2019-2020学年四川省雅安市高一下期末数学试卷(有答案)

四川省雅安市高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.TOC\o"1-5"\h\z在等差数列｛an｝中，ai+a5=16,则a3等于（）A.8B.4C.-4D.-8在△ABC中，角A、B、C所对的边为a,b,c,若a=1,b=：'EB=120°,则A等于（）A.30°B.45°C.60°D.120°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为（）兀兀TTTTA.2B.3C.$D.吕■■■■■■已知向量方=（m+1,1）,b=（m+2,2）,若（％^）丄（方-b）,则实数m=（）A.-3B.1C.2D.4等差数列｛aj的前n项和为Sn,若a1=-12,S5=S8，则当Sn取得最小值时，n的值为（）A.6BA.6B.7C.6或7D.8216.正实数x、y满足x+y=1,则+壬的最小值为（）A.3B.4C.2龙D.3+2「2已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（）A.1条B.2条C.4条D.无数条设m,n是两条不同直线，a、B是两个不同平面，有下列命题：若a丄B，m丄a,则m不可能与B相交若mln,m丄a,则n不可能与a相交若m〃a,n〃a,则m与n—定平行若m丄B，n丄a,则a与B一定垂直其中真命题的序号为（）TOC\o"1-5"\h\zA.①②B.②③C.①④D.②④9•等腰梯形ABCD中，AB〃CD,DC=AD=2,ZA=60°,贝旷=（）A.6B.-6C.-3D.2

10.在△ABC中，AB=2,AC=3,G为厶ABC的重心，若AG=则厶ABC的面积为()真3^6V153^A.包B.2C.D.°11.11.已知f(x)=x+ln兰一则f(1)+f(2)+f(3)+・・+f(99)的值为(100-XA.5000B.4950C.99)99D.-abc12.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且BC边上的高为则当三+.取得最大值时，内角A=(2兀兀7V7VA.3B.2c.LD.°二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13.若变量x、y满足约束条件：jy-，则y-2x的最大值为x龙114.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若电卫日-S1=2015，则数列｛an｝的公差为201615.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起并连接AC形成三棱锥C-ABD，其正视图、俯视图均为等腰直角三角形(如图所示)，则三棱锥C-ABD的表面积为.16.在锐角厶ABC中，内角A、B、C的所对的边分别为a、b、c,若2acosC+c=2b,贝羸ing.cosg+cos2E的取值范围是.Z~2~2三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.等比数列｛aj的前n项和为Sn，若a1=3，S3=9，求数列｛an｝的公比与S10.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=-：(I)求bcosC+ccosB的值；(口)若cosA=，求b+c的最大值.19.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA丄平面ABCD，AD〃BC,AD丄AB，PA=AD=2BC=2AB=2.(I)求证：平面PAC丄平面PCD；(口)若E是PD的中点，求平面BCE将四棱锥P-ABCD分成的上下两部分体积V2之比.20.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足°匚=+兰QBTOC\o"1-5"\h\z'3'(I)求证：A、B、C三点共线;(口)已知A(1,cosx),B(1+cosx,cosx)(0WxW),f(Q二0ADC-(2irri—•|AB|的最乙u小值为-2,求实数m的值.21.在三棱锥ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA］丄底面ABC,AA1=,P、Q分别是AB、AC上的点，且PQ〃BC.(I)若平面A1PQ与平面A1B1C1相交于直线1,求证：l/B&p22.设数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+l成立，记bn=(n^N*).丄d—(I)求数列｛an｝和数列｛bn｝的通项公式;(口)设数列｛bn｝的前n项和为Rn,求证：对任意的n£N*,都有Rn<4n；(皿)记cn=b2n-b2n_1(n£N*),设数列｛cn｝的前n项和为Tn,求证：对任意n^N*,都有Tn<f.四川省雅安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.在等差数列｛an｝中，ai+a5=16,则a3等于（）A.8B.4C.-4D.-8【分析】利用等差数列的性质2a3=a1+a5，根据已知中等差数列｛an｝中，3严5=16,代入即可得到a3的值.【解答】解：•・•数列｛an｝为等差数列•:2a3=a】+a5=16,••83=8故选A【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq是解答本题的关键.在△ABC中，角A、B、C所对的边为a,b,c,若a=1,b=「；殳B=120°,则A等于（）A.30°A.30°B.45°C.60°D.120°【分析】利用正弦定理列出关系式，将a,b,sinB的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数.【解答】解：在△ABC中，a=1,b=・\B=120°,Va<b,AA<B,则A=30°.故选：A.【点评】此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键TOC\o"1-5"\h\z3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为（）JTJT7T7TA.2B.茂C.4D.6

