湘教版九年级数学上册第3章图形的相似课件

第3章图形的相似3.1

比例线段第3章图形的相似13.1比例线段

—比例的基本性质3.1比例线段—比例的基本性质2复习回顾

在小学，我们已经知道，如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数成比例.现在我们学习了实数，把这四个数理解为实数，写成式子就是：

如果a:b=c:d或，则称a，b，c，d成比例，其中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项.复习回顾在小学，我们已经知道，如果两个数的比值与另外3

如果a，b，c，d

成比例，即，那么ad=bc吗？在式子两边同乘bd，得ad=bc.如果a，b，c，d成比例，在式子4比例的基本性质:如果,那么ad=bc．比例的基本性质:如果,5

如果ad=bc，其中

a,b,c,d为非零实数，那么成立吗？与同伴交流！如果ad=bc，其中a,b,c,d为非零实数，6

例1已知四个非零实数a，b，c，d成比例，下列各式成立吗？若成立，请说明理由.①②④③例1已知四个非零实数a，b，c，d成比例，下列各式7由此得到

由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立.由①式得ad=bc.在上式两边同除以cd，得在①式两边都加上1，得由此得到由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，83.1比例线段

—比例的基本性质3.1比例线段—比例的基本性质9重点、难点重点：线段的比和成比例线段的概念及其有关计算.黄金分割的定义及黄金分割比的探索.难点：判断四个数或四条线段成比例.黄金分割点的定义及相关计算类问题.重点、难点重点：线段的比和成比例线段的概念及其有关计算.黄金10如图3-1，在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC和△A′B′C′，它们的顶点都在格点上.试求出线段AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长度，并计算AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的长度的比值.如图3-1，在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC11一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A′B′的比(ratio)，记作

，或AB∶A′B′＝m∶n.

如果的比值为k，那么上述式子也可写成：或AB

＝ｋ·A′B′.一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长12在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段.

例如，已知四条线段a，b,c，d，若

，则a，b，c，d是比例线段.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么13

已知线段a，b，c，d的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm，3cm，问a，b，c，d是比例线段吗？例题探究

∴

，即a，b，c，d是比例线段.解：已知线段a，b，c，d的长度分别为0.814黄金分割

古希腊数学家、天文学家欧多克塞斯(Eudoxus，约前400—约前347)曾经提出一个问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比？即使得成立？黄金分割古希腊数学家、天文学家欧多克塞斯(Eudox15如果这能做到的话，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比.

如果这能做到的话，那么称线段AB被点C黄金分割，点16

如图，设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为x个单位，则CB的长度为(1-x)个单位.①根据①式，列出方程：②

由于x≠0，因此方程②两边同乘x，得

1–x=x2，即

x2+x-1=0.

③如图，设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为①根据①17因为

解得（舍去）.所以我们一定可以把一条线段黄金分割，黄金分割比为,它约等于0.618.因为18

线段黄金分割的比值引起了人们极大的注意.

许多建筑物的轮廓矩形(例如古希腊时期的巴台农神庙的正面轮廓矩形)的高与宽之比，门窗的宽与高之比都约等于0.618，这样看上去美观.巴台农神庙线段黄金分割的比值引起了人们极大的注意.许多19印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比.印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比.20

著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用.通过上面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美.著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割21课堂小结线段之间的一种数量关系：四条线段成比例.感受到成比例线段围成的图形在形状上也有美妙的关系！认识了一个最特别的数，比值是它的线段围成的图形最美丽.课堂小结线段之间的一种数量关系：四条线段成比例.感受到成比例22第3章图形的相似3.2平行线分线段成比例第3章图形的相似23教学目标掌握基本事实：平行线分线段成比例.了解“两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等”，“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例”.重点：掌握平行线分线段成比例的基本事实以及推论的应用.难点：基本事实的理解以及推论的应用.教学目标掌握基本事实：平行线分线段成比例.24新课引入下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1,DD1互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？新课引入下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,25abc如图,已知直线a∥b∥c，直线l1，l2被直线a,b,c截得的线段分别为AB,BC和A1B1，B1C1，且AB=BC.abc如图,已知直线a∥b∥c，直线l1，l2被直线a,b26在△BAA2和△BCC2中，∠ABA2=∠CBC2，BA=BC，∠BAA2=∠BCC2，因此△BAA2

≌△BCC2，从而BA2=BC2,所以A1B1=B1C1.在△BAA2和△BCC2中，27

两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.

