2017概率作业纸答案

第一章随机事件及其概率§1.1随机事件§1.2随机事件的概率一、单选题以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A为(D)(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”(B)“甲、乙两种产品均畅销”(C)“甲种产品畅滞销”(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”对于事件A、B，有BUA，则下述结论正确的是(C)(A)a、B必同时发生；(B)A发生，B必发生；(C)B发生，A必发生；(D)B不发生，A必发生设随机事件A和B同时发生时，事件C必发生，则下列式子正确的是(C)(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A)+P(B)(C)P(C)>P(A)+P(B)-1(D)P(C)<P(A)+P(B)-1二、填空题设A,B,C表示三个随机事件，用A,B,C的关系和运算表示(1)仅A发生为：ABC；A,B,C中正好有一个发生为：ABC+ABC+ABC；A,B,C中至少有一个发生为：A..IBJC；A,B,C中至少有一个不发生表示为：ABC.2•某市有50%住户订日报，65%住户订晩报，85%住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是30%.设P(A)二P(B)二P(C)二4,P(AB)二P(AC)二P(BC)二8P(ABC)二/则716P(716P(ABC)=916P(A,B,C至多发生一个)=3P(A,B,C恰好发生一个)=—.16(a)(a)p(BA)>o(B)P(A|B)=P(A)§1.3古典概率一、填空题31•将数字1，2,3,4,5写在5卡片上，任取3排成3位数，则它是奇数的概率为匸.2•把10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率为10!.若袋中有3个红球，12个白球，从中不返回地取10次，每次取一个，则第一次取得红11球的概率为匚，第五次取得红球的概率为匚.55盒中有2只次品和4只正品，有放回地从中任意取两次，每次取一只，则1(1)取到的2只都是次品石；94(2)取到的2只中正品、次品各一只石；98(3)取到的2只中至少有一只正品石.9二、计算题1．一份试卷上有6道题.某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误.试求这4处错误发生在最后一道题上的概率；这4处错误发生在不同题上的概率；至少有3道题全对的概率.解：4个错误发生在6道题中的可能结果共有64=1296种，即样本点总数为1296.设A表示“4处错误发生在最后一道题上”只有1种情形，因此P(A)丄；1296设B表示“4处错误发生在不同题上”即4处错误不重复出现在6道题上，共有P6436053605129618种方式，因此有6543360种可能，故P(B)设C表示“至少有3道题全对”相当于“至少有2个错误发生在同一题上”而C表示

“4处错误发生在不同题上”C=B,P(C)=1-P(B)=13.18已知N件产品中有M件是不合格品，今从中随机地抽取n件，试求：n件中恰有k件不合格品的概率；n件中至少有一件不合格品的概率.解：从N件产品中抽取n件产品的每一取法构成一基本事件，共有Cn种不同取法.N设A表示抽取n件产品中恰有k件不合格品的事件，则A中包含样本点数为CkCn-kMN-M由古典概型计算公式，P(A)=Ck由古典概型计算公式，P(A)=MN-MCnN设B表示抽取n件产品中至少有一件不合格品的事件，则B表示n件产品全为合格品的事件，包含Cn个样本点。则P(B)=1-P(B)=1-nm。N-MCnN3．一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件。从这批产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率；(2)取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率.解：设事件A表示取出的3件产品中有2件i等品，其中i=1，2，3；iC2C1+C2C1+CC2C1+C2C1+C2C1—9_H7_134_16=0671C320P(A+A+A)二P(A)+P(A)+P(A)二123123(2)设事件A表示取出的3件产品中至少有2件等级相同，那么事件A表示取出的3件产品中等级各不相同，则P(件产品中等级各不相同，则P(A)=1-P(A)=1-C1C1C1―9_7_4C320=0.779§1.4条件概率一、单选题1•设A,B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则必有(D).

