电路理论-第7章

7.1

一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅有动态元件初始储能产生的电压和电流。uC

(0－)=U07.1.1.RC电路的零输入响应uR

uC

0

Cdui

Cdtu =

Ri零输入响应iS(t=0)–RC+–C+u

R

uCRC

d

uCd

t

u

0uC

(0

)

U

01RCp

特征根R特征方程RCp+1=0

1

tRCCu

(t)

Aept

Ae则代入初始值u

(0 )

Ae0C

＋A=U0t上页下页2RCuC

(t)

U0e

t

00

e

tRCu

U

CR

R

tRCi

t

001

U

du

Cdt

t

或

i

C

CU

eRC

tuC

(t)

U0et

0

I0e7.1.1

RC电路的零输入响应t0uCOI0tiO①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。连续函数跃变表明U0

eRC

(

)

RC

RuC

(0

)=U—

0iS(t=0)–C

t

–RC+

+uC

R

uR上页下页3uc0

2Uo0.368

Uo0.135

Uo7.1.1

RC电路的零输入响应t0uCOI0tiO令

=RC,

称

为一阶电路的时间常数。①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。连续函数跃变②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关。表明U

上页下页4

RC

F

Q

A

S

S

V

V

tτ2τ3τ4τ5τ…

∞vc0.368Uo0.135Uo0.050Uo0.018Uo0.007Uo…

0

:工程上认为, 经过

3

5

过渡过程结束。t3

4

5

＝

t2－

t11112

1

u

(t

)C

1ttdu

t

U 0

e

u

(t

)

0

C

1

Cdt

t

tU0tuCOt1t2

tuC

U0e时间常数

的几何意义：t1时刻曲线的斜率等于7.1.1

RC电路的零输入响应能量关系2C

ow

(0

)

1

CU

2t=02上页下页52212Uo0

tRCRiR

dt

0

R(

R

e)

dt

CUoRw

(0,

)

电阻吸收（消耗）能量：电容放出能量67.1.2

RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0Lp

R特征根A=

iL(0+)=

I0US

I0iL

(0

)

iL

(0

)

R1

R

Ri

L

0

t

0di

LLd

tLi

(t)

Ae

ptptL

RtiL

(t)

I0e

I0et

0t>0iLL–+uLRtI0iLO连续函数跃变-RI0uLtO

=R/L,

称

为RL电路的时间常数LS(t=0)L–+uLR

i1+

RUS-上页下页20RW

i

Rdt③

能量关系:

电感不断

能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。设

iL(0+)=I02012电感放出能量：LI电阻吸收（消耗）能量：∞tL

/

R

)2

Rdt0∞(I0

e20

1

LI2iL–+uLR7.1.2

RL电路的零输入响应一阶电路的零输入响应dy

ay

0dt

t

ty(t

)

Ke

y

(0

)e

ty(t)

y(0

)e t

0关键求：y(0

)任意变量的零输入响应:初始值：y(0)时间常数：上页下页7时间常数（The

Time

Constant）线性电阻电路CeqReq一阶电路：同一电路中所有响应具有相同的时间常数RC

电路

RL

电路c

Req

Ceq线性电阻电路LeqReqReq

L

LeqRC

电路c

Req

CeqRL

电路eqLeqL

R上页下页8例图示电路中的电容原充有24V电压，求S闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC

零输入响应问题，有+uC

45F—i1t

>0等效电路C

C

tRCt

0u

u（0）ei3

SC2365F

+—i2i1uc

(0)

24

V

RC

54s

20

s

t20

VuC

24e1

C

t20Ai

u

4

6e120

A2

3

1t

0

t分流得

i

i

4e20

A上页下页923

ti3

i1

2e例题分析u

t=0例7-1-2

P141例题分析含受控源电路ReqRd例7-1-3

P142两电容可等效为一个电容，电路可化为一阶电路t∞时,

uC1

()