由此可以得到：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线28

如图，任意两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2相交的直线a，b，c，分别度量l1，l2被直线

a，b，c

截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度，与相等吗？任意平移直线c，再测量AB，BC，A1B1，B1C1的长度，与也相等吗？如图，任意两条直线l1，l2，再画三条与l1，l29eabcfd证明：假设，则把线段AB二等分，分点D.过点D作直线d∥a，交l2于点D1．如图，把线段BC三等分．三等分点为E，F，分别过点E，F作直线e∥a，f∥a，分别交l2于点E1,F1.eabcfd证明：假设，则把30湘教版九年级数学上册第3章图形的相似课件31湘教版九年级数学上册第3章图形的相似课件32由此得到以下基本事实：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例.由此得到以下基本事实：33例题探究如图，在△ABC中，已知DE∥BC，则和成立吗？为什么？例题探究如图，在△ABC中，已知DE∥BC，则34

如上图，过点A作直线MN，使MN∥DE，∵DE∥BC，∴MN∥DE∥BC.

同时还可以得到

因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截，则由平行线分线段成比例可知，如上图，过点A作直线MN，使MN∥DE，35

由此得到以下结论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.由此得到以下结论：平行于三角形一边的直线截36

如图，已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC=3，A1B1=1.5，求B1C1的长.解：由平行线分线段成比例可知，如图，已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC37课堂练习1．如图，AC，BD相交于点O，直线MN过点O，且BA//MN//CD，已知OA=3,OB=1,OD=2,求OC的长.课堂练习1．如图，AC，BD相交于点O，直线MN过点O，且B382.如图,点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AB=3，AD=2，EC=1.8,求AC的长.2.如图,点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥B39课堂小结1、两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等；2、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；3、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.课堂小结1、两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截40第3章图形的相似3.3

相似图形第3章图形的相似41教学目标1.认识日常生活中相似的图形，了解相似图形的概念，能正确识别相似的图形.2.让学生亲身经历观察、操作、探究相似图形的过程，进一步理解相似图形的本质特征，感知相似图形在现实生活中的应用.重点：认识相似图形，并学会画简单的相似图形的方法难点：画已知图形的相似形教学目标1.认识日常生活中相似的图形，了解相似图形的概念，能42新课引入分别观察下面两组图，说一说它们有什么相同和不同？新课引入分别观察下面两组图，说一说它们有什么相同和不同？43

直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的.

日常生活中我们会碰到很多这样形状相同、大小不一定相同的图形.

直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与44

如图，右边的△是由左边的△ABC

放大得到的.这两个三角形相似吗？分别度量它们的三个角和三条边，它们的对应角相等吗？对应边成比例吗？我发现这两个三角形相似，且它们的对应角相等，对应边成比例.如图，右边的△是由左边的△ABC放大得45

反过来，我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形.

如果△ABC与△A1B1C1相似，且点A1，B1，C1分别与点A，B，C对应，则记作：△ABC∽△A1B1C1，读作：△ABC相似于△A1B1C1.

由此得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.反过来，我们把三个角对应相等，且三条边对应成46

相似三角形的对应边的比叫作相似比.一般地，若△ABC与△A1B1C1的相似比为k，则△A1B1C1与△ABC的相似比为.特别地，如果相似比k=1，那么△ABC≌△A1B1C1.因此，三角形全等是三角形相似的特例.相似三角形的对应边的比叫作相似比.47例题探究

如图，已知△ABC

∽△A1B1C1，且∠A=48°，AB=8，A1B1=4，AC=6，求∠A1的大小和A1C1的长.例题探究如图，已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A=48解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠A=∠A1，又∵∠A=48°，AB=8，A1B1=4，AC=6，∴∠A1=48°，，得A1C1=3.解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠A=∠A1，又∵∠A=49

类似地，对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.

对于相似多边形，有相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

类似地，对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相50课堂练习已知△ADE∽△ABC，点A、D、E分别与点A、B、C对应，且相似比为

.