(c)P(AB)=P(A)P(B)(D)P(A|B)=02•已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(AuB)=0.6，则P(A|B)=(d).(A)0.2(B)0.45(C)0.6(D)0.75已知AuB,P(A)=0.2,P(B)=0.3，则P(BA)二(c).(A)0.3(B)0.2(C)0.1(D)0.4已知P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(BIA)=0.5,贝qP(AuB)=(D).(A)0.9(B)0.8(c)0.7(D)0.65•掷一枚质地均匀的骰子，设A为"出现奇数点”，B为"出现1点”，则P(B|A)=(C).(A)1/6(B)1/4(C)1/3(D)1/2二、填空题已知P(A)=0.5,P(B)=0.6及P(B|A)=0.8,则P(AB)=0.7.设A,B互不相容，且P(A)=p,P(B)=q；则P(AB)二1-p-q.3.设事件A,B及AuB的概率分别为0.4,0.3,0.5，则P(AB)二0.2.4.已知事件A,4.已知事件A,B互不相容,且P(A)=0.3,0.6，则P(B)=0.5.5•设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.&活到25岁以上的概率为0.4.如果一只动物现在已经活到20岁，则它能活到25岁以上的概率是0.5.三、计算题一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解设Ai(i=1,2,3)为第i次抽到合格品的事件，则有P(AAA)=P(A)P(AA)P(AAA)=10/100・9/99・90/98^0.0083.123213122•一个盒子装有6只乒乓球，其中4只是新球.第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球，使用后放回盒子•第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球.试求第二次取出的球全是新球的概率.解：设B：第一次取出的都是新球，B:都是旧球，B:一新一旧123P(A)=fP(B)P(A|B)二C2xC2+CxC2xC4%C2xC2=—iiC2C2C2C2C2C225i=1666666某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表明，这3种人在一年发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，一个被保险人在一年出事故的概率是多大？解：设B=“他是谨慎的”B=“他是一般的”B=“他是冒失的”则B,B,B123123构成了。的一个划分，设事件A二“出事故”由全概率公式：P(A)=£P(B)P(AIB)iii=1二0.05x20%+0.15x50%+0.30x20%=0.125.§1.5事件的独立性§1.6独立试验序列一、单选题设A、B是两个相互独立的随机事件，P(A)P(B)>0，则P(AB)=(B)(A)P(A)+P(B)(B)1-P(A)•P(B)(C)1+P(A)•P(B)(D)1-PCAB)设甲乙两人独立射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，则目标被击中的概率是(B).(A)0.9(B)0.98(C)0.72(D)0.8每次试验成功率为p(0<p<1)，进行10次重复试验成功4次的概率为(A)进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为(B)进行10次重复试验，至少成功一次的概率为(D)进行10次重复试验，10次都失败的概率为(C)(A)C4p4(1-p)6(B)C3p4(1-p)6(C)(1-p)10(D)1-(1-p)10109二、填空题1.设A与B为两相互独立的事件，P(AB)=0.6,P(A)=0.4，则P(B)=3.TOC\o"1-5"\h\z三台机器相互独立运转，设第一、二、三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率0.496.3•某人射击的命中率为0.4，独立射击10次，则至少击中1次的概率为1一0.610.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为0.5.一批电子元件共有100个，次品率为0.05.连续两次不放回地从中任取一个，则第二次19才取到正品的概率为.396三、计算题1.5名篮球运动员独立地投篮，每个运动员投篮的命中率都是80％.他们各投一次，试求：恰有4次命中的概率；至少有4次命中的概率；至多有4次命中的概率.解：设A表示第i个运动员命中，i=l,2,3,4,5iP(A)=5xP(AAAAA)=5x0.2x0.84=0.409612345P(B)=P(A)+P(AAAAA)=0.4096+0.85=0.737312345P(C)=1-P(AAAAA)=1-0.85=0.6723123452．一个工人看管三台车床，在一小时车床不需要工人看管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7.求在一小时三台车床中最多有一台需要工人看管的概率.解：设事件A•表示第i台车床不需要照管，事件A表示第i台车床需要照管，(i=1，2,3)，ii根据题设条件可知：P(A)=0.9,P(A)=0.111