=uC1

()=0.5U0上页下页10造成V

损坏。例题t=0时,打开开关S，求uV

。（电压表量程：50V）iL

eL

4

t

0s

4104

sR

RV

10000u

R

i

10000e2500tV

t

0V V

LuV

(0+)=－

10000V解

iL

(0+)

=

iL(0－)

=

1

A

t

/iLS(t=0)–VL=4HR=10VRV+10V例题分析上页下页11u

+–

10k

t小结①一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。7.1

一阶电路的零输入响应y(t)

y(0

)e

RC电路：

uC

(0+)

=

uC

(0－)

RL电路：

iL(0+)=

iL(0－)②衰减快慢取决于时间常数。

=

R

C

=

L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。③同一电路中所有响应具有相同的时间常数。④一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。RC电路RL电路上页下页12动态元件初始能量为零，由t

>0时刻电路中外加激励作用所产生的响应。duRC

Cdt

uC

US方程：7-2一阶电路的零状态响应解答形式为：uC

uCp

uCh7.2.1直流电源激励下的零状态响应零状态响应iS(t=0)C–+uC+USR–非齐次线性常微分方程与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。uC

(0－)=0uCp

US特解（强制分量）u

CpRC上页下页13duCdtuC

US的特解7.2.1直流电源激励下的零状态响应全解A=

－

US由初始条件

uC

(0+)=0

定积分常数

AtRCuC

(t

)

uCp

uCh

U

S

Aet

tRC

)RCuC

(0+)=US+A=

0uC

US

USe

US(1edu

Udt

R(t

0)

tRCi

C

C

S

e从以上式子可以得出

t

RCuCh

Ae变化规律由电路参数和结构决定。RCduC

u

0

的通解dtC通解（

分量，暂态分量）u

C

h上页下页14－USuChuCpUStiOuC①电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（分量）表明+②响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；③响应与外加激励成线性关系。上页下页15

t

uC

(t)

(1

e

RC

)ε

(t)e

ε(t)

tRC1Ri(t)

激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。阶跃响应iC–+uCRuC

(0－)=0ε

(t

)7.2.2

阶跃响应tuC1

tO

O1/Rit上页下页16s(t)

uC

(t)

(1

e

RC

)ε

(t)7.2.3

正弦电源激励下的零状态响应diL L

RiL

UsmSin(t

)t

0

tiL

iLp

Ke

特解(稳态解)：

LpLmii (

t

)

ISin(

t

)时间常数：R

Lin(

0

i

)

K

0

K

Iini∵

iL

(

0

)

iL

(

0

)

K

IpuSLiLus=Usmsin(t+)in(t

i

)

UsmSin(t

) t

0LILmCos(t

i

)

RI(

L

)2

R2

I

in(

t

iZsm

)

U

Sin(

t

)

tdtiL(0+)=iL(0－)=0L

tg1

RuSLiLR

RKt=0Li

I in(

t

i)

ket

0ZUsmLmI

i,

z(L)2

R2~

页 下页L17

ti

I

in(

t

i

)

I

in(

i

)et

0L

ti

I

in(

t

i

)

I

in(

i

)et

0tiLipihiLLmUsmI

i,

z(L)2

R2合闸角

与响应z

z当

=

或

=

(

=0

)ii

I

Sin(

t

) t

0L

Lm

izi22(

)Z

tg1

RL当

ti

I

in(

t

i

)

∓ILmeLt

0iLLK

Rt=0uS7.2.3

正弦电源激励下的零状态响应上页下页187.2.4

零状态响应的线性特性和时不变性激励x1(t)时零状态响应为y1(t);激励x2(t)时零状态响应为y2(t)线性特性(linear

property):激励K1x1(t)时零状态响应为K1

y1(t);激励K1x1(t)和K2x2(t)共同作用时零状态响应为:K1

y1(t)