若DE=4cm，求BC的长.1.解：∵△ADE∽△ABC,∴∴课堂练习已知△ADE∽△ABC，点A、D、E分别与点1.解：51湘教版九年级数学上册第3章图形的相似课件52课堂小结多边形相似的定义：如果两个边数相同的多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.多边形相似特征：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似比：相似多边形的对应边的比叫作相似比.课堂小结多边形相似的定义：53第3章图形的相似3.4

相似三角形的判定与性质第3章图形的相似54教学目标了解相似三角形的判定方法会用平行法判定两个三角形相似.重点：用平行法判定两个三角形相似难点：平行法判定三角形相似定理的推导教学目标了解相似三角形的判定方法会用平行法判定两个三角形相似55例题探究例1：在△ABC中，已知点D,E分别是AB,AC边的中点.求证：△ADE∽△ABC.△ADE∽△ABC.ABCDE例题探究例1：在△ABC中，已知点D,E分别是AB,AC边56

例2：点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DEBC交AB于点E,延长DE至点F，使DE=EF.求证：△BFE∽△ACB.ABCDEF例2：点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE57求证:△ABC∽

△A'B'C'.已知：在△ABC

和△A'B'C'

中,证明：在△ABC的边AB、AC上，分别截取AD=A‘B’，AE=A‘C’，连接DE.∵AD=A'B

,∠A=∠A'，AE=A'C'，∴△ADE≌△

A'B'C'，∴∠ADE=∠B'.又∵∠B'=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴△ADE∽△ABC.∴△A'B'C'∽△ABC.求证:△ABC∽△A'B'C'.已知：在△ABC和58由此得到相似三角形的判定定理1

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.即：两角分别相等的两个三角形相似.CAA'BB'C'若∠A=∠A'，∠B=∠B',则△ABC

∽△A'B'C'.由此得到相似三角形的判定定理1CAA'BB'C'若∠A=59 ∴△ADE

≌

△∴△∽△ABC.由此得到相似三角形的判定定理2

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．即：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.,∠A=∠A'，则

△ABC

∽△A'B'C'.A'B'A'C'=

ABACA'B'C'A'B'C'.∵∠A=∠A'，CAA'BB'C'若 ∴△ADE≌△∴△∽△ABC.由此得到相似60相似三角形的判定定理3

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即三边成比例的两个三角形相似.CAA'BB'C'相似三角形的判定定理3CAA'BB'C'61课堂练习1.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥BC，OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.课堂练习1.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，O622.已知：在△ABC和△DEF中，∠A=48°，∠B=82°，∠D=48°，∠F=50°.求证：△ABC∽△DEF.2.已知：在△ABC和△DEF中，∠A=48°，∠B=82°633.如图,O为△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点.

求证：△ABC∽△DEF.ABCODFE3.如图,O为△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、64课堂小结两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）相似三角形的判定方法三边对应成比例,两三角形相似（SSS）两角分别相等的两个三角形相似（AA）一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(HL）课堂小结两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）相似653.4.2相似三角形的性质3.4.2相似三角形的性质66教学目标掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系.重点、难点：相似三角形性质的应用.教学目标掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）及相似三67新课引入1.如图,△∽△ABC，相似比为k，

分别作BC，

上的高AD，．

求证：D′C′DABA′B′┓┓C证明:∵△∽△ABC，∴∠B′=∠B．又∵=∠ADB=90°，∴△∽△ABD.(两角对应相等的两个三角形相似)从而(相似三角形的对应边成比例)新课引入1.如图,△∽△ABC，相似比为68由此得出定理：相似三角形的对应高的比等于相似比.由此得出定理：69类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比

2、如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，E、E'分别为BC、B'C'的中点.试探究AD与A'D'的比值关系，AE与A'E'呢？ABCDEA′B′C′D′E′类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比70∵

△ABC∽△A′B′C′，∴由此得出定理：

相似三角形对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比.∵△ABC∽△A′B′C′，由此得出定理：71由此得出定理：相似三角形周长的比等于相似比由此得出定理：72

3.如图，ΔABC∽ΔA'B'C'，相似比为k，它们的面积比是多少？ABCDA

/B

/C

/D

/由此得出定理：

相似三角形的面积比等于相似比的平方3.如图，ΔABC∽ΔA'B'C'，相似比为k，它们的73例题探究例1

CD是Rt△ABC斜边AB上的高，

DE⊥AC，垂足为点E.已知CD=2，AB=6，AC=4,求DE的长.ABDCE例题探究例1CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥74例2已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长.解：∵△ABC∽△DEF，