P(A)二0.&P(A)二0.222P(A)=0.7,P(A)=0.333设所求事件为B，则P(B)=P(AAA+AAA+AAA+AAA)TOC\o"1-5"\h\z123123123123根据事件的独立性和互不相容事件的关系，得到：P(B)=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)123123+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)123123=0.9x0.8x0.7+0.1x0.8x0.7+0.9x0.2x0.7+0.9x0.8x0.3=0.902.甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5（1）求恰有两位同学不及格的概率；（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.解：（1）设A=｛恰有两位同学不及格｝，B=｛甲考试及格｝，B=｛乙考试及格｝B=｛丙考试及格｝.则P(A)=P(BBBoBBBoBBB)=P(BBB)+P(BBB)+P(BBB)123123123123123123=P(B)P(B)P(B)+P(B)P(B)P(B)+P(B)P(B)P(B)=0.291231231232）P(B|A)P(AB2）P(B|A)P(AB)P(BBBoBBB)P(BBB)+P(BBB)15P(A)P(A)P(A)29第二章随机变量及其分布随机变量§2.2离散型随机变量及其概率分布一、单选题1.离散型随机变量X的概率分布为P（X=k）=Ak（k=1,2,）的充要条件是（A）.(A)九=(1+A)-i且A>0(B)A=1一九且0v九v1(C)A=九-1—1且九V1(D)A>0且0V九<1下面函数中，可以作为一个随机变量的分布函数的是(B).(A)F(x)=(C)(A)F(x)=(C)F(x)=0,x>0;x<0.(B)F(x)=11

arctanx+

n2(D)F(x)=JXf(g》t,其中J+sfC》t二1—g—s已知随机变量X服从二项分布X〜B(6,0.5),则P(X=2)=(c).16(A)64二、填空题1.16(A)64二、填空题1.已知随机变量1515(C)64X的取值是－1,0,1,2，随机变量3(D)5X取这四个数值的概率依次是13522b'4b'8b'而0,x<02.X〜B(l,0.8),则X的分布函数是F(x)=<0.2,0<x<1.1,x>1设随机变量X〜B(2,p),Y〜B(3,p)，若P(X>1}=专，则P&>-927重复独立地掷一枚均匀硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数Y的分布为P仗=k}=(2)k,k=1,2,3,.2三、计算题一寻呼台每分钟收到寻呼的次数服从参数为4的泊松分布•求(1)每分钟恰有7次寻呼的概率.(2)每分钟的寻呼次数大于10的概率.4k解：P(X=k)=e-4,(k=0,1,...)k!(1)P(X(1)P(X<7)—P(X<6)=4746——e—4———e—47!6!=0.9489—0.8893=0.059665656565410⑵1-P(X冬10)=1-10!e-4=1-°-9972=°.°028已知盒子中有4个白球和2个红球，现从中任意取出3个，设X表示其中白球的个数,求出X的分布列.解：X的可能取值为3、4、5，又11C23一，P{X二4}二—3-C31°C31°55X345133P———1°1°5P{X二3}C2,P{X二5}二4C35设随机变量Y的分布列为:TOC\o"1-5"\h\zY012AAaP234求（1）系数A及Y的分布列;(2)Y的分布函数；P务<2.5}.A=6°77⑶Ph<YP务<2.5}.A=6°77⑵F(x)=°,3°⑵F(x)=°,3°775°77771,x<°,°<x<1,1<x<2,2<x<3x>3.4727650123P3°2°151277777777⑴丁1=吕+吕+专+?=6°(3°+20+15+12)此时分布为2.32.3连续型随机变量及其概率密度一、单选题1.若函数f(x1.若函数f(x)=cosx,0,xeD是随机变量X的概率密度，则区间D为其它A)(A)［0,土］(B)［牛，兀］(C)［0』］L-iL-i2.下列函数为随机变量的密度函数的为(D)(A)Icosx,f(x)To,(A)Icosx,f(x)To,xe[0,n]其他1(B)f(x)=<2'°，|x<2其他(C)e202x>0x<03.设随机变量X的概率密度为f(x)，则f(x)—定满足(D)(A)0<f(x)<1(B)P(X>x)=Jxf(t)dt—g(C)J*8xf(x)dx=1(D)P(X<x)=Jxf(t)dt—g—g设X〜N(RQ2)，那么当o增大时，则P(|X-训<o)(C)(A)增大(B)减少(C)不变(D)增减不定设X〜"6,02)且P(0<X<4)=0.6，则P(X<0)=(C)(A)0.3(B)0.4(C)0.2(D)0.5二、填空题1.设连续随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx,—8<x<+8(1)A二1;B二-:⑵P(_1<X<1)=0.5;(3)概率密度f(x)=-二2nn1+x22•设随机变量X在在区间[-1,2]上服从均匀分布，则

