直线和平面垂直与平面和平面垂直市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

直线和平面垂直与平面和平面垂直【知识梳理】1．直线与平面垂直判定类别

语言表述

应

用

判

定

假如一条直线和一个平面内任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直证直线和平面垂直

假如一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面证直线和平面垂直

假如两条平行直线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面证直线和平面垂直

【知识梳理】2．直线与平面垂直性质baba

类别语言表述图示字母表示应用性质假如一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内任何一条直线都垂直

ab证两条直线垂直假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行ab证两条直线平行【知识梳理】3．两个平面垂直判定和性质Ba

OAaBa

OAla类语言表述图示字母表示应用判定依据定义．证实两平面所成二面角是直二面角．AOB是二面角a平面角，且AOB=90，则证两平面垂直假如一个平面经过另一个平面一条垂线，那么这两个平面相互垂直．性质假如两个平面垂直，那么它们所成二面角平面角是直角．，AOB是二面角a平面角，则AOB=90证两条直线垂直假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线直线垂直于另一个平面．a证直线和平面垂直【知识梳理】

4．三垂线定理和三垂线定理逆定理名称语言表述字母表示应用三垂线定理在平面内一条直线,假如和这个平面一条斜线射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.①证两直线垂直②作点线距③作二面角平面角三垂线定理逆定理在平面内一条直线,假如和这个平面一条斜线垂直,那么它也和这条斜线射影垂直.同上例1已知：正方体ABCD－A1B1C1D1(如图所表示)(1)求证：B1D⊥BC1；(2)求证：B1D⊥面ACD1；(3)若B1D与面ACD1交于O，求证：

DO∶OB1＝1∶2.考点一直线与直线垂直O【思绪导引】

证实线线垂直，可利用线面垂直性质，而证实线面垂直，可利用线面垂直判定．【证实】

(1)∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴DC⊥面BCC1B，∴DC⊥BC1，∵BCC1B1为正方形，∴BC1⊥B1C.又∵DC∩B1C＝C，∴BC1⊥平面B1CD，∴BC1⊥B1D.(2)(1)中证实了体对角线B1D与面对角线BC1垂直，同理可证：B1D⊥AD1，B1D⊥AC.∴B1D⊥平面ACD1.(3)设AC与BD交点为O′，则平面BB1D1D与平面ACD1交线为O′D1，则O′D1与B1D交点即为O，【方法探究】

证实线线垂直惯用方法有：(1)利用定义：同一平面内相交成直角时，两直线相互垂直，异面直线成直角时，两条异面直线相互垂直．(2)利用线面垂直：一条直线与一平面垂直，这条直线垂直于平面内任一直线．(3)利用向量：把证实两直线垂直问题转化为两直线方向向量垂直问题．2．对于四面体ABCD，给出以下四个命题①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.其中正确是________．解析：对于命题①，取BC中点E.如图(1)所表示，连结AE、DE，则BC⊥面AED，∴BC⊥AD，对于命题④，过A向平面BCD做垂线AO(如图(2)所表示)．连结BO与CD交于E，则CD⊥BE，同理CF⊥BD.∴O为△BCD垂心，连DO，则BC⊥DO，BC⊥AO，∴BC⊥AD.答案：①④例2 如图所表示，P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，若O、Q分别为△ABC和△PBC垂心．求证：OQ⊥平面PBC.【思绪导引】

此题关键是在平面PBC内找出两条相交直线与OQ垂直．考点二直线与平面垂直【证实】

如图，连结AO并延长交BC于E，连结PE，∵O为△ABC垂心，∴AE⊥BC.∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴PA⊥BC.∵PA∩AE＝A，∴BC⊥面PAE.又BC⊂面PBC，∴面PBC⊥面PAE，∵PE⊂面PAE，∴BC⊥PE，而Q为△PBC垂心，∴Q∈PE，即OQ⊂面PAE，∴BC⊥OQ.连结BO并延长交AC于F，连结BQ并延长交PC于H，连FH.∵O为△ABC垂心，∴BF⊥AC.又∵PA⊥BF，AC⊥BF，PA∩AC＝A，∴BF⊥面PAC.而PC⊂面PAC，∴BF⊥PC，又∵BH⊥PC，BF∩BH＝B，∴PC⊥面BFH，而OQ⊂面BFH，∴PC⊥OQ，又∵PC⊥OQ，BC⊥OQ，PC∩BC＝C，∴OQ⊥平面PBC.【方法探究】

欲证OQ⊥平面PBC，只要证实OQ与平面PBC中两相交直线垂直，因为PA⊥平面ABC，又因为O、Q均为三角形垂心，所以可得到一系列线线、线面垂直关系．而线线垂直、线面垂直关系又可相互转化，即可由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直又证得线线垂直．1．如图所表示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，A1A＝，D是A1B1中点．(1)求证：C1D⊥平面ABB1A1；(2)在BB1上找一点F，使AB1⊥平面C1DF，并说明理由．(1)证实：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1.又C1D⊂平面A1B1C1，∴C1D⊥A1A，又A1C1＝B1C1＝AC＝BC＝1，D是A1B1中点，∴C1D⊥A1B1，∴C1D⊥平面ABB1A1.(2)解析：作DE⊥AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，这是因为AB1⊥DF，AB1⊥C1D，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.【练习2】如图，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直SC平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB，AG⊥SD.【练习3】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE.（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1；（3）求证：DE⊥平面BB1C1C.

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证实你结论．考点三平面与平面垂直(1)【证实】

如图，取AD中点G，连接PG，BG，BD.∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.在△ABD中，∠DAB＝60°，AD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.(2)【解析】

连接CG，DE，且CG与DE相交于H点，在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，连接DF，∴FH⊥平面ABCD，∴平面DHF⊥平面ABCD.∵H是CG中点，∴F是PC中点，∴在PC上存在一点F，即为PC中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.

【方法探究】

证实直线和平面垂直，关键是寻找面内两相交直线与已知直线垂直．证实两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证实，也可作出二面角平面角，证实平面角为直角，利用定义来证实．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面相互垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.【练习1】所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连结FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.(10分)又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD又BD∩EG＝G.所以CF⊥平面BDE【练习2】

以下列图，过S引三条长度相等但不共面线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC.SBCAO练习3：如图ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＰＡ＝ＡＤ＝ａ，Ｍ、Ｎ分别是ＡＢ、ＰＣ中点.１)求平面ＰＣＤ与平面ＡＢＣＤ所成二面角大小；２)求证：平面ＭＮＤ⊥平面ＰＣＤＥＮＤＭＢＣPA【练习4】如图,四棱锥P-ABCD底面是矩形,PA平面ABCD,E,F分别是AB,PD中点,又二面角P-CD-B为45。1)求证:AF//平面PEC2)求证:平面PEC平面PCD3)

设AD=2,CD=,求点A到平面PEC距离【练习5】

已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行平面交上底面A1B1C1一边A1C1于点D.（1）确定D位置，并证实你结论；（2）证实：平面AB1D⊥平面AA1D；（3）若AB∶AA1=，求平面AB1D与平面AB1A1所成角大小.【知识方法总结】

1.线面