+

K2

y2(t)时不变性(time-invariance

property):激励x1(t)延迟t0

→x1(t-t0)时,零状态响应为y1(t)也延迟为:y1(t-t0)dt

dt上页下页19dx1

(t)

dy1

(t)1100t

ty

(t)dtx

(t)dt

7.2.4

零状态响应的线性特性和时不变性例7-2-4

P149uSC–+uC+–R(1)

us

(t)

(t)

(t

1)

3(t

1)

(t

3)V

(t)

2(t

1)

3(t

3)

Vtt

t

1

t

3

(1

e

RC

)ε

(t)+2(1

e

RC

)ε

(t

1)

3(1

e

RC

)ε

(t

3)s(t)

(1

e

RC

)ε

(t)uc

(t)

s(t)

2s(t1)

3s(t

3)(2)us

(t)

(t)1RCds(t)

1dt

RC

t

te

RC

ε

(t)+(1

e

RC

)

(t)

20uc

(t)

dt∵(t)

d(t)

te

RC

ε

(t)~

页 下页7.3

一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。RC

duCdt

uC

US以RC电路为例，电路微分方程：全响应解答为

uC(t)

=

uCp+

uCh特解

uCp=

US

通解

t

RCuCh

KeuC

(0

)=UK=U0

-

US由初始值定AC

(0+)=K+US=i1.

全响应S(t=0)C–R

+uCuC

(0－)=U0+US–RC

ttuC

US

AeRC

US

(U0

US)et

0强制分量(稳态解)分量(瞬态解)上页下页21全响应

=

强制分量(稳态解)+分量(瞬态解)2.

全响应的两种分解方式①

着眼于电路的两种工作状态

物理概念清晰7.3

一阶电路的全响应全响应

=

零状态响应

+

零输入响应(t

0)

t

tC

S

0u

U

(1

e

)

U

e

②着眼于因果关系便于叠加计算零输入响应零状态响应+US–uC

(0－)=U0C

C+US–S(t=0)

R

S(t=0)

RuC

(0－)=0+S(t=0)C+US–RuC

(0－)=U0上页下页227.3.3

一阶电路的三要素法

ty

(t

)

y

(0)

y

p

(0)

e

y

p

(t

)条件:电路有新的稳定状态.初始值y(0+)稳态值yp时间常数τuc(0-

),

iL(0-

)uc(0+

),

iL(0+

)t=0-t=0+y(0+

)uc(0+

),

iL(0+

)t

yp(t)同一一阶电路的电路变量有相同的时间常数.c

Req

CeqeqLeqLR

RC

circuit:RL

circuit:

tDC

:

y

(t

)

y

(

)

[

y

(0)

y

(

)]e

上页下页23例7-3-1

P152例题分析求：iR2=?

注意解题步骤例7-3-2

P153

求

uo(t)=?上页下页2425例

R1=1,

R2=2,

R3=2,C=3F,

Us1=2V,

Us2=2V,Is=1A,

=2.

求t>0

u3(t)=?解:

u

(

0

)

U

R

(

i

)c

s

2

2

Us2

R2

Is

2V_uC

+S

(t=0)iC+u3_R2R1U+_US212+S1

_IS

iR3t

=0-c_

u

(0-)+i+u3_R2R1IS+_US2

iR3332

32R

RR

R(

1

1

)u

(

0

)

2

US2

ii

U

u

(

0

)

(

2

)S1

3R1

R33u

(0

)

3V例题分析~

页 下页t

=0+iR2R1+_US2-2V

iR3+_+_US1+u3(0+)_u

(

0

)

u

(

0

)

2Vc

cu3

(0+)=?3u

(0

)

3V1

US1US2u3

(

)

US2

iR2RR2

6Vt

:eqooRiio

u

R3

io

(

1

)io

R2

8

=

ReqC=24S3

33

3

t

u

(

t

)

u

(

)＋u

(0+

)－u

(

)e

_3+

uoioi_+

R2uR1

iR3例

R1=1,

R2=2,

R3=2,s1

s2C=3F,

U =2V,

U

=2V,例题分析_uC

+S

(t=0)+uiC3_R2R1+Is=1A,

=2.

