这样取出的糖果数最多有几种？请说明理AABDC【解析】最多为13种.因为取14种取法；取3只盘子（1（4种取法.共有34113种取法.满足13种取法的糖果放法可以有无数多种.例题的解表明糖果数可以为1～13这13种.【例41】,,,8字都不相同．的滚珠相对．次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次.将这8次局面看成8果，注意到一环每转动5角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8而最初相对滚珠所标数字都不相同，所以相对的滚珠所标的数字相同的情况只出现在以后的7转动中，将7次转动看做72次数字相对的局面出现在同一次转动【巩固】8位小朋友围着一圆桌坐下在每位小朋友面前都放着一纸条上面分别写着这8位小朋友的名字．开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字．【解析】8一次，把每位小朋友与自己名字相对的情况看作“苹果”，共有8只“苹果”．另一方面，7【例42】时钟的表盘上按标准的方式标1，2，3，…，11，1212个数，在其上任意n120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n个扇形中总能恰好取3个覆盖整个钟面的全部12n的最小值．1111198234765【解析】（1）n8时，有可能不能覆盖12个数，比如每块扇形错开18（6，7，8，9（7，8，9，10（2）4（1，2，34（56，7，8（910，11，12（2，3，45（67，8，9（10，11，12，1（3，4，56（78，9，101112，1，2（4，5，67（89，10，11（12，1，2，3n93412个数．所以n的最小值是9．【巩固】(2009年附中入学测试题)如图，在时钟的表盘上任意作9个120的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇整个表盘上的数．并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立1111198234765【解析】121～12412形，必有91348124488模块三、最不利原【例43】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学趣味数学解题技能展示大赛决赛）“走美”主试为三～八年级准备决赛试题．每个年级12道题，并且至少有8道题与其各年级都不同．如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次．本届活动至少要准备道决赛试题．【解析】每个年级都有自己844共有864256（道）出多少个小球，才能保证其中至少有3小球的号码相同？【解析】将1、2、3、4四种号码看作4个抽屉，要保证一个抽屉中至少有3个苹果，”的情况是每个抽屉里有2428(个)，再取193【巩固】有一个布袋中有5种不同颜色的球，每种都有20个，问：一次至少要取出多少个小球，才能证其中至少有3个小球的颜色相同【解析】5种颜色看作5个抽屉要保证一个抽屉中至少有3个苹果的情况是每个抽屉里有25210个，再取1个就能满足要求，所以一次至少要取出113【巩固】（2008年第八“春蕾杯小学数学邀请赛初赛有红黄白三种颜色的小球各10个混合放在一个布袋中，一次至少摸出 个，才能保证有5个小球是同色的？【解析】根据最不利原则，至少需要摸出43113（个【巩固】黑、白、黄三种颜色的筷子各有很多根，在处至少拿出几根筷子就能保证有一双是相同颜色的筷子？【解析】问题问的是要有一双相同颜色的筷子．把黑、白、黄三种颜色的筷子当作3个抽屉，根据抽屉44根筷子，才能保【巩固】一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。如果你闭上眼睛，至少取多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同【解析】至少要取(515121（粒【例45】黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求？【解析】根据最不利原则，至少取9根筷子就能保证有一双颜色不同，把颜色不同那双筷子取出，再2只筷子，就能又保证一双颜色不同筷子，所以取出11根筷子就得到颜色不同的两双筷子.【巩固】（第六届《小数报》数学竞赛初赛）有形状、长短都完全一样的红筷子、黑筷子、白筷子、黄筷子、紫筷子和花筷子各25根。在中至少应摸出根筷子，才能保证摸出的筷子至少有8双（每两根花筷子或两根同色的筷子为一双。【解析】因为筷子只有6种，所以7根中必有一双颜色相同。