信号与系统 连续时间系统的时域分析 第2章课件

连续时间系统的时域分析第二章1连续时间系统的时域分析第二章1第二章连续时间系统的时域分析2第二章连续时间系统的时域分析2第二章连续时间系统的时域分析

2.1引言

2.2LTI系统的微分方程表示及其响应

2.3零输入响应和零状态响应

2.4卷积积分

2.5卷积积分的运算和图解

2.6卷积积分的性质

2.7奇异函数

2.8卷积积分的数值解

2.9连续时间系统的模拟3第二章连续时间系统的时域分析

2.1引言

2.2LTI时域解法微分方程法经典法齐次解特解零输入响应零状态响应卷积积分零状态响应冲激函数用冲激函数表示任意时间信号冲激响应h(t)的求法卷积积分的定义式卷积积分的图解法卷积积分的数值法或连续时间系统§2.1引言4时域解法微分方程法齐次解特解零输入响应零状态响应卷积积分冲激系统数学模型的时域表示时域分析方法：不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。本章主要讨论输入、输出描述法。第9章将讨论状态变量分析法。输入输出描述：一元N阶微分方程状态变量描述：N元一阶微分方程5系统数学模型的时域表示时域分析方法：不涉及任何变换，直接求解§2.2LTI系统的微分方程表示及其响应1、电路微分方程的列写1）什么是输入iS(t)

,什么是输出iL(t)2）按照基氏第一(i=0)、第二定律(u=0)列出电路方程3）一般要给出所求变量iL(t)

的初始条件:

iL(0)和iL'(0)C=1/4FiL(t)iC(t)iS(t)R1=1R2=5L=2H>v6§2.2LTI系统的微分方程表示及其响应1、电路微分方例题:列写第二个回路的电压方程,即(1)(2)(2)代入(1)得iL(0)=A,iL(0)=B7例题:列写第二个回路的电压方程,即(1)(2)(2)代 注意1）应当有初始条件2）有时为了书写方便,把d/dt=P或d/dt=D上面的微分方程可写成以下微分算子的形式(D2+3D+2)iL(t)=(½D+2)is(t)3）把以上微分方程推广到一般的情况输入为m阶导数,输出为n阶导数方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。8 注意输入为m阶导数,输出为n阶导数8一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为t0+时的方程的解，

初始条件:齐次解:由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意：重根情况处理方法特解:根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数Ak2.微分方程的经典解法9一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为t齐次微分方程特征方程特征根齐次解形式：（和特征根有关）齐次解2.微分方程的经典解法1,2,…,n10齐次微分方程特征方程特征根齐次解形式：（和特征根有关）齐次解特征根齐次解的形式单根

=rk重实根

=rk重复根1,2

=j2.微分方程的经典解法certc1ert+c2tert+…+cktk-1ert

1,2

=jc1etcos

t

+c2etsin

t

c1etcost

+c2tetcost

+…+cmtm-1etcos

t

+d1etsint

+d2tetsint

+…+dmtm-1etsint

11特征根齐次解的形式单根=rk重实根=r激励函数e(t)响应函数r(t)的特解或当a是k重特征根时当a＋jb不是特征根当a＋jb是特征根2.微分方程的经典解法12激励函数e(t)响应函数r(t)的特解或当a是k2.微分方程的经典解法例:1)求齐次解:特征方程为

(2+3/2+1/2)=0两个特征根为1=1,2=1/2根据特征根的形式确定它的齐次解的形式则yh(t)=c1e

t+c2e

1/2ty(0)=1,y'(0)=0y(t)=yh(t)+yp(t)yh(t)为齐次解,yp(t)为特解132.微分方程的经典解法例:1)求齐次解:特征方程为比较双方得c3

=1,yp(t)=e

3t2）求特解对于方程

(D2+3/2D+1/2)y(t)=x(t)=当输入为et时,其a=1,与原方程的特征根相同则:yp(t)=c3te

t当输入为5e3t时,其a=-3与原方程的特征根不同则以yp(t)=c3te

t代入方程et5e3t14比较双方得c3=1,yp(t)=e3最后,此微分方程的完全响应为3）求完全解解得c1=6注:

