函数的应用 公开课1等奖课件

函数的应用函数的应用数学建模能力与数学实践能力实际问题数学化1.熟悉问题提供的背景；2.能阅读理解对问题进行陈述的材料；3.能运用数学知识、思想和方法分析题设中各类数量的关系及联系,构建数学模型,将实际问题转化为数学问题；4.运用已有知识,选择合理的途径解答问题,解答后还要回归实际背景,判定解的合理性.程序图实际问题抽象概括数学模型求解数学模型实际问题的解运用数学知识思想、方法还原、检验数学建模能力与数学实践能力实际问题数学化1.熟悉问题提供的背审题1.读题

先通读,分清哪些是为了说明现象或叙述问题的实际背景的描述性词语,哪些是为抽象数学问题而给出的数量与关系.2.翻译

应用题化为数学问题的关键在于对语言的理解与转换.包括:对陌生名词、概念的领悟；把文字叙述语言、图形语言、数学符号语言三者进行等价转化.3.挖掘

应用题中的因果关系和内在规律常有隐蔽性,需要挖掘题目中蕴涵的数字信息,这也是解应用题的难点.审题1.读题先通读,分清哪些是为了说应用题分类1.用料最省、造价最低、利润最高等最优化问题；(函数)2.数量间的相等或不等关系,如人口控制、资源保护等；(方程、不等式)3.增长率，如存款利息、人口增长等；(数列)(解析几何)(立体几何)4.运行轨道、拱桥形状等；5.几何体的形状、面积、体积等；6.排列组合、概率.应用题分类1.用料最省、造价最低、利润最高等最优化问题；(函解答函数应用题的一般步骤1.阅读理解材料

读懂题目所叙述的实际问题的意义,接受题目所约定的临时定义,理顺题目中的量与量的数量关系、位置关系,分清变量与常量；2.建立函数模型

正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数,建立目标函数关系式(关键是抓住某些量之间的相等关系列出函数式),注意不要忘记考察函数的定义域；3.求解函数模型讨论变量及函数模型的有关性质(单调性).解答函数应用题的一般步骤1.阅读理解材料读懂典型例题

例1

某厂今年

1

月,2

月,3

月生产某种产品分别为

1

万件,1.2

万件,1.3

万件.为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的产量与月份

x

的关系,模拟函数可选用二次函数或函数

y=a∙bx+c(其中a,b,c为常数).已知

4

月份该产品的产量为

1.37

万件,请问,用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由.解:

设

f(x)=px2+qx+r(p0)则由f(2)=1.2即4p+2q+r=1.2得:f(1)=1f(3)=1.39p+3q+r=1.3

p+q+r=1

p=-0.05q=0.35r=0.7∴

f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7.∴

f(4)=-0.0542+0.354+0.7=1.3(万件)①又由

g(x)=a∙bx+c

可得:a∙b+c=1a∙b2+c=1.2a∙b3+c=1.3g(2)=1.2g(1)=1g(3)=1.3即典型例题例1某厂今年1月,2月,3月生∴

g(4)=-0.80.54+1.4=1.35(万件)②而

4

月份的产量为

1.37

万件,故由

①,②

比较可知,用

y=a∙bx+c

作为模拟函数较好.解得:a=-0.8b=0.5c=1.4∴

g(x)=-0.80.5x+1.4.

例2

一家报刊摊主从报社买进晚报的价格是每份

0.20

元,卖出的价格是每份

0.30

元,卖不掉的报纸还可以以每份

0.08

元的价格退回报社.已知在一个月(以30天计算)里,有

20

天每天可卖出

400

份,其余

10

天每天只卖出

250

份,但每天从报社买进的份数必须相同.问该摊主每天从报社买进多少份,才能使每月获得的利润最大?并计算该摊主一个月最多可赚得多少元.解:

设每天从报社买进

x

份(250≤x≤400),则每月共销售

(20x+10250)

份,又卖出的报纸每份获利

0.10

元,退回的每份亏损

0.12

元,退回报社

10(x-250)

份,依题意,每月获得的利润f(x)=0.10(20x+10∙250)-0.1210(x-250)=0.8x+550.∴g(4)=-0.80.54+1.4=1.35(万件)∵

f(x)

在

[250,400]

上是增函数,答:该摊主每天从报社买进

400

份时,才能使每月获得的利润最大,

∴

当

x=400

时,f(x)

取得最大值,最大值为

870.