解得EH＝3.2(cm).AGBCDEFH（相似三角形对应角平线的比等于相似比），例2已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△75课堂练习1、如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC=48，求△ADE的面积.课堂练习1、如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC762、如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且DE、FG把△ABC的面积三等分，若BC=12cm，求FG的长.2、如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且DE、FG把△A77课堂小结相似三角形的性质对应角相等对应边成比例对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.相似比等于对应边的比周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方课堂小结相似三角形的性质对应角相等对应边成比例对应高的比，对78第3章图形的相似3.5相似三角形的应用第3章图形的相似79教学目标1.会应用相似三角形的性质和判定解决实际问题．2.利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度的问题，让学生体会数学转化的思想.重点：运用相似三角形解决实际问题.难点：在实际问题中建立数学模型.教学目标1.会应用相似三角形的性质和判定解决实际问题．80新课引入

如图3-32，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？新课引入如图3-32，A，B两点分别位于一个池塘的两81测量办法：在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B两点，连接并延长AC，BC，在AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取一点E，使（k为正整数）测量出DE的长度.然后根据相似三角形的有关知识求出A，B两点间的距离.CDE测量办法：在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B两点，连接82如果，且测得DE的长为50m，则A，B两点间的距离为多少？∵

，∠ACB=∠DCE，∴

△ABC∽△DEC．∴

．∵

DE=50m，∴

AB=2DE=100m.CDE如果，且测得DE的长为50m，则83例题探究OABA′B′

在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、准星（A）、靶心点（B）在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，如图所示.已知OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.0005m，求李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′（近似地认为AA′∥BB′）.例题探究OABA′B′在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、84解：∵

AA′∥BB′，∴

△OAA′∽△OBB′．∴

．∵OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.0005m，∴BB′=0.125m.答：李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′为0.125m.解：∵AA′∥BB′，∴△OAA′∽△OBB′．∴85课堂练习1.如图，某路口栏杆的短臂长为1m，长臂长为6m.当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高多少米？ABOCD课堂练习1.如图，某路口栏杆的短臂长为1m，长臂长为6m.862.如图，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=80cm，EF=40cm，测得AC=1.5m，CD=8m，求树的高度AB．2.如图，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度A87课堂小结相似三角形的应用主要有两个方面：

测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.1.测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）2.测距（不能直接测量的两点间的距离）

测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.课堂小结相似三角形的应用主要有两个方面：88第3章图形的相似3.6

位似第3章图形的相似89教学目标1.理解位似图形在坐标系中的作图方法及坐标规律2.能按要求作出简单的平面图形运动后的图形以及对应的坐标变化重点：

位似图形在坐标系中的坐标规律难点：位似图形的准确作图，动手实践能力的落实教学目标1.理解位似图形在坐标系中的作图方法及坐标规律90新课引入下图是运用幻灯机（点Ｏ表示光源）把幻灯片上的一只小狗放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系？o这两个图形的形状相同，但大小不同，它们是相似图形.新课引入下图是运用幻灯机（点Ｏ表示光源）把幻灯片上的一只小狗91

分别在左、右两个小狗的头顶上取一点A,A′;再分别在狗尾巴尖上取一点B,B′.oB′BA′A发现点A,A′与点O在一条直线上.点B,B′与点O在一条直线上.分别在左、右两个小狗的头顶上取一点A,A′;再分别在92分别量出线段OA，OA′,OB，OB′的长度，计算(精确到0.1)：

继续在左、右两只小狗上找出一些对应点，考察每一对对应点是否都与点Ｏ在一条直线上；

计算每一对对应点与点Ｏ所连的线段比，看它们是否与上述，相等.分别量出线段OA，OA′,OB，OB′的长度，计算(精确到93

一般地，取定一个点O，如果一个图形G上每一个点P对应于另一个图形G′上的点P′，且满足：（1）直线PP′经过同一点O，（2），其中k是非零常数，当k>0时，点P′在射线OP上，当k<0时，点P′在射线OP的反向延长线上.