特解的系数首先求得,

c2=6齐次解的系数经初始条件最后得到y

(0)=c1

+c2+1=115最后,此微分方程的完全响应为3）求完全解解得c1=6§2.3零输入、零状态响应的求法与单位冲激响应的求法一.零输入、零状态响应的求法

1.零输入响应的解法零输入响应就是当激励x(t)=0,仅由y(0)初始条件引起的响应例y(0)=1,y'(0)=016§2.3零输入、零状态响应的求法一.零输入、零状态由初始条件c1=1,c2=2注:初始条件已经形成了零输入响应特征根为1=1,2=1/2y0(t)=c1e

t+c2e

1/2ty0入(t)=(–e

-t+2e

1/2t)u(t)y(0)=1,y'(0)=017由初始条件c1=1,c2=2注:初始条件已第一步求齐次解 (2+3/2+1/2)=0

得两个实根1,1/2

例2.零状态响应yh(t)=c1e

t+c2e

1/2ty(0)=0,y'(0)=018第一步求齐次解例2.零状态响应yh(t)第二步求特解以yp(t)=ce

3t代入原方程（由于3不是特征根）,得c=1

yp(t)=e

3t

19第二步求特解以yp(t)=ce3t代入原方第三步求零状态解代入零初始条件得解得:y(t)=c1e

t+c2e

1/2t+e

3ty(0)=0,y'(0)=0c1

=-5c2

=420第三步求零状态解代入零初始条件得解得:y(t)=c13.完全响应完全响应=零输入响应+零状态响应 =[6et+6e½t+e3t]u(t)自然响应受迫响应213.完全响应完全响应=零输入响应+零状态响应自然响应受分析以上响应自然响应

6et+6e½t

与系统的特征根有关受迫响应

e3t

与激励信号的形式有关暂态响应当t响应0则为暂态响应稳态响应当t

响应0则为稳态响应22分析以上响应224.系统边界条件从0–到0+的跳变1.一般题目给的初始条件都是

0–初始条件,称起始条件2.一般输入信号0–与0+初始条件没有跳变3.当输入信号有(t)或'(t)等时,才会有跳变4.一般有3种方法,此处只介绍

系数匹配法,其他两种方法自学（见p47和习题p46-47）234.系统边界条件从0–到0+的跳变1.一般题目给的初

（1）解:右端有(t)

,则i(0+)0为保证（1）式平衡

必然,因为只有u(t)求导后出现(t)

而i(0–)=0,则在t=0处有一幅值为的跃升例24（1）解:右端有(t),则i(0+)

例2解:右端为(t),为使出现(t),则必须使即y'(0+)

y'(0–)=1,因为只有u(t)再求导一次才出现(t).同时必须满足即y(0+)

=

y(0–)=1不会有跳变,否则yt求导两次就出现'(t),（2）式左右无法平衡（2）25例2（2）25二、单位冲激响应的算法1.定义

所谓单位冲激响应h(t)是系统在单位冲激激励的情况下的零状态响应所谓单位阶跃响应s(t)是系统在单位阶跃激励的情况下的零状态响应注意四点:1.单位:冲激的强度为1 2.零状态,即初态为零 3.h(t)代表系统本身的固有性质 4.26二、单位冲激响应的算法1.定义所谓单位冲激响应h(t例1此系统表示输入x(t)与输出y(t)之间的模拟关系T∑xtyt当xt=

t

时,则–

xt=u(tT)响应为一个方波波形27例1此系统表示输入x(t)与输出y(t)之间的模拟关系T例2已知RC积分电路的RC常数为1,求该电路的冲激响应h(t)解:

++--RCxtytRi(t)+yt=xt方程为∵RC=128例2已知RC积分电路的RC常数为1,求该电解:冲激响应其零输入响应可以求得为ce-t将方程两边乘以e-t=et

得双方从0→t积分上式改写为29冲激响应其零输入响应可以求得为ce-t将方程两边乘以以上两例是从特殊的问题入手求得h(t),可否有一般具有规律性的方法？

●注意到例2的结果,et与系统的特征根有关,它不是偶然的,必然有规律可循。2.把冲激响应的零状态响应转化为零输入响应的求解法（1）此方法是对这样的一般微分方程求解h(t)响应的问题30以上两例是从特殊的问题入手求得h(t),它把求零状态响应的问题变为零输入响应的问题,它具有一般性方法的中心思想就是利用奇异函数的这种能力,把输入激励

t

函数,变成系统的初态,从而把求解零状态响应的问题变成仅由初态引起的零输入响应的问题。31它把求零状态响应的问题变为零输入响应方法的中心思想就是利用奇这跳变应当是最高阶导数项系数的倒数1/an此处an=1低阶导数项的初始条件仍为零从方程式(1)两边平衡考虑:由于等式右端仅有t项,则左端第n项导数产生,则必然使(n-1)次导数项,在t=0处,有个阶跃跳变。而其它项皆应为零。32这跳变应当是最高阶导数项系数的倒数1/an从方程式(1)两边电路的微分方程为解:把以上函数转变为系统的初始状态(D+1)h(t)=0可见与例２的结果一样,但计算较为简便。例3重做前面的例２h(0+)=1D1=133电路的微分方程为解:把以上函数转变为系统的初始状态(D（2）当等式右端有

t

的求导数项时第一步:设bm=bm1=

b1=0设右端仅有

t项则求出第二步:再把进行等式右端的运算34（2）当等式右端有t的求导数项时第一步:设b例4方程求h(t)=?解:

方程为第一步求35例4方程求h(t)=?解:方程为第一步求35特征方程

P2+4P+3=(P+1)(P+3)=0得第二步求h(t)=?36特征方程P2+4P+3=(P+1)(P+3)§2.4卷积积分1.用冲击函数表示任意信号问题的提出

我们已经习惯了信号是指数函数,三角函数,阶跃函数等,

当输入信号为任意信号时,没有解析式可表示,怎么办呢？37§2.4卷积积分1.用冲击函数表示任意信号37ttt用一系列的冲激信号来表示xttxtxt38ttt用一系列的冲激信号来表示xttxtxt当0,k0连续变量

dt,t

ktxkx在时域中,把任意函数分解为无限多个冲激函数的叠加积分表示式39当0,k0连续变量在时域中,多点抽样一点抽样比较

t的位移性质40多点抽样一点抽样比较t的位移性质402.卷积积分输入t

t

k

xkt

k

xkt

k输出

h(t)系统的单位冲激响应

ht

k

系统的时不变性

xkht

k系统的比例性

xkht

k系统的叠加性412.卷积积分输入4242讨论几个问题1）以上卷积公式（1）如果x

的信号是一个有始信号,从零开始则(1)式的积分下限从零开始2）当系统为因果系统时ht

中,当t

<0即>t时,ht

=0 当t

>0即<t时,ht

0则(1)式的积分上限为t43讨论几个问题1）以上卷积公式（1）如果x的3)有始信号作用于因果系统,其响应激励函数作用于系统的时间反映了h

在轴上移动的距离, 亦是系统的输出时间t响应与输入的持续时间 是重设的自变量,t是参变量它是从0开始到t对输入函数的参数积分４）卷积积分得到的是LTI系统的零状态响应443)有始信号作用于因果系统,其响应激励函§2.5卷积积分的运算和图解例1

x(t)=eatu(t)h(t)=u(t)utt01t1t进行卷积积分运算xthtt00045§2.5卷积积分的运算和图解例11t1t进行卷积积分运第一步翻转x

变为xx=ea

u()xh

t046第一步翻转x变为xx=第二步按区域的特点移动x

1)在<t0

yt=0th

t047第二步按区域的特点移动xtht0472)在0<t<t0t1t0xh

482)在0<t<t0t1t0xh4t12)在0<t<t0h

t049t12)在0<t<t0ht0491t0h

x3)在

t>t0区间501t0hx3)在t>t0区间50ttttt13)在

t>t0区间h

x51ttttt13)在t>t0区间hx0y(t)t520y(t)t52例2任意函数与

t函数卷积的结果t-TT01-TT0求x1t

x2t

x1tx2tt53例2任意函数与t函数卷积的结果t-TT0解:∵

x1t=

t+T+

tTx1t

x2t=x1t

t+T+

tT =x1t+T+x1tTt1T2T-Tx1t

x2t54解:∵x1t=t+T+tT例３已知f1t和f2t的图形如图示,试计算卷积积分f1t

f2t17t2t225½55例３已知f1t和f2t的图形如图示,试计解:1）翻转f1

f1

则前后沿点A、B的坐标就确定了

f1

反转之后不动则为=0A点:t=0,=1=t

1B点:t=0,=7=t

72-1-7ABf1

56解:1）翻转f1f1则前后沿2

t7t1两波形从不接触开始到完全脱离为止2）平移f1

f1t

572t7t1两波形从不接触开始到完全脱离为止2）平移3）分时段计算y(t)(a)若t1<2,即t<3,则y(t)=0t7t1252½583）分时段计算y(t)(a)若t1<2,(b)若2<t1<5即3<t<6t7t1252½59(b)若2<t1<5即3<t<6(c)若t1>5,t7<2即6<t<9t7t12560(c)若t1>5,t7<2即6(d)若2<t-7<5即9<t<12t7t12561(d)若2<t-7<5即9<t<12t7t12(e)若t-7>5,即t>12y(t)=0½t7t125262(e)若t-7>5,即t>12y(t)0t<3t33<t<636<t<912t9<t<120t>12y(t)=336912ty(t)630t<3t33<t<63§2.6卷积积分的性质1.卷积运算满足交换律,即

x1t

x2t=x2t

x1t

x1t与x2t的位置可以交换2.结合律x1t

[x2t

x3t]=[x1t

x2t]