一个月最多可赚

870

元.

例3

某村计划建造一个室内面积为

800m2

的矩形菜温室,在温室内,沿左右两侧与后侧内墙各保留

1m

宽的通道,沿前侧内墙保留

3m

宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?解:

设矩形温室的左侧边长为

a

m,后侧边长为

b

m,则

ab=800,蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b).=648.仅当

a=2b,即

a=40,b=20

时取等号.故当

a=40(m),b=20(m)

时,ymax=648(m2).∴S≤808-42ab答:当矩形温室的左侧边长为

40m,后侧边长为

20m

时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为

648

m2.∵f(x)在[250,400]上是增函数,答解:

依题意得:于是框架用料长度故当

x

约为

2.343m,

y

约为

2.828m

时,用料最省.

xy+

·x·=8,

12x2∴

y=-(0<x<42

).

8xx4L=2x+2y+2()2

x

2=(

+2)x+32x16≥4

6+4

2.仅当

(

+2)x=即x=8-42

时,取等号.32x16此时

x2.343,y=222.828.

例4

某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为

x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为

8m2.问

x,y

分别为多少(精确到

0.001

m)时用料最省?xy解:依题意得:于是框架用料长度故当x约为2.343m

例5

某租赁公司拥有汽车

100

辆,当每辆车的月租金为

3000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加

50

元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费

150

元,未租出的车每辆每月需要维护费

50

元.(1)当每月每辆车的租金定为

3600

元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大收益是多少?解:(1)当每辆车的月租金定为

3600

元时,未租出的车辆数为:(3600-3000)50=12,则租赁公司的月收益(2)设每辆车的月租金定为

x(x=50k,kN*)

元,∴这时租出了

88

辆车.f(x)=(100-)(x-150)-

×50x-300050x-300050=-

+162x-2100x2

50=-

(x-4050)2+307050.

150∴当

x=4050

时,f(x)

取最大值

307050.

即当每辆车的月租金定为

4050

元

时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是

307050

元.例5某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月

例6

上因特网的费用由两部分组成:电话费和上网费,以前某“热线”上因特网的费用为电话费

0.12

元/3

分钟,上网费

0.12

元/分钟.根据信息产业部调整因特网资费的要求,自

1999

年

3

月1日起,该地区上因特网的费用调整为电话费

0.16

元/3

分钟,上网费每月不超过

60

小时,以

4

元/小时计算,超过

60

小时部分,以

8

元/小时计算.(1)根据调整后的规定,将每月上因特网的费用表示为上网时间(小时)的函数(每月按30天计算);(2)若某网民在其家庭经济预算中一直有一笔上网

60

小时的费用开支,因特网资费调整后,若要不超过其家庭经济预算中上网费的支出,该网民现在每月可上网多少小时?从涨价和降价的角度分析该地区调整前后上因特网的费用情况.例6上因特网的费用由两部分组成:电话费和上网费,解:

设调整后上网

x

小时的费用为

f(x)

元,(1)当

0<x≤60

时,则

g(x)=0.1220x+0.1260x=9.6x,(2)设调整前上网

x

小时的费用为

g(x)

元,原上网

60

小时的费用为9.660=576

元,又由

576=11.2x-240

得:x72.86(小时).f(x)=0.1620x+4x=7.2x;故该网民现在每月可上网约

72.86

小时.当

x>60

时,f(x)=460+0.1620x+(x-60)8=11.2x-240.∴f(x)=7.2x(0<x≤60)11.2x-240(x>60).当

0<x≤60

时,f(x)<g(x),调整前的上网费用高;当

x>60

时,由

f(x)=g(x)