【分析】由BC丄CD,CBi丄CD,得到平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角的平面角为ZBCB1,由此能求出平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角的大小.【解答】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，TCD丄平面BCC1B1,ABC丄CD,CB］丄CD,・•・平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角的平面角为ZBCB1,VBC=BB1,BC丄BB1,7TAZBCB1=.兀A平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为故选：C．A点评】本题考查二面角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养故选：C．A点评】本题考查二面角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养民/ft.$1C—I-—I-―I-—I-―I-―I-TOC\o"1-5"\h\z4.已知向量方=(m+1,1),b=(m+2,2),若(^+41(方-b),则实数m=()A.-3B.1C.2D.4【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，列出方程求出m的值.■■■■—►【解答】解：向量壬(m+1,1),b=(m+2,2),.•.(◎+b)=(2m+3,3),(E-b)=(-1,-1)；■■■■又(方+切丄(3-^),1-1-1-tr.•.(吕+^)丄(^)=-(2m+3)+3X(-1)=0,解得m=-3.故选：A.【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目.5•等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若a1=-12,S5=S8，则当Sn取得最小值时，n的值为()A.6B.7C.6或7D.8【分析】由等差数列前n项和公式，列出方程求出公差d=2，由此能求出Sn,再利用配方法能求出当Sn取得最小值时，n的值.【解答】解：•・•等差数列｛an｝的前n项和为Sn,a1=-12,S5=S8,-12X5+-^-^d=-12X解得d=2,TOC\o"1-5"\h\zn(n-1)131&9.—9—I一丁TSn=-12n+=n2-13n=(n-^)2-,・••当Sn取得最小值时，n=6或n=7.故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和取最小值时，n的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.2_丄6.正实数x、y满足x+y=1,贝F+F的最小值为()A.3B.4C.2''2D.3+2'辽Z丄Z丄旦空【分析】运用乘1法，可得工+歹=(x+y)(鼻+卩)=3+卩+X，再由基本不等式计算即可得到所求最小值及相应x，y的值.【解答】解：正实数x、y满足x+y=1，可得：2丄2丄兰空西用+頂=(x+y)(‘+卩)=3+"+*三3+2；1x=3+2.当且仅当x=；龙y=2-I龙，取得最小值3+2〔龙.故选：D．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有()A.1条B.2条C.4条D.无数条【分析先确定直线和AB,BC所成角相等的直线在对角面内,然后确定在对角面内的体对角线满足条件•分别进行类比寻找即可．【解答】解：若直线和AB，BC所成角相等，得直线在对角面BDD1B1，内或者和对角面平行，同时和CC]所成角相等，此时在对角面内只有体对角线BD1满足条件.此时过A的直线和BD1，平行即可，同理体对角线A1C，AC1，DB1，也满足条件.，贝过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可，共有4条．故选：C．点评】本题主要考查异面直线所成角的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．8.设m,n是两条不同直线，a、B是两个不同平面，有下列命题：若a丄B，m丄a,则m不可能与B相交若mln,m丄a,则n不可能与a相交若m〃a,n〃a,则m与n—定平行若m丄B，n丄a,则a与B一定垂直其中真命题的序号为()A.①②B.②③C.①④D.②④【分析】利用直线与平面平行与垂直,面面垂直的性质和判断,分析4个选项,即可得出结论【解答】解：①若a丄B，m丄a,则m〃B或muB，故①正确；若mln,m丄a,则n〃a或nua,故②正确；若m〃a,n〃a,则m与n平行、相交或异面，故③不正确；若m丄B，n丄a,则a与B可以平行，故④不正确.故选：A.【点评】本题考查直线与平面平行与垂直,面面垂直的性质和判断的应用,考查逻辑推理能力,属于中档题.9•等腰梯形ABCD中，AB〃CD,DC=AD=2,ZA=60°,则就切=()A.6B.-6C.-3D.2【分析】可画出图形，根据条件即可得到ZD==120°，根据向量减法几何意义即可得到应二匾-D忆琳二-2DC-砧，从而由向量的数量积的运算即可得出疋’叩的值.【解答】解：如图，根据条件，AB=4,紅二2DC,ZD=120°；AC=DC-血，亦二瓦-丽=-2龙-叽:页*BD二(DC-矗”(-2DC-DA)"―2—►——*—►2_-2DC4-DC-DA+D^=-8-2+4=一6・故选B・AE【点评】考查等腰梯形的定义，向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，向量的数量积的运算及计算公式・£TOC\o"1-5"\h\z10.在△ABC中，AB=2,AC=3,GABC的重心，若AG=，则△ABC的面积为（）真3^6应3^A・$B.IBC.D.4【分析】由G为重心，设BE=x,可得BC=2x,可求AE,由余弦定理可得AB24-BE2-AE2肿+BG，-AC’iAB"BE=，代入可求x的值，进而可求BC,利用余弦定理可求cosB,根据同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】解：由：GABC的重心，设BE=x,可得BC=2x（E为BC中点）由：AG='，可得AE=2,由余弦定理可得：TOC\o"1-5"\h\zAB24-BE2-AE2-心ZAB'-BE=SAB'-BC由于：AB=2，AC=3，4+s-44+4y'-91-0可得：=，整理解得：x=2/Io\-10可得：BC=2X•=,AB24-BC2-AC2—门0・cosB==2；W0=S故选：D.A【点评】本题主要考查了三角形重心的性质，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．已知f(x)=x+机-贰，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)的值为()A.5000B.4950C.99D.-【分析】推导出f(x)+f(100-x)=100,由此能求出f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)的值.【解答】解:Vf(x)=x+1严一*M100-玄••・f(x)+f(100-x)=x+ln】加-x+100-x+lnX=100,.•・f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)=50[f(1)+f(99)]-f(50)=50X100-50=4950.故选：B.【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出f(x)+f(100-x)=100.&b<在AABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且BC边上的高为戈，则当匚+^取得最大值时,TOC\o"1-5"\h\z内角A=()2兀JT7T7TA.2B.2C.1D.4b七【分析】运用三角形的面积公式和余弦定理，可得…=2(sinA+cosA),再由两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，可得最大值及A的值.【解答】解：由三角形的面积公式可得，丄皀bcsinA=債a戈，即a2=2bcsinA，由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA

可得b2+c2-2bccosA=2bcsinA,bc=2sin(A+),即有c+h=2(sinA+cosA)=2sin(A+),_c_当A+Q=二，即A=°时，7+匕取得最大值2故选：D.点评】本题考查余弦定理和三角形的面积公式的运用，以及两角和的正弦公式及正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分•、共20分.«y-13.若变量x、y满足约束条件：R<1，则y-2x的最大值为【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论.【解答】解：设z=y-2x，得y=2x+z,作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点B（0，1）时，直线y=2x+z的截距最大，此时z取得最大值，代入z=y-2x,得z=1-0=1，故答案为：1.1/了\/厂\【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.14.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若-S]=2015,贝燉列｛an｝的公差为2【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列｛an｝的公差为d,...抚」.E-S1=2O15,.°.ai+'d-ai=2015,解得d=2.故答案为：2．【点评】本题考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起并连接AC形成三棱锥C-ABD，其正视图、俯视图均为等腰直角三角形（如图所示），则三棱锥C-ABD的表面积为亠速—.【分析】结合直观图，根据正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，可得平面BCD丄平面ABD,分别求得△BDC和厶ABD的高，即为侧视图直角三角形的两直角边长，代入面积公式计算.【解答】解：如图：.正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，・•・平面BCD丄平面ABD，又0为BD的中点，・C0丄平面ABD，0A丄平面BCD，三角形ACD与厶ABC等式等边三角形，边长为2,所以面积相等为又厶ABD和厶BCD面积和为正方形的面积4，・•・三棱锥C-ABD的表面积为厂$+4；故答案为：4+21工点评】本题考查了由正视图、俯视图求几何体的表面积，判断几何体的特征及相关几何量的数据是关键.cosA=兀<sin(BcosA=兀<sin(B+)W1；2=sin(B+$)+6得A=:VsAAb16.在锐角AABC中，内角A、B、C的所对的边分别为a、b、c,若2acosC+c=2b，则sin戈cos戈+cos2戈近+i3的取值范围是(2,戈].【分析】锐角△ABC中，利用余弦定理求出cosA以及A的值，再求出B的取值范围，化简sin殳cos》+cos2戈，即可求它的取值范围.【解答】解：锐角厶ABC中，2acosC+c=2b，.°.2a丄出+c=2b，即a2+b2-c2+bc=2b2,bc=b2+c2-a2,TOC\o"1-5"\h\z1B■232o.…sincos二+cos2=sinB+頁+i3它的取值范围是(2，2].后11故答案为：(2，约.点评】本题考查了三角恒等变换以及余弦定理的应用问题，是综合性题目．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.等比数列｛aj的前n项和为Sn，若a1=3，S3=9，求数列｛an｝的公比与S10.【分析】设等比数列｛an｝的公比为q，y由a]=3,Ss=9,可得a】+a2+a3=3(1+q+q2)=9，解得q,利用求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列｛an｝的公比为q,・・a=3,S3=9,.a1+a2+a3=3(1+q+q2)=9，化为：q2+q-2=0，解得q=1或-2