P(P(一6<x<一1)=0P(一4<x<1)=2/3P(-2<x<3)=1,(4)P(1<x<6)=1/3.设随机变量X〜N(1,9),，则若P(X<k)=2,k=1.设随机变量X〜NG,22),①(0.5)=0.6915，则事件{0<X<2}的概率为0.383.5.设随机变量X〜N(2,b2)，若P{0<X<4}=0.3，则P{X<0}=0.35.三、计算题设连续型随机变量X的密度函数为cx0<x<3f(x)=<2-—3<x<4,2

0其它求：⑴常数c；(2)概率pfe<X<6).解：⑴由密度函数的性质ff(x)dx=1，得1=ff(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx+ff(x)dx+ff(x)dx=f0=f0dx+fcxdx+3c3(x2、49(7、—x2+2x—=—c+2—20kh丿22k4丿034—g1所以，得c=.即随机变量X的密度函数为691=—c+—2462x20062x200<x<33<x<4.其它⑵pb<X<6)=ff(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx+ff(x)dx2234(x「一6一一x23(x2]2-dx+J0dx=一+2x—2丿4122k忑丿=f—dx+6243512+=1243设随机变量X的分布函数为0,x<1,

F(x)=<lnx,1<x<e,1,x>e,3求P{X<2},P{1<X<4},P{X>-}；求分布密度f(x).解：(1)P{X<2}=P{X<2}=F⑵=ln211<x<e,P{1<X<4}=F(4)-F(1)=1-ln1=1,P{X>3}=1-11<x<e,(2)f(x)==-,f(x)=」x0,其他0,其他,3.设k在(0,5)上服从均匀分布，求方程4x2+4kx+k+2=0有实根的概率.解：x的二次方程4x2+4kx+k+2=0有实根的充要条件是它的判别式A二(4k)2-4x4(k+2)>0,即16(k+1)(k-2)>0,解得k>2,或k<-1由假设k在区间(0,5)上服从均匀分布，其概率密度为fk(fk(x)=0,0<x<5,其他,故这个二次方程有实根的概率为=ff(x)dx+2p=P{(k>2)(k<—1)}=P{k=ff(x)dx+2Jf(x)dx=J^dx+J0dx=3—g55—g—g22.4随机变量的函数及其分布一、计算题解：Y=X2所有可能取值为0,1,4,9.P{Y0}=P{X=0}=P{Y1}=P{X1}=P解：Y=X2所有可能取值为0,1,4,9.P{Y0}=P{X=0}=P{Y1}=P{X1}=P{X=1}+P{X=-1}=首30P{Y4}=P{X4}=P{X=2}+P{X=—2}=P{Y9}=P{X9}=P{X=3}+P{X=—3}=11113030Y0Y014917111P————k530530故X的分布律为:2•设随机变量X的概率密度f2•设随机变量X的概率密度f(x)=2x,0,0<x<1其它求下列随机变量的概率密度：1.设随机变量X的分布列为X-2-1013111111pk5651530求Y=X2的分布列.(2(2)fY(y)={0,0<y<1(1)Y=1+2X；(2)Y=X2.y-1解:(1)fY(y)=<2,1<y<30

3.设随机变量X在(0,1)区间服从均匀分布，求Y=eX的分布密度.解：Y的分布函数Fy(y)-P(Y<y)二P(ex<y)二P(X<lny)当y〉0时，F(y)=jlnyf(x)dx二lny(注意x在(0,1)有值，y在(0,e))—g11dy-,1<yae,fY(y)=\ydy|o,其他第三章二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布一、单选题1.设二维随机变量(1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=e—(x+y)0,x>0,y>0;其他.则P(X<Y)=(A)(A)0.5(B)0.55(C)0.45(D)0.62.二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)是以下哪个随机事件的的概率(B)(A)((A)(X<x)(Y<y)(B)(X<x)(Y<y)f(f(x,y)=6兀2(x2+4)(y2+9)C)XaxD)XC)Xax二、填空题xy1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=A(B+arctan-)(C+arctan彳)23则系数A=，(X,Y则系数A=2•设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=Ae-(2x+y)0,x>0,yf(x,y)=Ae-(2x+y)0,x>0,y>0;其他.则A=2三、计算题1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)=兀2(x2+4)(y2+9)，(x，y<+◎求(1)系数A；(2)P{0<X<2,0<Y<3}.解：(1)由于J+"J+"f(x,y)二1,A兀2(x2+4)(y2+9)dxdy，+OT—OT1(x2+4)dxJ+OT—OT1(y2+9)dyt=1,所以A=6(2)P{0<XV2,0<Y<3}=—J2-dxJ3-dy兀20(x2+4)0(y2+9)1162.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为k(6—x—y),0<x<2,2<y<40,其他试求：(1)常数k；(2)概率P(X<1,Y<3).解：(1)由于J+"J+"f(x,y)=1，—OT—OT故卜卜k(6-x-y)dxdy=1，-OT-OT8k=1