得:x=150.又当

60<x<150

时,f(x)<g(x);当

x>150

时,f(x)>g(x).故上网时间小于

150

小时,调整前的上网费用高;上网

150

小时,调整前后的费用一样高;上网时间超过

150

小时,调整后的上网费用高.解:设调整后上网x小时的费用为f(x)元,(1)当

例7

某地区上年度电价为

0.8

元/kw∙h,年用电量为

a

kw∙h,本年度计划将电价降到

0.55

元/kw∙h

至

0.75

元/kw∙h

之间,而用户期望电价为

0.4

元/kw∙h.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k),该地区电力的成本价为

0.3

元/kw∙h.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益

y

与实际电价

x

的函数关系式;(2)设

k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?(注:收益=实际用电量(实际电价-成本价)).例7某地区上年度电价为0.8元/kw∙h,年解:(1)依题意,0.55≤x≤0.75,∴本年度用电量为:a+下调电价后新增用电量为:x-0.4k

.x-0.4k

,

依题意得:

y=(a+

)(x-0.3),x-0.4k

故所求函数关系式为:y=(a+

)(x-0.3),0.55≤x≤0.75.x-0.4k

(2)当

k=0.2a

时,

y=(a+

)(x-0.3),x-0.40.2a

依题意(a+

)(x-0.3)≥0.5a(1+20%),x-0.40.2a

整理得:10x2-11x+3≥0.解得:x≤0.5

或

x≥0.6.∵0.55≤x≤0.75,∴0.6≤x≤0.75,∴最低电价应定为

0.6元/kw·h.解:(1)依题意,0.55≤x≤0.75,∴本年度用

例8

某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为

1

万元/辆,

出厂价为

1.2

万元/辆,年销售量为

1000

辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为

x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为

0.75x,同时预计年销售量增加的比例为

0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润

y

与投入成本增加的比例

x

的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例

x

应在什么范围内?解:(1)依题意得:y=[1.2(1+0.75x)-1(1+x)]1000(1+0.6x),整理得:y=-60x2+20x+200(0<x<1).(2)要保证本年度的年利润比上年有所增加,必须y-(1.2-1)1000>0,0<x<1,-60x2+20x>0,0<x<1,即解得:0<x<.13故投入成本增加的比例

x

应满足

0<x<.13此即为所求关系式.例8某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成

例9

甲、乙两地相距

s

千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过

c

千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度

v(千米/时)的平方成正比,比例系数为

b,固定部分为

a

元.(1)把全程运输成本

y(元)表示为速度

v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?解:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地用时

小时,sv其中0<v≤c.定义域为

(0,c].(2)依题意,s,a,b,v

均为正数,全程运输成本为

y=a·+bv2·=s(+bv),avsvsv故所求函数的解析式为y=s(

+bv),av∴

s(+bv)≥2s

ab

.av当且仅当

=bv,即

v=

时,上式取等号.avba例9甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行当且仅当

v=c

时取等号.svc=(c-v)(a-bcv).∴a>bc2,因而

a-bcv≥a-bc2>0.也即当

v=c

时,全程运输成本y

最小.综上所述,为使全程运输成本y

最小,若

≤c,则当

v=时,全程运输成本y

最小;baba

∵c-v≥0,>c,ba若>c,当v(0,c]时,有:bas(+bv)-s(+bc)avac=s[(-

)+(bv-bc)]avac故s(+bv)≥s(+bc),avac当

>c

时,行驶速度为

c

千米/小时.ba当

≤c

时,行驶速度为

千米/小时;baba当且仅当v=c时取等号.svc=(c-v)(a

例10某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为

40

元/个,出厂价为

60元/个,日销售量为

1000

个.为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.

若每个蛋糕成本增加的百分率为

x(0<x<1),则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为

0.5x,同时预计日销售量增加的百分率为

0.8x,已知日利润=(出厂价-成本)×日销售量.(1)写出

y

与

x

的关系式;(2)为使日利润有所增加,问

x

应在什么范围内?解:(1)依题意得:y=[60(1+0.5x)-40(1+x)]1000(1+0.8x),整理得:y=-8000x2+6000x+20000(0<x<1).(2)要保证日利润有所增加,必须y-(60-40)1000>0,0<x<1,-4x2+3x>0,0<x<1,即解得:0<x<.34答:为使日利润有所增加,

x

应满足

0<x<.34此即为所求关系式.例10某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个,

例11有三个新兴城镇,分别位于

A,B,C

三点处,且

AB=AC=a,BC=2b,今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建立在

BC

的垂直平分线上的

P

点处(建立坐标系如图).AB(-b,0)C(b,0)Poxy(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小,