求t>0

u3(t)=?US1

_+_US12IS

iR3i

iR1+_US2R3+上页下页26_US1+

R2u3()_24

tu3

(

t

)

3e

6

(

V

) t

0NR

是线性电阻电路。图（a）中,

C=1F,

Uc(0)=0,ua=(0.75-e-2t)V;图（b）中,

L=1H,

iL(0)=0,

求

ub(t).+_+Vs

_ub(t)NRL(b)+_+_Vsua(t)NRC(a)解::Fig.(a)c

=ReqC=0.5Req=0.5

Fig.(b)1LR

0,5

L

eq

2sReqReq上页下页27例题分析+_+Us

_ub(t)NRL+_+Us

_ua(t)NRC(a)+_+Us

_ua(t)NRt=0

uc(0)=0+上页下页28_+Us

_ub(t)NR(b)t

uL()=0(a)ua(0)=0.75-1=-0.25(V)(b)ub()=

ua(0)

=-0.25(V)图（a）中,uc(0)=0,ua=(0.75-e-2t)V;图（b）中,iL(0)=0例题分析+_+Us

_ub(t)NRL+_+Us

_ua(t)NRC(b)t=0

iL(0)=0(a)t

ic()=0+_+Us

_ua(t)NR(a)ua()=0.75-0=0.75(V)+_+Us

_ub(t)NR(a)ub(0)=

ua()

=0.75(V)图（a）中,Uc(0)=0,

ua=(0.75-e-2t)V;图（b）中,iL(0)=0上页下页29例题分析Solution:∵+_+Us

_ub(t)NRL(b)+_+Us

_ua(t)NRC(a)L

2sub()=

ua(0)

=-0.25(V)ub(0)=

ua()

=0.75(V)上页下页30

t2

(e0.5t

0.25)Vbu

(t)

0.75

(0.25)

e

(0.25)NR

是线性电阻电路。图（a）中,

C=1F,

Uc(0)=0,ua=(0.75-e-2t)V;图（b）中,

L=1H,

iL(0)=0,

求

ub(t).例题分析开关闭合前电路已经达到稳态.

R1=1,

R2=2,

R3=3,C1=1F,

C2=2F,

Is=1A,

求

t>0时

,

uc1

,

uc2

,

i1

,

i2

,

i.C1R1i1Isii2R2KR3C2+uc1+uc2t=0C1+uc1i1R1C2+uc2i2R3R2i=

i1+

i2

+

Is上页下页31例题分析uC

1(0－)=(R2+R3)IS=5V，uC2(0－)=R3IS=3VC1R1i1Isii2R2KR3C2+uc1+uc2t=0R1IsR2R3+uc1+uc2t=0τ1=R1C1=1s，

uC

1C

1(0+)=

u

(0－)=5VC1+uc1i1R1

t上页下页32

5e

t

V

t

0c1

c1u

u

(0

)eucR1i1

1

5e

t

At

0t>0例题分析例题分析C1R1i1Isii2R2KR3C2+uc1+uc2t=0C2+uc2t>0i2R3R2R=R2//R3=1.2Ω2=RC2=2.4suC

2(0+)=uC

2(0－)=3V2

.4

t

uc

2

5

e

V

t

0A

t2.4Si

I

i1

i2

1

5e

t

1.5et

0u

c

2上页下页33R

t

2

.4i2

1

.5

eA

t

0例题分析例7-3-3

P153-154

三要素法

用电荷守恒参见例7-1-3例7-3-4

P154-155uc(0+)

uc(0-)

电容电压跳变及电荷守恒C

u (

0

)

C

u1 c

1

2

c2(

0

)

C

u1 c

1(

)

C

u (

)2

c2t

KVLuc1

(

)

uc

2

(

)uc1

(

0

)