x3t64§2.6卷积积分的性质1.卷积运算满足交换律,即6对于两个子系统级联的系统1）两系统级联的单位冲激响应为子系统单位冲激相应的卷积即ht=h1t

h2t=h2t

h1th1tw(t)h2ty(t)xty(t)ht=h1t

h2txth2tw(t)h1ty(t)xt65对于两个子系统级联的系统1）两系统级联的单位冲激响应为子系统2）级联的单位冲激与子系统连接的次序无关

yt=[xt

h1t]

h2t=xt

[h1t

h2t] =[xt

h2t]

h1t662）级联的单位冲激与子系统连接的次序无关663、分配律对于一个并联系统而言两个子系统并联构成的系统,其单位冲激响应为两个子系统单位冲激响应之和x1t

[x2t+

x3t]=x1t

x2t+x1t

x3tyt=xt

h1t+

xt

h2t=xt

[h1t+

h2t]=xt

hth1th2txtyt673、分配律对于一个并联系统而言两个子系统并联构成的系统,其4.微积分性质微分性质

如果x1t=

x2tx3t

则x1(1)t=

x2(1)

tx3t=

x2tx3(1)

t对于n阶导数有x1(n)t=

x2(n)tx3t=

x2tx3(n)t积分性质

如果x1t=

x2tx3t 则x1(-1)t=

x2(-1)

tx3t=

x2tx3(-1)

t推广之则有x1(-m)t=

x2(-m)

tx3t=

x2tx3(-m)

t684.微积分性质685.任意函数与

t的卷积

xt

t=xt xt

tT=xtT695.任意函数与t的卷积69例1

求x1tx2t=?

注:负号为积分,正号为微分x1tx2t=

x1(-2)tx2(+2)

t70例1求x1tx2t=?注:负号为积分,11t112tt-11t7111t112tt-11t711t12(-2)(1)t(1)721t12(-2)(1)t(1)720其它123t730tt17252½例2用微分性质做2.5的例2:求f(t)=f1tf2t74tt17252½例2用微分性质做2.5的例2:求f(t解:

75解:75tt(2)(2)17½(t-2)u(t-2)-1/2(t-5)u(t-5)253691203s(t)t76tt(2)(2)17½(t-2)u(t-2)-1/2(t-50t<3t33<t<636<t<912t9<t<120t>12s(t)=结果与图解法一样,但方便多了770t<3t33<t<63§2.9连续时间系统的模拟一、模拟图的意义htyt1.对信号xt通过系统ht求响应yt的问题,已经学习了两种时域分析法:微分方程法和卷积积分法

2.用模拟图描述以上LTI的输入与输出之间的关系3.模拟图不是唯一的,常用的是标准型或直接Ⅱ型xt78§2.9连续时间系统的模拟一、模拟图的意义hty二、模拟图的种类1、时域频域2、加法器倍乘器a积分器复频域连续离散复频域基本运算单元79二、模拟图的种类1、时域频域2、加法y(t)x(t)y(0)三、用微分方程指定的连续时间系统的模拟图

1、等式右端无导数项

例1:y'+a0y=x的方程步骤:1)把输出函数的最高阶导数项放在左边其余项目都放在右边y'=

a0y+x2)经过若干个积分器,这里只需要一个积分器,可得到y(t)80y(t)x(t)y(0)三、用微分方程指定的连续时间系统的3)通过各个标量乘法器,送到第一个积分器之前与输入相加得到最高阶导数项x(t)y(t)x(t)y(0)y(t)y(0）=0813)通过各个标量乘法器,送到第一个积分器之前与输入相加得到2.当等式右端有x的导数项时的模拟方法

例

y''+a1y'+a0y=

b1x'+

b0x的模拟图设q''+a1q'+a0q=x（1）则y(t)=

b1q'+b0q（2）证明:以y(t)=

b1q'+b0q代入原方程得其中x

=q''+a1q'+a0q822.当等式右端有x的导数项时的模拟方法证明:a1a0b0b1

∑∑

x(t)

y(t)先进行第一个微分方程的运算,形成下环部分的模拟图,再进行第二个微分方程的运算,形成上环部分的模拟图。此为正准型模拟图如果没有特殊要求,按此模拟图描述系统醉方方便q''=x(t)

a1q'

a0qqq'q''83a1a0b0b1∑∑x(t)y(t)先进行第一以上模拟图可转化为下面直接Ⅱ型的形式84以上模拟图可转化为下面直接Ⅱ型的形式841）我们记对前面的①式进行n次积分得①3.直接Ⅱ型的导出注:

这里正号为积分,负号为微分851）我们记对前面的①式进行n次积分得①3.直接Ⅱ型的导出注286286输入输出特性与级联次序无关,如何从直接Ⅰ型转到直接Ⅱ型？左右交换位置,两个积分器合并。直接Ⅱ型87输入输出特性与级联次序无关,如何从直接Ⅰ型转到直接Ⅱ型？左直接Ⅱ型所用的积分器最少,所以也称为正准型,此式与前面的（2）式一样。一般微分方程:此直接Ⅱ型的输入输出关系为:直接Ⅰ型和直接Ⅱ型的模拟图见下页88直接Ⅱ型所用的积分器最少,所以也称为正准型,此式与前面的直接Ⅰ型++++++++89直接Ⅰ型++++++++89直接Ⅱ型++++++++90直接Ⅱ型++++++++90

第二章小结

1.微分方程的列写方法

首先明确输入与输出变量,并标出其正方向；按基式定律列出电路的方程,消去中间变量,经整理得微分方程;必须注明输出变量的初始条件（如为其他系统,则其内在物理规律列写方程)91第二章小结1.微分方程的列写方法912.微分方程的经典解法

完全解=齐次通解+特解求齐次解的步骤:首先根据微分方程的特征方程求出特征根,根据特征根的形式和p41-p42表2-1写出齐次通解的形式；根据输入信号的形式和p42表2-2写出特解的形式；根据所给的初始条件确定齐次通解中的系数。922.微分方程的经典解法923.零输入与零状态响应的解法

完全解=零输入响应+零状态响应

求解步骤:零输入响应模式相当于齐次解,其待定系数由系统的起始状态决定

零状态响应解法:首先写出其齐次通解的模式,根据输入及44页表2-2写出特解的形式。两者相加,得到零状态响应,再代入初始条件为零的边界条件,确定其齐次解的系数。933.零输入与零状态响应的解法93 4.微分方程解的分析:完全解=齐次通解+特解=零输入解+零状态解=暂态解+稳定解=自由响应+强迫响应自然响应:

与系统的特征方程的根有关（固有频率）在零输入,零状态响应中皆可能有受迫响应:

仅由输入信号引起的响应,只存在于零状态响应之中暂态响应:

当t→时,响应趋于零的那部分响应稳态响应:

当t→时,仍保留下来的那部分分量94 4.微分方程解的分析:945.0_到0+状态的转换（1）系统原有的再输入信号作用前的状态,即0_起始状态（2）当要确定齐次通解的系数时,必须要求得到系统的0+状态,称为初始状态,即系统的边界条件（3）当微分方程右端即输入没有(t)及其导数项时,一般y0_=y0+

（4）当等式右端有(t)及其导数项时,用(t)系数匹配法,即左右必须平衡的原则来确定0+的跳变,亦可以根据系统的线性时不变绕过边界跳变的问题955.0_到0+状态的转换（1）系统原有的再输入信号6.卷积积分（1）信号表示为冲击函数的移位加权积分（2）信号通过系统的零状态响应（3）对有始信号,因果系统的响应966.卷积积分（1）信号表示为冲击函数的移位加权积分96（4）借助图解计算卷积的步骤:a.把xt或ht任一函数反转:一般反转简单的从t=0起始的波形b.反转以后不动,确定反转之后、波形前后沿

的坐标（与t的关系式）c.把反转后的波形与另一波形从不接触开始,逐段计算,一直扫描到两个勃兴完全脱离为止,写出各段的计算结果d.写出结果表达式,并画出结果波形97（4）借助图解计算卷积的步骤:97 （5）卷积积分的性质:

a.卷积满足交换律、结合律、分配律,相当于子系统的串接ht=h1th1t

并接ht=h1t+h1t

b.卷积的微积分性质c.任意函数与冲激函数的卷积98 （5）卷积积分的性质:98

7.单位冲激响应ht

的求法a.ht是系统在

t

作用下的零状态响应b.可以把

t化为0+时的初始状态,用零输入的解法得到htc.当等式右方有

t的求导项等多项时,先求（此时右端只有

t),然后对进行等式右端的运算d.可以求出单位阶跃响应s

t,然后得hte.在学了拉式变换以后可知有更简便的方法求ht99 7.单位冲激响应ht的求法998.连续时间系统的模拟

由常系数线性微分方程指出的LTI系统的方框图表示,即模拟图。基本运算单元有相加器、系数倍乘器和积分器,得到的模拟图分为直接Ⅰ型和Ⅱ型。直接Ⅱ型是比较规范的模拟图形式,需熟练掌握。1008.连续时间系统的模拟由常系数线性微分方程指出的LT连续时间系统的时域分析第二章101连续时间系统的时域分析第二章1第二章连续时间系统的时域分析102第二章连续时间系统的时域分析2第二章连续时间系统的时域分析