点

P

应位于何处?(2)若希望点P到三镇的最远距离为最小,

点

P

应位于何处?解:(1)依题意,a>b>0,记

h=a2-b2,设

P

的坐标为

(0,y),则P到三镇距离的平方和f(y)=2(b2+y2)+(h-y)2=3(y-)2+h2+2b2.23h3∴当

y=

时,函数

f(y)

取得最小值.

h3∴点

P

的坐标是(0,a2-b2).13例11有三个新兴城镇,分别位于A,B,C

故当

y=y*时,函数

g(y)

取最小值.(2)解法一

P

到三镇的最远距离是g(y)=

b2+y2|h-y|b2+y2≥|h-y|

时,b2+y2<|h-y|

时.由b2+y2≥|h-y|

解得:y≥.

h2-b22h

记y*=,则h2-b22h

g(y)=

b2+y2|h-y|y≥y*

时,y<y*

时.当

y*≥0

即

h≥b(此时

a2≥2b2)时,

b2+y2在

[y*,+∞)

上是增函数,而

|h-y|

在

(-∞,y*]

上是减函数,当

y*<0

即

h<b(此时a2<2b2)时,函数b2+y2在

[y*,+∞)

上当y=0时,取最小值b,而

|h-y|

在

(-∞,y*]

上是减函数且

|h-y|>b,故当

y=0

时,函数

g(y)

取最小值.当

a2<2b2

时,P

点在原点.

综上所述,当

a2≥2b2

时,P

点在(0,

)处;a2-2b22

a2-b2

故当

y=y*时,函数

g(y)

取最小值.(2)解法二

P

到三镇的最远距离是g(y)=

b2+y2|h-y|b2+y2≥|h-y|

时,b2+y2<|h-y|

时.由b2+y2≥|h-y|

解得:y≥.

h2-b22h

记y*=,则h2-b22h

g(y)=

b2+y2|h-y|y≥y*

时,y<y*

时.当

y*≥0

即

h≥b

时,z=g(y)

的图象如图(a),故当

y=0

时,函数

g(y)

取最小值.当

y*<0

即

h<b

时,z=g(y)

的图象如图(b),y*y

z

o

h

b

图(a)g(y)

y*y

z

o

h

b

图(b)g(y)

当

P

在射线

MA

上时,记

P

为

P1,当

P

在射线

MA

的反向延长线上时,记

P

为

P2.这时

P

到三点

A,B,C

的最远距离为

P1C

或

P2A,(2)解法三

∵△ABC

中,AB=AC=a,∴△ABC

的外心

M

在射线

AO

上,其坐标为(0,

),且AM=BM=CM.a2-2b22

a2-b2若

h≥b(此时

a2≥2b2),则点

M

在线段

AO

上,如图(c).AB(-b,0)C(b,0)P1oxyM..图(c)P2.且P1C≥MC,

P2A≥MA.∴点

P

与

M

重合时,P

到三镇的最远距离最小.若

h<b(此时

a2<2b2),则点

M

在线段

AO

外,如图(d).这时

P

到三点

A,B,C

的最远距离为

P1C

或

P2A,且P1C≥OC,

P2A≥OC.∴点

P

与

BC

边

O

重合时,P

到三镇的最远距离最小,为

b.AB(-b,0)C(b,0)oxyM.图(d)P2.P1.综上所述,…….

当P在射线MA上时,记P为P1,当小魔方站作品盗版必究语文小魔方站作品盗版必究语文更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源谢谢您下载使用！更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源谢谢您函数的应用公开课1等奖课件函数的应用公开课1等奖课件附赠中高考状元学习方法附赠中高考状元学习方法群星璀璨---近几年全国高考状元荟萃群星璀璨---近几年全国高考状元荟萃

前言

高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。前言高考状元是一青春风采青春风采青春风采青春风采北京市文科状元阳光女孩--何旋高考总分：692分(含20分加分)

语文131分数学145分英语141分文综255分毕业学校：北京二中

报考高校：北京大学光华管理学院北京市文科状元阳光女孩--何旋高考总分：来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，高考总分:711分