所以k=-8(2)P(X<1,Y<3)=J1J3-(6-x-y)dxdy=302883!将三个球随机的投入三个盒子中去，每个球投入盒子的可能性是相同的.以X及Y分别表示投入第一个及第二个盒子中球的个数，求二维随机变量(X,Y)联合概率分布.3!解：p（x=i，Y=j）=^^（护'=0^3;j=O'1'2,3；"）<3XY01230133127272727136302727272330027273100027边缘分布§3.3随机变量的独立性1.下表列出了二维随机变量(X,Y)联合概率分布及关于X和关于Y的边缘概率分布的部分数值，试将其余值填入表中的空白处y2y3P{X=x}=pii-1111x一12481241313x—28844

P{Y=y}=「1111X1-101P111—X1-101P111———424而P{XX二0}二1.12（1）求X和X的联合分布；（2）问X和X是否独立？为什么？1212解：X7X7-10100.2500.25100.50（2）X和X不独立。123.把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求（X,Y）的概率分布以及关于X、Y的边缘概率分布.解：X的可能取值为0，1，2，3；Y的可能取值为1，3并且（X,Y）可取值（0,3）,（1,1）,（2,1）,（3,3）P{x=°，y=3}=（2）3=1

TOC\o"1-5"\h\z113P{X=1,Y=1}=Ci(—)(—)2=--22811-P{X=2,Y=1}=C2(_)2(_)=—-228P{X=-,Y=-}=(—)-=—28得(X,Y)的分布及关于得(X,Y)的分布及关于X、Y的边缘概率分布为Y)的联合概率密度为f(x,y)=2e-(x+2y)0,4.已知二维随机变量(X,,x>0,y>0其他.判断随机变量判断随机变量X和Y是否独立?解:由于x>0x<解:由于x>0x<0f(y)='2e-2y'Y0,y>0y<0故故f(x,y)=f(x)f(y)XY所以随机变量X和Y独立一、单选题第四章随机变量的数字特征一、单选题第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望0,x<01•设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=<x3,0<x<1，则E(X)=(B)1,x>1(B).3x3(B).3x3dx0(C).3x4dx0(D)J+"3x3dx—g2•掷10颗骰子，令X为10颗骰子的点数之和，则E(X)=(C)(A)42(B)21/2(C)35(D)213•设随机变量X与Y相互独立，且它们分别在区间［-1,3］和［2,4］上服从均匀分布，则E(XY)=(C)(A)1(B)2(C)3(D)4二、填空题［kxa,0<x<1,1•设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=<其中k,a>0，又已知0,其它，E(X)=0.75，则k=_，a=2‘2•设随机变量X服从参数为2•设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E+e—2x4/31+x,—1<x<0,3.设随机变量X的概率密度为f(x)=<1—x,0<x<1,则E(X)=0,0,其它，4.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P(X=x)=,k=0,1,2,kk!则随机变量Z=3X—2的数学期望E(Z)=4.三、计算题1设X的概率分布为

Q1解：E(X)=Q1解：E(X)=3,E(-3X+2)=-3E(X)+2=--44-22.设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=12y2,0<y<x<1,0,其它，求E(X),E(Y).解:E(X)=J]xf(x,y)dxdy=J1xdxJx12y2dy二£，同理E00550<y<x<13•设随机变量X在区间［0,兀］上服从均匀分布，求随机变量函数Y=sinX的数学期望.解:EY=『兀丄sinxdx=—(-cosx)k=?0兀兀o兀第五章中心极限定理一、计算题已知一本书有500页，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2)•各页有没有错误是相互独立的，求这本书的错误个数多于88个的概率.(①(1.2)=0.8849)解：设X.表示第i页上的错误个数，(i=1,2,,00)i