那么称图形G与图形G′是位似图形．这个点Ｏ叫作位似中心，常数k叫作位似比.一般地，取定一个点O，如果一个图形G上每一94如图连接AB，A′B′，可以得到下图，则AB∥A′B′吗？oBAB′A′∵

，

∠AOB=∠A′OB′，∴

△OAB∽△OA′B′.∴

∠OAB=∠OA′B′.∴AB∥A′B′.如何证明利用位似可以把一个图形进行放大或缩小.如图连接AB，A′B′，可以得到下图，则AB∥A′B′吗？o95

两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上）.两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线96ABA′C′B′CO例1利用位似把△ABC缩小为原来的一半.1、在三角形外选一点O；2、过点O分别作射线OA、OB、OC；3、在OA、OB、OC上分别选取A′、B′、C′，使OA′/OA=1/2、OB′/OB=1/2、OC′/OC=1/2；步骤：4、顺次连接A′、B′、C′，所得图形就是所求作的图形.ABA′C′B′CO例1利用位似把△ABC缩小为原来的一半97ABA′C′B′CO利用位似把△ABC缩小为原来的一半.ABA′C′B′CO利用位似把△ABC缩小为原来的一半.98如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A（2，4），

O（0，0），

B（6，0）.如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A（299将各个顶点坐标分别缩小为原来的1/2，所得到的图形与原图形是位似图形吗？将各顶点的坐标都乘1/2，依次得点A′（1，2），O（0，0），B′（3，0），依次连接点A′，O，B′，得△A′OB′，如图.A′B′将各个顶点坐标分别缩小为原来的1/2，所得到的图形与原图形是100将各个顶点坐标分别扩大为原来的2倍，所得到的图形与原图形是位似图形吗？将各顶点的坐标都乘2，依次得点A″（4，8），O（0，0），B″（12，0），依次连接点A″，O，B″，得到△A″OB″，如图.将各个顶点坐标分别扩大为原来的2倍，所得到的图形与原图形是位101

数学上可以证明，一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.

在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k.数学上可以证明，一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相102xyo例2在平面直角坐标系中,四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为点A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.A′(-3,3),B′(-4,1),C′(-2,0),D′(-1,2)BACDA′B′C′D′xyo例2在平面直角坐标系中,四边形ABCD的四个顶点103课堂练习ODABCA'B'C'D'ODABC1.把四边形ABCD缩小到原来的½.课堂练习ODABCA'B'C'D'ODABC1.把四边形A1042.如图,已知正方形OABC

的顶点坐标依次为O（0，0），A（3，0），B（3，3），C（0，3）.（1）在平面直角坐标系中，以坐标原点Ｏ为位似中心，将正方形OABC放大为原图形的2倍；（2）在平面直角坐标系中，以坐标原点Ｏ为位似中心，将正方形OABC缩小为原图形的1/2.2.如图,已知正方形OABC的顶点坐标依次为O（0，0）105课堂小结位似图形的概念：

如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比课堂小结位似图形的概念：106第3章图形的相似3.1

比例线段第3章图形的相似1073.1比例线段

—比例的基本性质3.1比例线段—比例的基本性质108复习回顾

在小学，我们已经知道，如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数成比例.现在我们学习了实数，把这四个数理解为实数，写成式子就是：

如果a:b=c:d或，则称a，b，c，d成比例，其中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项.复习回顾在小学，我们已经知道，如果两个数的比值与另外109

如果a，b，c，d

成比例，即，那么ad=bc吗？在式子两边同乘bd，得ad=bc.如果a，b，c，d成比例，在式子110比例的基本性质:如果,那么ad=bc．比例的基本性质:如果,111

如果ad=bc，其中

a,b,c,d为非零实数，那么成立吗？与同伴交流！如果ad=bc，其中a,b,c,d为非零实数，112

例1已知四个非零实数a，b，c，d成比例，下列各式成立吗？若成立，请说明理由.①②④③例1已知四个非零实数a，b，c，d成比例，下列各式113由此得到

由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立.由①式得ad=bc.在上式两边同除以cd，得在①式两边都加上1，得由此得到由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，1143.1比例线段

—比例的基本性质3.1比例线段—比例的基本性质115重点、难点重点：线段的比和成比例线段的概念及其有关计算.黄金分割的定义及黄金分割比的探索.难点：判断四个数或四条线段成比例.黄金分割点的定义及相关计算类问题.重点、难点重点：线段的比和成比例线段的概念及其有关计算.黄金116如图3-1，在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC和△A′B′C′，它们的顶点都在格点上.试求出线段AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长度，并计算AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的长度的比值.如图3-1，在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC117一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A′B′的比(ratio)，记作

，或AB∶A′B′＝m∶n.

如果的比值为k，那么上述式子也可写成：或AB

＝ｋ·A′B′.一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长118在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段.