毕业学校:北京八中

语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心高考总分:711分

毕业学校:北京八中

语文139分数学1班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话”两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的成绩一直稳定在年级前5名左右。孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一函数的应用公开课1等奖课件上海2006高考理科状元--武亦文武亦文格致中学理科班学生班级职务：学习委员高考志愿：复旦经济高考成绩：语文127分数学142分英语144分物理145分综合27分总分585分上海2006高考理科状元--武亦文武亦文格致中学理科班学生

“一分也不能少”

“我坚持做好每天的预习、复习，每天放学回家看半小时报纸，晚上10：30休息，感觉很轻松地度过了三年高中学习。”当得知自己的高考成绩后，格致中学的武亦文遗憾地说道，“平时模拟考试时，自己总有一门满分，这次高考却没有出现，有些遗憾。”

“一分也不能少”“我坚持做好每天的预习、复习

坚持做好每个学习步骤

武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每天的预习、复习。“高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓励学生注重学习的过程。”

坚持做好每个学习步骤上海高考文科状元--- 常方舟曹杨二中高三(14)班学生班级职务：学习委员高考志愿：北京大学中文系高考成绩：语文121分数学146分 英语146分历史134分 综合28分总分575分 (另有附加分10分)上海高考文科状元--- 常方舟曹杨二中高三(14)班“我对竞赛题一样发怵”

总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太多时间做功课，常常是做完老师布置的作业就算完。“我对竞赛题一样发怵”总结自己的成功经验，常方舟认为学习的“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因正在于试题多为基础题，对上了自己的“口味”。“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔函数的应用函数的应用数学建模能力与数学实践能力实际问题数学化1.熟悉问题提供的背景；2.能阅读理解对问题进行陈述的材料；3.能运用数学知识、思想和方法分析题设中各类数量的关系及联系,构建数学模型,将实际问题转化为数学问题；4.运用已有知识,选择合理的途径解答问题,解答后还要回归实际背景,判定解的合理性.程序图实际问题抽象概括数学模型求解数学模型实际问题的解运用数学知识思想、方法还原、检验数学建模能力与数学实践能力实际问题数学化1.熟悉问题提供的背审题1.读题

先通读,分清哪些是为了说明现象或叙述问题的实际背景的描述性词语,哪些是为抽象数学问题而给出的数量与关系.2.翻译

应用题化为数学问题的关键在于对语言的理解与转换.包括:对陌生名词、概念的领悟；把文字叙述语言、图形语言、数学符号语言三者进行等价转化.3.挖掘

应用题中的因果关系和内在规律常有隐蔽性,需要挖掘题目中蕴涵的数字信息,这也是解应用题的难点.审题1.读题先通读,分清哪些是为了说应用题分类1.用料最省、造价最低、利润最高等最优化问题；(函数)2.数量间的相等或不等关系,如人口控制、资源保护等；(方程、不等式)3.增长率，如存款利息、人口增长等；(数列)(解析几何)(立体几何)4.运行轨道、拱桥形状等；5.几何体的形状、面积、体积等；6.排列组合、概率.应用题分类1.用料最省、造价最低、利润最高等最优化问题；(函解答函数应用题的一般步骤1.阅读理解材料

读懂题目所叙述的实际问题的意义,接受题目所约定的临时定义,理顺题目中的量与量的数量关系、位置关系,分清变量与常量；2.建立函数模型

正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数,建立目标函数关系式(关键是抓住某些量之间的相等关系列出函数式),注意不要忘记考察函数的定义域；3.求解函数模型讨论变量及函数模型的有关性质(单调性).解答函数应用题的一般步骤1.阅读理解材料读懂典型例题

例1

某厂今年

1

月,2

月,3

月生产某种产品分别为

1

万件,1.2

万件,1.3

万件.为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的产量与月份

x

的关系,模拟函数可选用二次函数或函数

y=a∙bx+c(其中a,b,c为常数).已知

4

月份该产品的产量为

1.37

万件,请问,用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由.解:

设

f(x)=px2+qx+r(p0)则由f(2)=1.2即4p+2q+r=1.2得:f(1)=1f(3)=1.39p+3q+r=1.3

p+q+r=1

p=-0.05q=0.35r=0.7∴

f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7.∴

f(4)=-0.0542+0.354+0.7=1.3(万件)①又由

g(x)=a∙bx+c

可得:a∙b+c=1a∙b2+c=1.2a∙b3+c=1.3g(2)=1.2g(1)=1g(3)=1.3即典型例题例1某厂今年1月,2月,3月生∴

g(4)=-0.80.54+1.4=1.35(万件)②而

4

月份的产量为

1.37

万件,故由

①,②

比较可知,用

y=a∙bx+c

作为模拟函数较好.解得:a=-0.8b=0.5c=1.4∴

g(x)=-0.80.5x+1.4.