3V上页下页34uc2

(

0

)

01 c

1

2 c

2

(

0

)

C

u (

0 )

C

u (

0

)C

u (

0

)

C

u1 c

1

2 c

2t

KVLuc2

(

0

)

uc1

(

0

)

12t

0

KVL

RCequc1

(

)

12Vuc2

(

)

0

C1

//

C2

1

2

3FCeqN0++U-SiSu-CC已知两电源共同作用下的全响应：u =[100

–

60e-0.1t+40

2

sin(t+45o)]

VuC=(80

–40

2

sin45o)e-0.1t

+402

sin(t+45o)

VuC=40e-0.1t

+402

sin(t+45o)

V35

ty(t)=[y(0+)

–yp(0+)]e

τ+yp(t)uC(0+)=100

–

60+40

2

sin45o

=80VuCi=80e-0.1tuC=[100

+

(80–100)e-0.1t]=100

–

20e-0.1t

V

tτ+

yp(t)(3)

y(t)=

ke例题分析isUs正弦电源直流电源求零输入响应；求is=0时的全响应；求us=0时的全响应。C保持uc(0)不变,求367.4

二阶电路7.4.1

二阶电路的零输入响应LC C

RC C

uC

0d2udu已知：

uC(0-)=U0

iL(0-)=0以电容电压为变量：电路方程：RiL

uL

uC

0L

Li

C

duC

u

L

diLdtdt初始条件：

uC(0+)=U0C

Ct

0dt

2

dtduC

ic

(0+

)

iL

(0+

)

=0dt特征方程：

LCp2

RCp

1

0R22LR

4L

/

Cp

21RR2L2L

LC

(

)

特征根：012LLC令：

R

，

02p

2RLC-iL+uC~

页 下页7.4.1

二阶电路的零输入响应1,2012L(

R

)22L

LCp

R

2

2特征根：LCR

2过阻尼情况临界阻尼欠阻尼情况零状态响应的三种情况(1)0

u

(t)

k

e

p1t

k

e

p2tp1

,p1为不相等的实根c

1

2LCR

2(2)0

p1

,p1为不相等共轭复数cd22d

0t

t

)其中:

L上页下页37CR＝2(3)0＝1

1p

,p

为相等的实数u

(t)

(k

t

k

)etc

1

2方程解的形式:方程解的形式:

u

(t)

Ke

sin(方程解的形式:LC(1)

R

2u

(t)

K

ep1t

K

ep2tC

1

2C

u

(0 )

U0

K1

K2

U0(0

)

p1K1

p2

K2

0duCdt

K1U

0p2p2

p1

p

1

U

0

K2p2

p11

22

1CU

0(

p

e

p

t

p

e

p

t

)p2

p1u（

t）L

CU

0(e

p

t12

e

p

t

)i

i

C

duC

dt L(

p2

p1

)1

2上页下页381

2LuU0(

p

e

pt

p

e

p

t

)

L

diLdt

(

p2

p1)7.4.1

二阶电路的零输入响应方程的通解:能量转换关系0

<

t

<

tmuC

减小，i

增加。t

>tmuC减小，i

减小。tU0uCtm2tmuLiCORLC+-RLC+-7.4.1

二阶电路的零输入响应上页下页39(2)

R

2uC

的解答形式：经常写为：u

Ket

sin(

t

)C

d共轭复根2

K

e

jdt

)u

K

e

p1t

K

e

p2t

et

(K

e

jdtC

1

2

10d2（

L

p

2－2

j0Cd

2）C

0

0u

(0

)

U

K

sin

UduC(0

)

0

K

()

sin

K

cos

0

dt0dt0sin(d

t

)uC（t）

U

eωdω0ω，ω０，的关系上页下页407.4.1

二阶电路的零输入响应iL0t0.5TTuCU00d0U

e-tU0

e-tLd欠阻尼情况（振荡性放电）7.4.1

二阶电路的零输入响应LC(2)