2.1引言

2.2LTI系统的微分方程表示及其响应

2.3零输入响应和零状态响应

2.4卷积积分

2.5卷积积分的运算和图解

2.6卷积积分的性质

2.7奇异函数

2.8卷积积分的数值解

2.9连续时间系统的模拟103第二章连续时间系统的时域分析

2.1引言

2.2LTI时域解法微分方程法经典法齐次解特解零输入响应零状态响应卷积积分零状态响应冲激函数用冲激函数表示任意时间信号冲激响应h(t)的求法卷积积分的定义式卷积积分的图解法卷积积分的数值法或连续时间系统§2.1引言104时域解法微分方程法齐次解特解零输入响应零状态响应卷积积分冲激系统数学模型的时域表示时域分析方法：不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。本章主要讨论输入、输出描述法。第9章将讨论状态变量分析法。输入输出描述：一元N阶微分方程状态变量描述：N元一阶微分方程105系统数学模型的时域表示时域分析方法：不涉及任何变换，直接求解§2.2LTI系统的微分方程表示及其响应1、电路微分方程的列写1）什么是输入iS(t)

,什么是输出iL(t)2）按照基氏第一(i=0)、第二定律(u=0)列出电路方程3）一般要给出所求变量iL(t)

的初始条件:

iL(0)和iL'(0)C=1/4FiL(t)iC(t)iS(t)R1=1R2=5L=2H>v106§2.2LTI系统的微分方程表示及其响应1、电路微分方例题:列写第二个回路的电压方程,即(1)(2)(2)代入(1)得iL(0)=A,iL(0)=B107例题:列写第二个回路的电压方程,即(1)(2)(2)代 注意1）应当有初始条件2）有时为了书写方便,把d/dt=P或d/dt=D上面的微分方程可写成以下微分算子的形式(D2+3D+2)iL(t)=(½D+2)is(t)3）把以上微分方程推广到一般的情况输入为m阶导数,输出为n阶导数方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。108 注意输入为m阶导数,输出为n阶导数8一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为t0+时的方程的解，

初始条件:齐次解:由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意：重根情况处理方法特解:根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数Ak2.微分方程的经典解法109一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为t齐次微分方程特征方程特征根齐次解形式：（和特征根有关）齐次解2.微分方程的经典解法1,2,…,n110齐次微分方程特征方程特征根齐次解形式：（和特征根有关）齐次解特征根齐次解的形式单根

=rk重实根

=rk重复根1,2

=j2.微分方程的经典解法certc1ert+c2tert+…+cktk-1ert

1,2

=jc1etcos

t

+c2etsin

t

c1etcost

+c2tetcost

+…+cmtm-1etcos

t

+d1etsint

+d2tetsint

+…+dmtm-1etsint

111特征根齐次解的形式单根=rk重实根=r激励函数e(t)响应函数r(t)的特解或当a是k重特征根时当a＋jb不是特征根当a＋jb是特征根2.微分方程的经典解法112激励函数e(t)响应函数r(t)的特解或当a是k2.微分方程的经典解法例:1)求齐次解:特征方程为

(2+3/2+1/2)=0两个特征根为1=1,2=1/2根据特征根的形式确定它的齐次解的形式则yh(t)=c1e

t+c2e

1/2ty(0)=1,y'(0)=0y(t)=yh(t)+yp(t)yh(t)为齐次解,yp(t)为特解1132.微分方程的经典解法例:1)求齐次解:特征方程为比较双方得c3

=1,yp(t)=e

3t2）求特解对于方程

(D2+3/2D+1/2)y(t)=x(t)=当输入为et时,其a=1,与原方程的特征根相同则:yp(t)=c3te

t当输入为5e3t时,其a=-3与原方程的特征根不同则以yp(t)=c3te

t代入方程et5e3t114比较双方得c3=1,yp(t)=e3最后,此微分方程的完全响应为3）求完全解解得c1=6注:

特解的系数首先求得,

c2=6齐次解的系数经初始条件最后得到y

(0)=c1

+c2+1=1115最后,此微分方程的完全响应为3）求完全解解得c1=6§2.3零输入、零状态响应的求法与单位冲激响应的求法一.零输入、零状态响应的求法

1.零输入响应的解法零输入响应就是当激励x(t)=0,仅由y(0)初始条件引起的响应例y(0)=1,y'(0)=0116§2.3零输入、零状态响应的求法一.零输入、零状态由初始条件c1=1,c2=2注:初始条件已经形成了零输入响应特征根为1=1,2=1/2y0(t)=c1e