例2

一家报刊摊主从报社买进晚报的价格是每份

0.20

元,卖出的价格是每份

0.30

元,卖不掉的报纸还可以以每份

0.08

元的价格退回报社.已知在一个月(以30天计算)里,有

20

天每天可卖出

400

份,其余

10

天每天只卖出

250

份,但每天从报社买进的份数必须相同.问该摊主每天从报社买进多少份,才能使每月获得的利润最大?并计算该摊主一个月最多可赚得多少元.解:

设每天从报社买进

x

份(250≤x≤400),则每月共销售

(20x+10250)

份,又卖出的报纸每份获利

0.10

元,退回的每份亏损

0.12

元,退回报社

10(x-250)

份,依题意,每月获得的利润f(x)=0.10(20x+10∙250)-0.1210(x-250)=0.8x+550.∴g(4)=-0.80.54+1.4=1.35(万件)∵

f(x)

在

[250,400]

上是增函数,答:该摊主每天从报社买进

400

份时,才能使每月获得的利润最大,

∴

当

x=400

时,f(x)

取得最大值,最大值为

870.

一个月最多可赚

870

元.

例3

某村计划建造一个室内面积为

800m2

的矩形菜温室,在温室内,沿左右两侧与后侧内墙各保留

1m

宽的通道,沿前侧内墙保留

3m

宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?解:

设矩形温室的左侧边长为

a

m,后侧边长为

b

m,则

ab=800,蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b).=648.仅当

a=2b,即

a=40,b=20

时取等号.故当

a=40(m),b=20(m)

时,ymax=648(m2).∴S≤808-42ab答:当矩形温室的左侧边长为

40m,后侧边长为

20m

时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为

648

m2.∵f(x)在[250,400]上是增函数,答解:

依题意得:于是框架用料长度故当

x

约为

2.343m,

y

约为

2.828m

时,用料最省.

xy+

·x·=8,

12x2∴

y=-(0<x<42

).

8xx4L=2x+2y+2()2

x

2=(

+2)x+32x16≥4

6+4

2.仅当

(

+2)x=即x=8-42

时,取等号.32x16此时

x2.343,y=222.828.

例4

某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为

x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为

8m2.问

x,y

分别为多少(精确到

0.001

m)时用料最省?xy解:依题意得:于是框架用料长度故当x约为2.343m

例5

某租赁公司拥有汽车

100

辆,当每辆车的月租金为

3000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加

50

元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费

150

元,未租出的车每辆每月需要维护费

50

元.(1)当每月每辆车的租金定为

3600

元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大收益是多少?解:(1)当每辆车的月租金定为

3600

元时,未租出的车辆数为:(3600-3000)50=12,则租赁公司的月收益(2)设每辆车的月租金定为

x(x=50k,kN*)

元,∴这时租出了

88

辆车.f(x)=(100-)(x-150)-

×50x-300050x-300050=-

+162x-2100x2

50=-

(x-4050)2+307050.

150∴当

x=4050

时,f(x)

取最大值

307050.

即当每辆车的月租金定为

4050

元

时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是

307050

元.例5某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月

例6

上因特网的费用由两部分组成:电话费和上网费,以前某“热线”上因特网的费用为电话费

0.12

元/3

分钟,上网费

0.12

元/分钟.根据信息产业部调整因特网资费的要求,自

1999

年

3

月1日起,该地区上因特网的费用调整为电话费

0.16

元/3

分钟,上网费每月不超过

60

小时,以

4

元/小时计算,超过

60

小时部分,以

8

元/小时计算.(1)根据调整后的规定,将每月上因特网的费用表示为上网时间(小时)的函数(每月按30天计算);(2)若某网民在其家庭经济预算中一直有一笔上网

60

小时的费用开支,因特网资费调整后,若要不超过其家庭经济预算中上网费的支出,该网民现在每月可上网多少小时?从涨价和降价的角度分析该地区调整前后上因特网的费用情况.例6上因特网的费用由两部分组成:电话费和上网费,解:

设调整后上网

x

小时的费用为

f(x)

元,(1)当

0<x≤60

时,则

g(x)=0.1220x+0.1260x=9.6x,(2)设调整前上网

x

小时的费用为

g(x)

元,原上网

60

小时的费用为9.660=576

元,又由

576=11.2x-240

得:x72.86(小时).f(x)=0.1620x+4x=7.2x;故该网民现在每月可上网约

72.86

小时.当

x>60

时,f(x)=460+0.1620x+(x-60)8=11.2x-240.∴f(x)=7.2x(0<x≤60)11.2x-240(x>60).当

0<x≤60

时,f(x)<g(x),调整前的上网费用高;当

x>60

时,由

f(x)=g(x)

得:x=150.又当

60<x<150

时,f(x)<g(x);当

x>150

时,f(x)>g(x).故上网时间小于

150

小时,调整前的上网费用高;上网

150

小时,调整前后的费用一样高;上网时间超过

150

小时,调整后的上网费用高.解:设调整后上网x小时的费用为f(x)元,(1)当

例7

某地区上年度电价为

0.8

元/kw∙h,年用电量为

a

kw∙h,本年度计划将电价降到

0.55

元/kw∙h

至

0.75

元/kw∙h

之间,而用户期望电价为

0.4

元/kw∙h.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k),该地区电力的成本价为

0.3

元/kw∙h.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益

y

与实际电价

x

的函数关系式;(2)设

k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?(注:收益=实际用电量(实际电价-成本价)).例7某地区上年度电价为0.8元/kw∙h,年解:(1)依题意,0.55≤x≤0.75,∴本年度用电量为:a+下调电价后新增用电量为:x-0.4k

.x-0.4k

,

依题意得:

y=(a+

)(x-0.3),x-0.4k

故所求函数关系式为:y=(a+

)(x-0.3),0.55≤x≤0.75.x-0.4k

(2)当

k=0.2a

时,

y=(a+

)(x-0.3),x-0.40.2a

依题意(a+

)(x-0.3)≥0.5a(1+20%),x-0.40.2a

整理得:10x2-11x+3≥0.解得:x≤0.5

或

x≥0.6.∵0.55≤x≤0.75,∴0.6≤x≤0.75,∴最低电价应定为

0.6元/kw·h.解:(1)依题意,0.55≤x≤0.75,∴本年度用

例8

某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为

1

万元/辆,

出厂价为

1.2

万元/辆,年销售量为

1000

辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为

x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为

0.75x,同时预计年销售量增加的比例为

0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润

y

与投入成本增加的比例

x

的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例

x

应在什么范围内?解:(1)依题意得:y=[1.2(1+0.75x)-1(1+x)]1000(1+0.6x),整理得:y=-60x2+20x+200(0<x<1).(2)要保证本年度的年利润比上年有所增加,必须y-(1.2-1)1000>0,0<x<1,-60x2+20x>0,0<x<1,即解得:0<x<.13故投入成本增加的比例

x

应满足

0<x<.13此即为所求关系式.例8某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成

例9

甲、乙两地相距

s

千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过

c

千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度

v(千米/时)的平方成正比,比例系数为

b,固定部分为

a

元.(1)把全程运输成本

y(元)表示为速度

v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?解:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地用时

小时,sv其中0<v≤c.定义域为

(0,c].(2)依题意,s,a,b,v

均为正数,全程运输成本为

y=a·+bv2·=s(+bv),avsvsv故所求函数的解析式为y=s(

+bv),av∴

s(+bv)≥2s

ab

.av当且仅当

=bv,即

v=

时,上式取等号.avba例9甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行当且仅当

v=c

时取等号.svc=(c-v)(a-bcv).∴a>bc2,因而

a-bcv≥a-bc2>0.也即当

v=c

时,全程运输成本y

最小.综上所述,为使全程运输成本y

最小,若

≤c,则当

v=时,全程运输成本y

最小;baba

∵c-v≥0,>c,ba若>c,当v(0,c]时,有:bas(+bv)-s(+bc)avac=s[(-

)+(bv-bc)]avac故s(+bv)≥s(+bc),avac当

>c

时,行驶速度为

c

千米/小时.ba当

≤c

时,行驶速度为

千米/小时;baba当且仅当v=c时取等号.svc=(c-v)(a

例10某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为

40

元/个,出厂价为

60元/个,日销售量为

1000

个.为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.