例如，已知四条线段a，b,c，d，若

，则a，b，c，d是比例线段.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么119

已知线段a，b，c，d的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm，3cm，问a，b，c，d是比例线段吗？例题探究

∴

，即a，b，c，d是比例线段.解：已知线段a，b，c，d的长度分别为0.8120黄金分割

古希腊数学家、天文学家欧多克塞斯(Eudoxus，约前400—约前347)曾经提出一个问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比？即使得成立？黄金分割古希腊数学家、天文学家欧多克塞斯(Eudox121如果这能做到的话，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比.

如果这能做到的话，那么称线段AB被点C黄金分割，点122

如图，设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为x个单位，则CB的长度为(1-x)个单位.①根据①式，列出方程：②

由于x≠0，因此方程②两边同乘x，得

1–x=x2，即

x2+x-1=0.

③如图，设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为①根据①123因为

解得（舍去）.所以我们一定可以把一条线段黄金分割，黄金分割比为,它约等于0.618.因为124

线段黄金分割的比值引起了人们极大的注意.

许多建筑物的轮廓矩形(例如古希腊时期的巴台农神庙的正面轮廓矩形)的高与宽之比，门窗的宽与高之比都约等于0.618，这样看上去美观.巴台农神庙线段黄金分割的比值引起了人们极大的注意.许多125印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比.印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比.126

著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用.通过上面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美.著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割127课堂小结线段之间的一种数量关系：四条线段成比例.感受到成比例线段围成的图形在形状上也有美妙的关系！认识了一个最特别的数，比值是它的线段围成的图形最美丽.课堂小结线段之间的一种数量关系：四条线段成比例.感受到成比例128第3章图形的相似3.2平行线分线段成比例第3章图形的相似129教学目标掌握基本事实：平行线分线段成比例.了解“两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等”，“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例”.重点：掌握平行线分线段成比例的基本事实以及推论的应用.难点：基本事实的理解以及推论的应用.教学目标掌握基本事实：平行线分线段成比例.130新课引入下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1,DD1互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？新课引入下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,131abc如图,已知直线a∥b∥c，直线l1，l2被直线a,b,c截得的线段分别为AB,BC和A1B1，B1C1，且AB=BC.abc如图,已知直线a∥b∥c，直线l1，l2被直线a,b132在△BAA2和△BCC2中，∠ABA2=∠CBC2，BA=BC，∠BAA2=∠BCC2，因此△BAA2

≌△BCC2，从而BA2=BC2,所以A1B1=B1C1.在△BAA2和△BCC2中，133

两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.

由此可以得到：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线134

如图，任意两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2相交的直线a，b，c，分别度量l1，l2被直线

a，b，c

截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度，与相等吗？任意平移直线c，再测量AB，BC，A1B1，B1C1的长度，与也相等吗？如图，任意两条直线l1，l2，再画三条与l1，l135eabcfd证明：假设，则把线段AB二等分，分点D.过点D作直线d∥a，交l2于点D1．如图，把线段BC三等分．三等分点为E，F，分别过点E，F作直线e∥a，f∥a，分别交l2于点E1,F1.eabcfd证明：假设，则把136湘教版九年级数学上册第3章图形的相似课件137湘教版九年级数学上册第3章图形的相似课件138由此得到以下基本事实：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例.由此得到以下基本事实：139例题探究如图，在△ABC中，已知DE∥BC，则和成立吗？为什么？例题探究如图，在△ABC中，已知DE∥BC，则140

如上图，过点A作直线MN，使MN∥DE，∵DE∥BC，∴MN∥DE∥BC.

同时还可以得到

因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截，则由平行线分线段成比例可知，如上图，过点A作直线MN，使MN∥DE，141

由此得到以下结论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.由此得到以下结论：平行于三角形一边的直线截142

如图，已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC=3，A1B1=1.5，求B1C1的长.解：由平行线分线段成比例可知，如图，已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC143课堂练习1．如图，AC，BD相交于点O，直线MN过点O，且BA//MN//CD，已知OA=3,OB=1,OD=2,求OC的长.课堂练习1．如图，AC，BD相交于点O，直线MN过点O，且B1442.如图,点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AB=3，AD=2，EC=1.8,求AC的长.2.如图,点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥B145课堂小结1、两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等；2、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；3、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.课堂小结1、两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截146第3章图形的相似3.3

相似图形第3章图形的相似147教学目标1.认识日常生活中相似的图形，了解相似图形的概念，能正确识别相似的图形.2.让学生亲身经历观察、操作、探究相似图形的过程，进一步理解相似图形的本质特征，感知相似图形在现实生活中的应用.重点：认识相似图形，并学会画简单的相似图形的方法难点：画已知图形的相似形教学目标1.认识日常生活中相似的图形，了解相似图形的概念，能148新课引入分别观察下面两组图，说一说它们有什么相同和不同？新课引入分别观察下面两组图，说一说它们有什么相同和不同？149

直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的.