则X〜P(0.2)，因此E(X)二0.2,D(X)二0.2(i=1,2,,500)iii设X表示这本书上的错误总数，由列维中心极限定理知X=f0X〜N(100,100)ii=1因此P{x>88}=1-P{x<88}=1-P]Xz!00W空匚①(1.2)=0.8849TOC\o"1-5"\h\zI710010J2•计算机在进行数值计算时，每次计算的误差都服从均匀分布U(-0.5,0.5)，若在一项计算中进行了100次数值计算，求平均误差落在区间L』3，』3]上的概率(①(1.2)=0.8849)L2020」解：设X)表示第i次计算的误差，(i=1,2,,00)则X.〜U(—0.5,0.5)，因此E(X)=0,D(X)=丄(i=1,2,,00)Iii-42设X表示100次计算的总误差，由列维中心极限定理知100100X=》X〜N(0,——)i12i=12020〔5、3<2020〔5、3<X<P<X<100=0(3)—0(—3)=20(3)—1=0.99743.某单位有100部，每部约有20%的时间使用外线通话.设每部是否使用外线是独立的,问该单位至少要安装多少条外线，才能以90％以上的概率保证每部使用外线时都能够打通？(①(1.28)=0.90)解:设X表示需要使用外面的数，Y表示安装的外线数，则X〜B(100,0.2)，因为n=100较大,所以X近似服从正态分布.np=20,npq=16.(q=1—p)p(x<Y)=p(x-20<Y—20)=①(Y—20)>90%444Y—20>1.28,.Y>25.124所以该单位至少要安装26条外线，才能以90%以上的概率保证每部使用外线时都能够打通？某品牌家电三年发生故障的概率为0.2,且各家电质量相互独立.某代理商发售了一批此

品牌家电,三年到期时进行跟踪调查：(1)抽查了四个家电用户,求至多只有一台家电发生故障的概率；(2)抽查了100个家电用户，求发生故障的家电数不小于25的概率.(①(1.25)=0.8944)解:设X表示发生故障的家电数，则X~B(4,0.2)P(X<1)=P(X二0)+P(X二1)=0.84+C1X0.2X0.83=0.81924X〜B(100,0.2)，因为n=100较大，所以X近似服从正态分布.np=20,npq=16.(q=1-p)25—20P(X>25)=1—P(X<25)=1-①(=1—①(1.25)=1—0.8944=0.1056第六章数理统计的基本知识一、单选题设X,X,,X是来自总体X的简单随机样本，则X,X,,X必然满足(C)12n12n(A)独立但分布不同(A)独立但分布不同(C)独立并且分布相同(B)分不相同但不独立(D)既不独立也不同分布2•设总体X〜N(p,Q2)，其中卩未知，b已知，X,X,X是来自总体的样本，则下列不是123统计量的是(D)A)min{XA)min{X,X,X}123(B)X+X+X123X+2XX+2X—X―123b2(D)2X—X+卩123•设X,X,,X独立且服从同一分布N(3•设X,X,,X独立且服从同一分布N(卩Q2),X是样本均值，记-2nS2=—X(x—X》，1n—1i.则下列服从t(n—-)S2=2ni的是(A=)S2=厶3n—-i=1S2=-为(X—^)2,4nii=-(A)t=(C)t=(D)t=4•总体X服从正态分布N(—1,4)，X为其容量为100的样本的样本均值，则服从正态分布N(0,1)的是(A)(A)5X+5(B)5X—5(C)1X+1(D)1X—-5555X,X,,X是来自正态总体N(pQ2)的样本，X为样本均值，S2为样本方差，则下列12n不正确的的是(C)(B)(X-心n〜n(0,1)(D)("—3〜咒2(n—1)G2二、填空题已知某总体X的样本值为99.3,98.7,100.05，101.2，98.3，99.7,99.5，102.1,TOC\o"1-5"\h\z100.5，则样本均值X=99.93，样本方差s2=1.43.已知样本观测值为：1050110010801120120012501040113013001200则样本均值X=1147，样本方差s2=7579_在一小时观测用户对站的呼唤次数，按每分钟统计得到观测数据列表如下：呼唤次数x/min0123456频数mi8161710621则样本均值X=2，样本方差s2=1.966TOC\o"1-5"\h\z4•设X,,X是独立且服从标准正态分布的随机变量，且每个X(i=1,,5)都服从N(0,1).15i若c(X2+X2)服从咒2分布，则c=1，其自由度为212.・・・・•X5•随机变量XN(0,1)，Yx2(9)，且X与Y相互独立，则^=t(9)厲—设总体X在区间[-a,a](a>0)服从均匀分布，X,X,,X是来自总体X的简单随机样12nTOC\o"1-5"\h\z本，X=-XX，则E(X)=0nii=1•..从总体N(50,4)中抽取容量为9的样本，则P(X>48)=0.9987X,,X和Y,,Y是来自正态总体N(-2,40)的两个独立样本，则X-YN(0,13)1518第七章参数估计§7.1点估计一、单选题X,X,X是来自总体X的样本，且E(X)=卩,D(X)=G2，则下列不是卩的无偏估计的是TOC\o"1-5"\h\z123(D)(a)(b)X+X+X(c)XXX(d)XXX(A)X(B)-23(C)-+2+3(D)-+2+323424633X,X,X是来自正态总体N(PQ2)的样本，下列卩的无偏估计量中最有效的是(A)123(A)X(B)X(C)1X+-X(D)1X+1X+1X23133412243二、填空题