若每个蛋糕成本增加的百分率为

x(0<x<1),则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为

0.5x,同时预计日销售量增加的百分率为

0.8x,已知日利润=(出厂价-成本)×日销售量.(1)写出

y

与

x

的关系式;(2)为使日利润有所增加,问

x

应在什么范围内?解:(1)依题意得:y=[60(1+0.5x)-40(1+x)]1000(1+0.8x),整理得:y=-8000x2+6000x+20000(0<x<1).(2)要保证日利润有所增加,必须y-(60-40)1000>0,0<x<1,-4x2+3x>0,0<x<1,即解得:0<x<.34答:为使日利润有所增加,

x

应满足

0<x<.34此即为所求关系式.例10某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个,

例11有三个新兴城镇,分别位于

A,B,C

三点处,且

AB=AC=a,BC=2b,今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建立在

BC

的垂直平分线上的

P

点处(建立坐标系如图).AB(-b,0)C(b,0)Poxy(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小,

点

P

应位于何处?(2)若希望点P到三镇的最远距离为最小,

点

P

应位于何处?解:(1)依题意,a>b>0,记

h=a2-b2,设

P

的坐标为

(0,y),则P到三镇距离的平方和f(y)=2(b2+y2)+(h-y)2=3(y-)2+h2+2b2.23h3∴当

y=

时,函数

f(y)

取得最小值.

h3∴点

P

的坐标是(0,a2-b2).13例11有三个新兴城镇,分别位于A,B,C

故当

y=y*时,函数

g(y)

取最小值.(2)解法一

P

到三镇的最远距离是g(y)=

b2+y2|h-y|b2+y2≥|h-y|

时,b2+y2<|h-y|

时.由b2+y2≥|h-y|

解得:y≥.

h2-b22h

记y*=,则h2-b22h

g(y)=

b2+y2|h-y|y≥y*

时,y<y*

时.当

y*≥0

即

h≥b(此时

a2≥2b2)时,

b2+y2在

[y*,+∞)

上是增函数,而

|h-y|

在

(-∞,y*]

上是减函数,当

y*<0

即

h<b(此时a2<2b2)时,函数b2+y2在

[y*,+∞)

上当y=0时,取最小值b,而

|h-y|

在

(-∞,y*]

上是减函数且

|h-y|>b,故当

y=0

时,函数

g(y)

取最小值.当

a2<2b2

时,P

点在原点.

综上所述,当

a2≥2b2

时,P

点在(0,

)处;a2-2b22

a2-b2

故当

y=y*时,函数

g(y)

取最小值.(2)解法二

P

到三镇的最远距离是g(y)=

b2+y2|h-y|b2+y2≥|h-y|

时,b2+y2<|h-y|

时.由b2+y2≥|h-y|

解得:y≥.

h2-b22h

记y*=,则h2-b22h

g(y)=

b2+y2|h-y|y≥y*

时,y<y*

时.当

y*≥0

即

h≥b

时,z=g(y)

的图象如图(a),故当

y=0

时,函数

g(y)

取最小值.当

y*<0

即

h<b

时,z=g(y)

的图象如图(b),y*y

z

o

h

b

图(a)g(y)

y*y

z

o

h

b

图(b)g(y)

当

P

在射线

MA

上时,记

P

为

P1,当

P

在射线

MA

的反向延长线上时,记

P

为

P2.这时

P

到三点

A,B,C

的最远距离为

P1C

或

P2A,(2)解法三

∵△ABC

中,AB=AC=a,∴△ABC

的外心

M

在射线

AO

上,其坐标为(0,

),且AM=BM=CM.a2-2b22

a2-b2若

h≥b(此时

a2≥2b2),则点

M

在线段

AO

上,如图(c).AB(-b,0)C(b,0)P1oxyM..图(c)P2.且P1C≥MC,

P2A≥MA.∴点

P

与

M

重合时,P

到三镇的最远距离最小.若

h<b(此时

a2<2b2),则点

M

在线段