日常生活中我们会碰到很多这样形状相同、大小不一定相同的图形.

直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与150

如图，右边的△是由左边的△ABC

放大得到的.这两个三角形相似吗？分别度量它们的三个角和三条边，它们的对应角相等吗？对应边成比例吗？我发现这两个三角形相似，且它们的对应角相等，对应边成比例.如图，右边的△是由左边的△ABC放大得151

反过来，我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形.

如果△ABC与△A1B1C1相似，且点A1，B1，C1分别与点A，B，C对应，则记作：△ABC∽△A1B1C1，读作：△ABC相似于△A1B1C1.

由此得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.反过来，我们把三个角对应相等，且三条边对应成152

相似三角形的对应边的比叫作相似比.一般地，若△ABC与△A1B1C1的相似比为k，则△A1B1C1与△ABC的相似比为.特别地，如果相似比k=1，那么△ABC≌△A1B1C1.因此，三角形全等是三角形相似的特例.相似三角形的对应边的比叫作相似比.153例题探究

如图，已知△ABC

∽△A1B1C1，且∠A=48°，AB=8，A1B1=4，AC=6，求∠A1的大小和A1C1的长.例题探究如图，已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A=154解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠A=∠A1，又∵∠A=48°，AB=8，A1B1=4，AC=6，∴∠A1=48°，，得A1C1=3.解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠A=∠A1，又∵∠A=155

类似地，对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.

对于相似多边形，有相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

类似地，对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相156课堂练习已知△ADE∽△ABC，点A、D、E分别与点A、B、C对应，且相似比为

.

若DE=4cm，求BC的长.1.解：∵△ADE∽△ABC,∴∴课堂练习已知△ADE∽△ABC，点A、D、E分别与点1.解：157湘教版九年级数学上册第3章图形的相似课件158课堂小结多边形相似的定义：如果两个边数相同的多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.多边形相似特征：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似比：相似多边形的对应边的比叫作相似比.课堂小结多边形相似的定义：159第3章图形的相似3.4

相似三角形的判定与性质第3章图形的相似160教学目标了解相似三角形的判定方法会用平行法判定两个三角形相似.重点：用平行法判定两个三角形相似难点：平行法判定三角形相似定理的推导教学目标了解相似三角形的判定方法会用平行法判定两个三角形相似161例题探究例1：在△ABC中，已知点D,E分别是AB,AC边的中点.求证：△ADE∽△ABC.△ADE∽△ABC.ABCDE例题探究例1：在△ABC中，已知点D,E分别是AB,AC边162

例2：点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DEBC交AB于点E,延长DE至点F，使DE=EF.求证：△BFE∽△ACB.ABCDEF例2：点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE163求证:△ABC∽

△A'B'C'.已知：在△ABC

和△A'B'C'

中,证明：在△ABC的边AB、AC上，分别截取AD=A‘B’，AE=A‘C’，连接DE.∵AD=A'B

,∠A=∠A'，AE=A'C'，∴△ADE≌△

A'B'C'，∴∠ADE=∠B'.又∵∠B'=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴△ADE∽△ABC.∴△A'B'C'∽△ABC.求证:△ABC∽△A'B'C'.已知：在△ABC和164由此得到相似三角形的判定定理1

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.即：两角分别相等的两个三角形相似.CAA'BB'C'若∠A=∠A'，∠B=∠B',则△ABC

∽△A'B'C'.由此得到相似三角形的判定定理1CAA'BB'C'若∠A=165 ∴△ADE

≌

△∴△∽△ABC.由此得到相似三角形的判定定理2

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．即：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.,∠A=∠A'，则

△ABC

∽△A'B'C'.A'B'A'C'=

ABACA'B'C'A'B'C'.∵∠A=∠A'，CAA'BB'C'若 ∴△ADE≌△∴△∽△ABC.由此得到相似166相似三角形的判定定理3

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即三边成比例的两个三角形相似.CAA'BB'C'相似三角形的判定定理3CAA'BB'C'167课堂练习1.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥BC，OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.课堂练习1.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，O1682.已知：在△ABC和△DEF中，∠A=48°，∠B=82°，∠D=48°，∠F=50°.求证：△ABC∽△DEF.2.已知：在△ABC和△DEF中，∠A=48°，∠B=82°1693.如图,O为△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点.