q=l时，S]0=3O.孔1—（—2）1°]q=-2q=l时，S]0=3O.孔1—（—2）1°]q=-2时，S]0=1IC=-1023.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,a=〔3（I）求bcosC+ccosB的值；（口）若cosA=債，求b+c的最大值.【分析（I）利用余弦定理求得bcosC+ccosB的值.（口）若cosA=,【解答】解：（I）（口）若cosA=,利用余弦定理以及基本不等式求得b+c的最大值.bcosC+ccosB=b"出2比=a=，△ABC中,7T则A=3,b+c由余弦定理可得a2=3=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,?V3/.（b+c）2=3+3bcW3+3£，.:b+cW2，当且仅当b=c时，取等号，故b+c的最大值为2.【点评】本题主要考查余弦定理，基本不等式的应用，属于基础题.19.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA丄平面ABCD，AD〃BC,AD丄AB，PA=AD=2BC=2AB=2.（I）求证：平面PAC丄平面PCD；（口）若E是PD的中点，求平面BCE将四棱锥P-ABCD分成的上下两部分体积V2之比.平面PAC丄平面PCD；（口）证明B，C，E，F四点共面，故平面BCE将四棱锥P-ABCD分成的上部分为四棱锥P-BCEF，下部分为多面体EFABCD.易知ABF-HCE为直三棱柱，CH丄平面PAD,利用体积公式，即可求平面BCE将四棱锥P-ABCD分成的上下两部分体积V]、V2之比.

【解答】（I）证明：TPA丄平面ABCD,CDu平面ABCD,.•.PA丄CD.取AD中点H,连接CH,贝yCH丄AD,CH=AB=HD..•・ZACH=ZDCH=45°,.AC丄CD,•.•PAcAC=A,.•.CD丄平面PAC,TCDu平面PAC,・•・平面PAC丄平面PCD；（口）解：取PD中点E,PA中点F,连接EF,BE,贝9EF〃AD,•.•BC〃AD,.•・EF〃BC,••・B,C,E,F四点共面.故平面BCE将四棱锥P-ABCD分成的上部分为四棱锥P-BCEF，下部分为多面体EFABCD.易知ABF-HCE为直三棱柱，CH丄平面PAD.易知ABF-HCE为直三棱柱，CH丄平面PAD.一ABCD-yxixix…V2=Vabf-HCE+VC-DEH=SAABFXyXlXjXlJ-正确运用公式是关键.QC1.0A20.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=2+3(I)求证：A、B、C三点共线;

9AQC空AB(口)已知A(1，cosx)，B(1+cosx，cosx)(OWxW》)，f(x)=-(2m+$)||的最小值为-2，求实数m的值.2芯OA2两边同减去，进行向量的数乘运算便可得出2芯OA2两边同减去，进行向量的数乘运算便可得出OC=vOA+-t-0&【分析（I）根据向量减法的几何意义，在2*KC二三AB'，这样便可得出三点A，B，C共线；（口）根据上面容易求出点C的坐标，并求出向量紐的坐标，从而得出f（x）=（cosx-m）2+1-m2，这样根据配方的式子，讨论m的取值：mVO,0WmW1,m>1,这样即可求出m的值.―r—t'9―b―h0C-OA=v（OB-0A）【解答】解：（I）由已知得即.・.应”菖，又・.•応丽有公共点人；••・A••・A,B,C三点共线;f（K）=QA-OC-炫叶亍”|血|=(cosx=(cosx-m)2+1-m2；…，.:cosxW[0,1]；①当mVO,当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值为1（舍去）-.■■10—JIF—当0WmW1时，当且仅当cosx=m时，f（x）取得最小值为1-m2,」（舍去）当m>1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值2-2m,2-2m=-【点评】考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及共线向量基本定理，根据点的坐标求向量的坐标，以及配方求二次函数最值的方法．V321.在三棱锥ABC-AiB&i中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA]丄底面ABC,AA丁2,P、Q分别是AB、AC上的点，且PQ〃BC.（I）若平面A1PQ与平面A1B1C1相交于直线1,求证：l/B&p（口）作PQ的中点M,B1C1的中点N,连接A1M,MN,A1N,利用线面垂直的判定证明A1M丄PQ,A1M丄MN,即可平面A1PQ丄面PQB1C1,再利用余弦定理即可确定P点的位置.【解答】解:（I）证明：•.•PQ〃BC〃B1C1,B]C]U面A1B1C1,PQ面A1B1C1,.•・PQ〃面A1B1C1；…（2分）•面A1PQn面A1B1C1=1,・.PQ〃1,...（3分）A1#B1C1；…（6分）（口）P为AB的中点时，平面A1PQ丄面PQC1B1；证明如下：作PQ的中点M,B1C1的中点N,连接A1M,MN,A1N,PQ〃BC,AP=AQ，进而A1Q=A1P,.A1M丄PQ,•平面A1PQ丄面PQC1B1，平面A1PQn面PQC1B1=PQ,AA1M丄面PQC1B1,而MNu面PQC1B1,AA1M丄”2即4A1MN为直角三角形；连接AM并延长交BC于G,显然G是BC的中点，OAP地葢43设AP=