信号与系统讨论课课题目

一.卷积的高阶微分与积分性质的应用中的适用性问题f

(i)

(t)

f

(

j

)

(t)*

f

(i

j

)

(t)1

2特别的无21-

?tdf

(t)dtf

(t)

=

1

*

ò

f2

(t

)dt1无21f

2f

et

1u

t

1f1

t

*2f1

t

1

u(t

1)f1

(t)*

f2

(t)

[1

u(t

1)]*

e(t

1)u(t

1)

1*

e(t

1)u(t

1)

u(t

1)

*

e(t

1)u(t

1)

1

(1

et

)u(t)f1

(t

)

*无21f

2

(t

)df1

(t

)

*2f

(

)d

(1

e

t

)u

(t

)tdtf1(t)

E

u(t

1)诠释：事实上，卷积的微分积分定理的运用是有条件得到，这可从下面过 看出。可由图形验证解一是正确的，然而解一和解二都利用了微分积分特性，那么解二错在哪里无212无21f

(t

)dt¥tòdf(t

)

1

*dt(

)

1

2f

(x)d

xdt?-

??dft

tt蝌dt=?

t

t=

蝌

f2

(x)dxdf1

(t

)12=

-

f1

(-

?¥)

ò

f2

(x)dx-

?f1

(t)*

f2

(t)=

f

(t

)t

)dt-

?

??+

f1

(t

)

f2

(t

--

?-

??蝌t-

2f

(x)dx

|¥由此可以看出，若要无21f1(t)*f2

(t)

成立，应有1f

()

0

或2f

(

)d

0f1

()

0u(t

1)处为事实上，由推导可以看出，直接对1+u（t-1)进行微分积分运算，会比正确值多出无21这一项。

f1

()

f2

(

)d由此也不难解释书中P69页中<需要注意的是常数信号f

(t)

E

(-

t

)经微分为0，这种情况需特殊考虑>这句话。其实质就是当t

-时，f

(t)

E

0,因而不能直接利用微分积分定理。[]-¥12,

f

(t)

=

sin

t

u(t)

-

u(t

-

2p

)

，¥2.

若ò

f2

(x)dx

=0。-

?-

t取f

(t)=e可知f2

(t)限信，且ゥ蝌f2

(x)dx

=-

?sin

t

[u(t

)?2p-

u(t

- 2p

)]dt

=

?0可出一例明确定也有tdf

(t)dtf1

(t)*f2

(t)=

1

*

ò

f2

(t

)dtsin

t

dt

=

0,在以下推 利用到以下

分 果，2p

2p令I1

=

ò

e

sin

t

dt

,

I

=

ò

e

cos

t

dt

,t

t20

0有，无21e(t

)

sin

u(

)

u(t

2

)d无21102

1

e2

I11

e2e2

I1

,

I2

I1

f1

(t)*

f2

(t)

I

sin

|cos

e

d12220直接计算，022t1

e2

e

e

sin

d

et

df1

(t)

*2tfdt

e(t

)

(1

cos

)

u(

)

u(

2

(e

)

*

sin

u(

)

-利e2无21

f1

(t

)

*

f2

(t)12t

e由此可知，尽管无21f1(t)

在但由于t

时并不为0，f2

(

)d

0，从而使得微分t若

lim

f1(t)

0

或

，那么有积分定理依然能够应用。结论：综上所述，微分积分定理可表述如下：f2

(t)

0tdf

(t)dtf1

(t)*f2

(t)

1

*

f2

(

)d2004-3-31电子工程系13无21推论:当f1(t)和f2

(t)均为时限信号或因果信号时，总有：ttdf

(t)dtdf

(t)dtf1

(t)*

f2

(t)

1

*

f2

(

)d

f2

(

)d

*

2

[

f1

*

f2

]*

f3无21=

f1

*[

f2

*

f3

]疑问:

取f

=

1+

et

,

f

=

d'

(t),

f

=

u(t),可得1

2

3[

f

*

f

]*

f

=

et

*u(t)

=

et1

2

3f

*[

f

*

f

]

=

1+

et1

2

3很明显,这两式的结果不相等,说明结合律并非普遍成立的,其成立是有条件的.无21f1

*

f2

*

f3d'(t

- l

)u(t

- t

)dtd(t

)d(t

-

l

- t

)dtゥ-

?=

蝌(1+

el

)?ゥ-

?=

蝌(1+

el

)?t

=

l无21t

=

ld2

(t

)dtゥ-

?蝌(1+

el

)?d2

(t

)d(t)f1

(t)无21因此，小组认为，由于冲激偶函数的奇异性质，从而使得结合律也就不再成立了。这也说明，当多个函数卷积积分中出现冲激偶函数时，一定要慎重使用卷积的结合律性质。另： 组经 认为，结合律成立的必要条件是两两卷积存在，但时间仓促，有待进一步考证若L[f1(t)]

F1(s[

f

(t)

2

(t)]

无21疑问:已知f

(t)

=

e-

tu(t),

f

(t)

=

e-

2tu(t

+

1),

试求信号1

2f

(t)

=

f1

(t)*

f2

(t).解:用卷积性质可得:无21f1

(t

)

f2

(t

-

t

)dte-

t

e-

2(t-

t

)u(t

)u(t

-

t

+

1)dt¥f

(t)

=

ò-

?¥-

?=ò=

[e-

(t-

1)

-e-

2t

]u(t

+

1)12f

(t)

=

L-

1[]

=

(e-

t

-

e-

2t

)u(t)但是若采用拉氏变换,可得1L[

f

(t)]

=s

+

11L[

f

(t)]

=s

+

2L[

f

(t)]

=

L[

f1

(t)*

f2

(t)]=

L[

f1

(t)]?

L[

f2

(t)]1(s

+

1)(s

+

2)1(s

+

1)(s

+

2)=显然得到结果与用直接卷积得到的结果不一致,后种解法错在哪儿呢?无21解释:对两函数取的是单边拉氏变换,而单边拉氏变换的作用域是(0,+),因此单边拉氏变换的时域卷积定理要求两信号是因果的.本例中f2

(t)为一非因果信号,因此导致了错误.事实上,求得的为f

(t)

etu(t)*

e2tu(t)表达式.无21Lb

[

f1

(t)]

==

es+

2另解:由上述,错误是由于单边拉氏变换的作用域为(0,1,

s

>

-

1s

+

11+ゥ)而引起的,如果一种变换的作用域是(- ,?)那么理论上可以通过此变换来解此题.由此可以考虑双边拉氏变换:L

[e-

2tu(t

+

1)]

=

L

[e-

2(t+

1)b

be2u(t

+

1)]s

+

2无21,

s

>

-

2

es21Fb

(s)

Lb

[

f1

(t)*

f2

(t)]

Fb1

(s)

Fb2

(s),

1(s

1)(s

2)1](s

1)(s

2)b1[es2f

(t)

L

e(t

1)u(t

1)

e2tu(t

1)所得结果与直接进行卷积的结果一致,可见此法是可行的.无21利用时域卷积定理