设总体X在区间［o,o］上服从均匀分布，其中6>0为未知参数.如果取得样本观测值为x,x,,x，则参数6的矩估计值为2x12n2•设某厂生产的灯泡的寿命X服从寿命为九的指数分布，测得n个灯泡失效的时间为x,x,,x，则九的矩估计值丄12nx三、计算题1.设总体X的概率分布为X01p1-pp或P（X=k）=pk（l-p）i—k,k=0,1,其中p（0<p<1）为未知参数。如果取得样本观测值为x,x,,x，求p的矩估计值和极大似然估计值。12n解：（1）令x=E（X）=p，求得p=x为矩估计值。（2）似然函数为l（p）=Hp（x）=Hpx；（i-p）1-x；=pi=「（i-p）i；=1；=1取对数，得lnL(p)=lnp•工x+ln(1-p)-(n一工x)；=；=1；=1于是，得dlnL(p)区xn一dlnL(p)区xn一区x；；d6T=t-i=1p1-p=0.由此可得参数的极大似然估计值为求得p=x设总体X的概率分布为X123p6226(1-6)(1-6)2其中6（0<6<1）为未知参数。已知取得样本值x=1,x=2,x=1,试求6的矩估计值和极大123似然估计值.

具体地，X=X1+\+X3=尖也=02+40(1-0)+3(1-0)2即:4=-20+3，求得°=6为矩估计值。(2)似然函数为L(0)=Hp(x,0)=0220(1-0)02=205(1-0)i取对数，得lnL(0)=ln2+5ln0+ln(1-0)于是，得d0dlnL(0)01-0=0.由此可得参数的极大似然估计值为求得e=5d0others0,others3.设总体X的密度函数为f(x)=<3.设总体X的密度函数为f(x)=<e-0,x>0,0>012n0观测值，求参数0的极大似然估计值.0n解：似然函数为L(0)=Hf(x,0)=H£ei0ni=1ii=1取对数，得InL(0)=-nIn0-丄工x于是,0ii=1d0dlnL(0)=-n+丄》x=0d0i=100i=1由此可得参数的极大似然估计值为求得6=X。正态总体的置信区间、单选题1.对总体X〜NWQ2)的均值卩进行区间估计，得到置信度为0.95的置信区间，意义是这个区间是(D)(A)平均含总体95%的值(B)平均含样本95%的值(C)有95%的机会含样本的值(D)有95%的机会含卩的值2•若总体X〜N(PQ2)，其中b2已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1-a变小，则卩的置信区间(B)(A)长度变大(B)长度变小(C)长度不变(D)长度不一定不变3•设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的a(0<a<1)，数u^满足P(X>uj=a•若P(|x|<x)，则x等于(C)TOC\o"1-5"\h\z(A)u(B)u(C)u(D)uq&i—i—a2一22二、填空题由来自正态总体X〜N(卩,0.92)，测得容量为9的简单随机样本15.8,24.2,14.5,17.4,14.9,20.8,17.9,19.1,21.0则未知参数卩的置信度为0.95的置信区间为(17.812,18.988).(u=1.96)0.025进行10次独立测试