求证：△ABC∽△DEF.ABCODFE3.如图,O为△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、170课堂小结两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）相似三角形的判定方法三边对应成比例,两三角形相似（SSS）两角分别相等的两个三角形相似（AA）一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(HL）课堂小结两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）相似1713.4.2相似三角形的性质3.4.2相似三角形的性质172教学目标掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系.重点、难点：相似三角形性质的应用.教学目标掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）及相似三173新课引入1.如图,△∽△ABC，相似比为k，

分别作BC，

上的高AD，．

求证：D′C′DABA′B′┓┓C证明:∵△∽△ABC，∴∠B′=∠B．又∵=∠ADB=90°，∴△∽△ABD.(两角对应相等的两个三角形相似)从而(相似三角形的对应边成比例)新课引入1.如图,△∽△ABC，相似比为174由此得出定理：相似三角形的对应高的比等于相似比.由此得出定理：175类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比

2、如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，E、E'分别为BC、B'C'的中点.试探究AD与A'D'的比值关系，AE与A'E'呢？ABCDEA′B′C′D′E′类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比176∵

△ABC∽△A′B′C′，∴由此得出定理：

相似三角形对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比.∵△ABC∽△A′B′C′，由此得出定理：177由此得出定理：相似三角形周长的比等于相似比由此得出定理：178

3.如图，ΔABC∽ΔA'B'C'，相似比为k，它们的面积比是多少？ABCDA

/B

/C

/D

/由此得出定理：

相似三角形的面积比等于相似比的平方3.如图，ΔABC∽ΔA'B'C'，相似比为k，它们的179例题探究例1

CD是Rt△ABC斜边AB上的高，

DE⊥AC，垂足为点E.已知CD=2，AB=6，AC=4,求DE的长.ABDCE例题探究例1CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥180例2已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长.解：∵△ABC∽△DEF，

解得EH＝3.2(cm).AGBCDEFH（相似三角形对应角平线的比等于相似比），例2已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△181课堂练习1、如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC=48，求△ADE的面积.课堂练习1、如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC1822、如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且DE、FG把△ABC的面积三等分，若BC=12cm，求FG的长.2、如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且DE、FG把△A183课堂小结相似三角形的性质对应角相等对应边成比例对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.相似比等于对应边的比周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方课堂小结相似三角形的性质对应角相等对应边成比例对应高的比，对184第3章图形的相似3.5相似三角形的应用第3章图形的相似185教学目标1.会应用相似三角形的性质和判定解决实际问题．2.利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度的问题，让学生体会数学转化的思想.重点：运用相似三角形解决实际问题.难点：在实际问题中建立数学模型.教学目标1.会应用相似三角形的性质和判定解决实际问题．186新课引入

如图3-32，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？新课引入如图3-32，A，B两点分别位于一个池塘的两187测量办法：在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B两点，连接并延长AC，BC，在AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取一点E，使（k为正整数）测量出DE的长度.然后根据相似三角形的有关知识求出A，B两点间的距离.CDE测量办法：在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B两点，连接188如果，且测得DE的长为50m，则A，B两点间的距离为多少？∵

，∠ACB=∠DCE，∴

△ABC∽△DEC．∴

．∵

DE=50m，∴

AB=2DE=100m.CDE如果，且测得DE的长为50m，则189例题探究OABA′B′

在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、准星（A）、靶心点（B）在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，如图所示.已知OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.0005m，求李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′（近似地认为AA′∥BB′）.例题探究OABA′B′在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、190解：∵

AA′∥BB′，∴

△OAA′∽△OBB′．∴

．∵OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.0005m，∴BB′=0.125m.答：李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′为0.125m.解：∵AA′∥BB′，∴△OAA′∽△OBB′．∴191课堂练习1.如图，某路口栏杆的短臂长为1m，长臂长为6m.当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高