t+c2e

1/2ty0入(t)=(–e

-t+2e

1/2t)u(t)y(0)=1,y'(0)=0117由初始条件c1=1,c2=2注:初始条件已第一步求齐次解 (2+3/2+1/2)=0

得两个实根1,1/2

例2.零状态响应yh(t)=c1e

t+c2e

1/2ty(0)=0,y'(0)=0118第一步求齐次解例2.零状态响应yh(t)第二步求特解以yp(t)=ce

3t代入原方程（由于3不是特征根）,得c=1

yp(t)=e

3t

119第二步求特解以yp(t)=ce3t代入原方第三步求零状态解代入零初始条件得解得:y(t)=c1e

t+c2e

1/2t+e

3ty(0)=0,y'(0)=0c1

=-5c2

=4120第三步求零状态解代入零初始条件得解得:y(t)=c13.完全响应完全响应=零输入响应+零状态响应 =[6et+6e½t+e3t]u(t)自然响应受迫响应1213.完全响应完全响应=零输入响应+零状态响应自然响应受分析以上响应自然响应

6et+6e½t

与系统的特征根有关受迫响应

e3t

与激励信号的形式有关暂态响应当t响应0则为暂态响应稳态响应当t

响应0则为稳态响应122分析以上响应224.系统边界条件从0–到0+的跳变1.一般题目给的初始条件都是

0–初始条件,称起始条件2.一般输入信号0–与0+初始条件没有跳变3.当输入信号有(t)或'(t)等时,才会有跳变4.一般有3种方法,此处只介绍

系数匹配法,其他两种方法自学（见p47和习题p46-47）1234.系统边界条件从0–到0+的跳变1.一般题目给的初

（1）解:右端有(t)

,则i(0+)0为保证（1）式平衡

必然,因为只有u(t)求导后出现(t)

而i(0–)=0,则在t=0处有一幅值为的跃升例124（1）解:右端有(t),则i(0+)

例2解:右端为(t),为使出现(t),则必须使即y'(0+)

y'(0–)=1,因为只有u(t)再求导一次才出现(t).同时必须满足即y(0+)

=

y(0–)=1不会有跳变,否则yt求导两次就出现'(t),（2）式左右无法平衡（2）125例2（2）25二、单位冲激响应的算法1.定义

所谓单位冲激响应h(t)是系统在单位冲激激励的情况下的零状态响应所谓单位阶跃响应s(t)是系统在单位阶跃激励的情况下的零状态响应注意四点:1.单位:冲激的强度为1 2.零状态,即初态为零 3.h(t)代表系统本身的固有性质 4.126二、单位冲激响应的算法1.定义所谓单位冲激响应h(t例1此系统表示输入x(t)与输出y(t)之间的模拟关系T∑xtyt当xt=

t

时,则–

xt=u(tT)响应为一个方波波形127例1此系统表示输入x(t)与输出y(t)之间的模拟关系T例2已知RC积分电路的RC常数为1,求该电路的冲激响应h(t)解:

++--RCxtytRi(t)+yt=xt方程为∵RC=1128例2已知RC积分电路的RC常数为1,求该电解:冲激响应其零输入响应可以求得为ce-t将方程两边乘以e-t=et

得双方从0→t积分上式改写为129冲激响应其零输入响应可以求得为ce-t将方程两边乘以以上两例是从特殊的问题入手求得h(t),可否有一般具有规律性的方法？

●注意到例2的结果,et与系统的特征根有关,它不是偶然的,必然有规律可循。2.把冲激响应的零状态响应转化为零输入响应的求解法（1）此方法是对这样的一般微分方程求解h(t)响应的问题130以上两例是从特殊的问题入手求得h(t),它把求零状态响应的问题变为零输入响应的问题,它具有一般性方法的中心思想就是利用奇异函数的这种能力,把输入激励

t

函数,变成系统的初态,从而把求解零状态响应的问题变成仅由初态引起的零输入响应的问题。131它把求零状态响应的问题变为零输入响应方法的中心思想就是利用奇这跳变应当是最高阶导数项系数的倒数1/an此处an=1低阶导数项的初始条件仍为零从方程式(1)两边平衡考虑:由于等式右端仅有t项,则左端第n项导数产生,则必然使(n-1)次导数项,在t=0处,有个阶跃跳变。而其它项皆应为零。132这跳变应当是最高阶导数项系数的倒数1/an从方程式(1)两边电路的微分方程为解:把以上函数转变为系统的初始状态(D+1)h(t)=0可见与例２的结果一样,但计算较为简便。例3重做前面的例２h(0+)=1D1=1133电路的微分方程为解:把以上函数转变为系统的初始状态(D（2）当等式右端有

t

的求导数项时第一步:设bm=bm1=

b1=0设右端仅有

t项则求出第二步:再把进行等式右端的运算134（2）当等式右端有t的求导数项时第一步:设b例4方程求h(t)=?解:

方程为第一步求135例4方程求h(t)=?解:方程为第一步求35特征方程

P2+4P+3=(P+1)(P+3)=0得第二步求h(t)=?136特征方程P2+4P+3=(P+1)(P+3)§2.4卷积积分1.用冲击函数表示任意信号问题的提出

我们已经习惯了信号是指数函数,三角函数,阶跃函数等,

当输入信号为任意信号时,没有解析式可表示,怎么办呢？137§2.4卷积积分1.用冲击函数表示任意信号37ttt用一系列的冲激信号来表示xttxtxt138ttt用一系列的冲激信号来表示xttxtxt当0,k0连续变量

dt,t

ktxkx在时域中,把任意函数分解为无限多个冲激函数的叠加积分表示式139当0,k0连续变量在时域中,多点抽样一点抽样比较

t的位移性质140多点抽样一点抽样比较t的位移性质402.卷积积分输入t

t

k

xkt

k

xkt

k输出

h(t)系统的单位冲激响应

ht

k

系统的时不变性

xkht

k系统的比例性

xkht

k系统的叠加性1412.卷积积分输入14242讨论几个问题1）以上卷积公式（1）如果x

的信号是一个有始信号,从零开始则(1)式的积分下限从零开始2）当系统为因果系统时ht

中,当t

<0即>t时,ht

=0 当t

>0即<t时,ht

0则(1)式的积分上限为t143讨论几个问题1）以上卷积公式（1）如果x的3)有始信号作用于因果系统,其响应激励函数作用于系统的时间反映了h

在轴上移动的距离, 亦是系统的输出时间t响应与输入的持续时间 是重设的自变量,t是参变量它是从0开始到t对输入函数的参数积分４）卷积积分得到的是LTI系统的零状态响应1443)有始信号作用于因果系统,其响应激励函§2.5卷积积分的运算和图解例1

x(t)=eatu(t)h(t)=u(t)utt01t1t进行卷积积分运算xthtt000145§2.5卷积积分的运算和图解例11t1t进行卷积积分运第一步翻转x

变为xx=ea

u()xh

t0146第一步翻转x变为xx=第二步按区域的特点移动x

1)在<t0

yt=0th

t0147第二步按区域的特点移动xtht0472)在0<t<t0t1t0xh

1482)在0<t<t0t1t0xh4t12)在0<t<t0h

t0149t12)在0<t<t0ht0491t0h

x3)在

t>t0区间1501t0hx3)在t>t0区间50ttttt13)在

t>t0区间h

x151ttttt13)在t>t0区间hx0y(t)t1520y(t)t52例2任意函数与

t函数卷积的结果t-TT01-TT0求x1t

x2t

x1tx2tt153例2任意函数与t函数卷积的结果t-TT0解:∵

x1t=

t+T+

tTx1t

x2t=x1t

t+T+

tT =x1t+T+x1tTt1T2T-Tx1t

x2t154解:∵x1t=t+T+tT例３已知f1t和f2t的图形如图示,试计算卷积积分f1t

f2t17t2t225½155例３已知f1t和f2t的图形如图示,试计解:1）翻转f1

f1

则前后沿点A、B的坐标就确定了

f1

反转之后不动则为=0A点:t=0,=1=t

1B点:t=0,=7=t

72-1-7ABf1

156解:1）翻转f1f1则前后沿2

t7t1两波形从不接触开始到完全脱离为止2）平移f1

f1t

1572t7t1两波形从不接触开始到完全脱离为止2）平移3）分时段计算y(t)(a)若t1<2,即t<3,则y(t)=0t7t1252½1583）分时段计算y(t)(a)若t1<2,(b)若2<t1<5即3<t<6t7t1252½159(b)若2<t1<5即3<t<6(c)若t1>5,t7<2即6<t<9t7t125160(c)若t1>5,t7<2即6(d)若2<t-7<5即9<t<12t7t125161(d)若2<t-7<5即9<t<12t7t12(e)若t-7>5,即t>12y(t)=0½t7t1252162(e)若t-7>5,即t>12y(t)0t<3t33<t<636<t<912t9<t<120t>12y(t)=336912ty(t)1630t<3t33<t<63§2.6卷积积分的性质1.卷积运算满足交换律,即

x1t

x2t=x2t

x1t

x1t与x2t的位置可以交换2.结合律x1t

[x2t

x3t]=[x1t

x2t]

x3t164§2.6卷积积分的性质1.卷积运算满足交换律,即6对于两个子系统级联的系统1）两系统级联的单位冲激响应为子系统单位冲激相应的卷积即ht=h1t

h2t=h2t

h1th1tw(t)h2ty(t)xty(t)ht=h1t

h2txth2tw(t)h1ty(t)xt16