R

200

dd2（

p

2－2

jC

0ddu（t）

0

U

et

sin(

t

)dLdi

U

0e

t

sin(

t

)

LL

0上页下页41ddu

0

U

et

sin(

t

)

2）

欠阻尼情况（振荡性放电）uL-U0iLuC0t0.5TTU0t1

t2欠阻尼情况（振荡性放电）能量交换情况(0

t

t1)RLC++u-Li

-

uC(t1

t

t2)RLC++-uLi

-

uC2(t

t

0.5T)RLC++-uL-

uCiC(2)

R

20

d7.4.1

二阶电路的零输入响应L

2

2d

02（

p

－

j

2）~页2下页特例：R=0

时1，

π2LC

0

，d

0

Lu

U

sin(

t

90

)

uC

0

di

U

0sin(d

t)d

L等幅振荡tOL+C-7.4.1

二阶电路的零输入响应上页下页43LC(3)

R

21

22Lp

p

R

K

t)etuC

(K12120

1

0(0

)

0

K

()

K

0uC

(0 )

U

K

U

dtduC

K

U1

0K

2

U0相等负实根C上页下页44L

0u

U

e

t

(1

t)C

0

U0

te

ti

C

duCdt

Lu

L

di

U

e

t

(1

t)dt7.4.1

二阶电路的零输入响应45LCR

2LCR

2LCR

2

t12

K

K

t

e

uCp定常数duC

(0

)dt可推广应用于一般二阶电路小结过阻尼情况临界阻尼欠阻尼情况~

页 下页由初始条件方程解的形式:uC

(t

)

K1e1p

t

K

e

u2p

t2Cp方程解的形式:

uC

t方程解的形式:

uC

Ke

sin(d

t

)

uCp

uC(0)46例7.4.1.

电路如图，t=0

时打开开关。求uC并画出其变化曲线。.5Ω10Ω10Ω50V+100μF

-+

-0.5Hvc

iLt=0i

(0-)=5As1,2

25

j139duddtdt

dt[C c

]

25C c

uc

0(3)

0.5cu

Ke25t

sin(

139t

)L(2)

uc(0+)=25V20Ω

t=0-5Ω20Ω10Ω10Ω50V+

-iL+uC-解:(1)

uc(0-)=25ViC(0+)=

-iL(0+)=

-5A20Ω10Ω10Ω-+25V5AiCt=0+10Ω10Ω-+20Ωv

CLCt

>0iL7.4.1

二阶电路的零输入响应dvdt

duci

(0

) c

(0

)

c

5

104t=0+~

页 下页d

2

ududts+106=0dt

250s250 c

2500

c

106

uc

047cu

Ke25

t

sin(

139t

)

K

sin

25139K

cos

25

K

sin

5

104K

358，

176Dcu

358e25

t

sin(

139t

176D

)V t

0cdt(4)

u

(

0

)

25

duc

5

104d

tuC358250~

页 下页481例:+-1F11Fu0-++

0.5-5(t)

d

du2(u1–5)

+

(u1

–

u0)

+

dt

(u1

–

u0)=0(u0-u1)

+

dt

0

=0u0(0+)=0dt+du0

(0

)=0d2u0

du0dt2+

3

dt

+

2u0

=10（t0）例题分析u0(t)=(–10e-t

+

5e–2t

+5)

(t)u

(t

)

k

et

k

e2t

5o

1

2p2

3

p

2

0p1

1,

p2

2ou

()

5

uo

(0)

k1

k2

5

0

du o

(0)

k

2k

0

1

2

dtdy

(0

)上页下页49dt3.求二阶电路全响应的步骤①列写t

>0+电路的微分方程。②求齐次方程的通解。③求非齐次方程的特解。④全响应=齐次方程的通解+非齐次方程的特解y(0

)⑤由初始值定常数。7.4.2

二阶电路的零状态响应与全