2018新课标全国卷Ⅲ高考理科数学试卷含答案

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={xlx—1三0},B={0,1,2},则AAB=A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}【解析】由集合A得，x±1,故AAB={1,2}，故答案选C.2．(1＋i)(2—i)=A．—3—iB．—3＋iC．3—iD．3＋i【解析】(1+i)(2—i)=3+i,故选D.3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,贝咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是俯视方向寸卯眼的木构件的俯视图可以是俯视方向寸A．AB．BC．CD．D【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，故是虚线，结合榫头的位置知选A.4.^^sina=3，贝9cos2a=()OO-9OO-9A7-9B.【解析】cos2a=1—2sin2a=1—2x（3）2=92(X2+2)5的展开式中的系数为xA.10B.20C.40D.80【解析】T”+]=C5(x2)5-r®=C52rxio-3r,由10—3厂=4,得r=2,所以X4的系数为C2x22=40.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点，点P在圆(x—2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[",W2]D.[2迈，3迈]12+21【解析】由题意知圆心的坐标为(2,0),半径厂=应，圆心到直线x+y+2=0的距离d^-q+1=2冷2故圆上的点到直线的最大距离是d+r=3\2，最小距离是d—r=、R•易知A(-2,0),B(0,-2)，故IABI=^;'2，故2WS“BpW6.A.AB.BC.CD.D【解析】当x=0时，y=2，排除A,B.才(x)=—4x3+2x=—2x(2x2—1)，当x^(0,)时，f(x)>0,排除C,故正确答案选D.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3【解析】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，故D(X)=10p(1—p)=2.4,故p=0.6或p=0.4.由P(X=4)<P(X=6)，得C|0p4(1—p)6<C(10p6(1—p)4,即(1—p)2<p2，故p>0.5,故p=0.6.a2+b2—c2AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为4，则C=()

A．C_A．C_C・4D．【解析】因S&Bc=2absinC,故匚=|absinC.由余弦定理a2+b2—c2=2abcosC,得2abcosnC=2absinC,即cosC=sinC.故在AABC中，C=”.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9、冃,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.1^；'3B・1^；'3C.24,3D.54./3【解析】设等边AABC的边长为x,则2x2sin60。=9右，得x=6.设AABC的外接圆半径为r,则2r=sin60°，解得r=2\;3,故球心到AABC所在平面的距离d=l”：42—(2\'3)2=2,则点D到平面ABC的最大距离d,=d+4=6.故三棱锥D—ABC体积的最大值V=1max设F1，F2是双曲线C：a—b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若卩耳1=“拓IOPI,贝啲离心率为A.V5B.2C.诵D.迈bbIbcI【解析】不妨设一条渐近线的方程为y=ax，则F2到y=x的距离d===b,在RtAF2PO中,|F2O|=c，故|PO|=a,故|PF1|=；6a，又|F0|=c，故在△F/O与Rt’PO中，根据余弦定理得cosZPOF1=a2+c2—^a)2=—cosZPOF2=—a,则3a2+c2—^'6a)2=0,得3a2=c2故12.设12.设a=log°2。•3,b=log20.3,则(A.aA.a+b<ab<0B.ab<a+b<0Ca＋b<0<abDab<0<a＋b【解】由a=logQ2。•3得，：=log°3。•2,由b=log2。.3得，b=log°3?，故a+b=l°g。3°•2+log032=log030.4,故0<1+*<1得，0<号3<1.又a>0，b<0,故ab<0,故ab<a+b<0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知向量a=(1,2),b=(2,—2),c=(1,久).若c〃(2a+b)，则A=.【解析】由题得，2a+b=(4,2),因c〃(2a+b)，又c=(1,久)，故42—2=0,即久=2*.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为一2,则a=.

【解析】/(xpSx+a+Dex,则f(0)=a+l=—2,故a=—3,故答案为一3.n15.函数fx)=cos(3x+6)在［0,n］的零点个数为.nnnnkn【解析】由题意知，cos(3x+&)=0，故3x+6=2+kn,k^Z，故x=9^y,kWZ，当k=0时，xTOC\o"1-5"\h\zn4n7n=9；当k=1时，x="9;当k=2时，x=~9，均满足题意，故函数f(x)在［0，n］的零点个数为3.16.已知点M(—1,1)和抛物线C：y2=4x,过的焦点且斜率为的直线与交于A,B两点.若ZAMB=90°,则k=.1)(砂0),由【解析】法一：由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x—y=k(x1)(砂0),由消去y得k2(x—1)2=4x,即k2x2—(2k2+4)x+k2=0,设A(x.,y.),B(x2,、y2=4x,112y==(消去x得y2=4(y==(消去x得y2=4(}y+1)，即y2—4y—4=0,则、丿y2),则x1+x2=~k2~,x1x2=1-由y1+y2=^,y1y2=—4,由ZAMB=90。，得AfB=(x1+1,y1—1)^(x2+1,y2—1)=x1x2+x1+x2+2k2＋44［十儿儿―(y1+y2)+1=°,将x］+x2=—k2—,x1x2=1与儿+丁2=呂，y1y2=—4代入，得k=2.法二：设抛物线的焦点为F,A(x1，y1),B(x2,y2),则法二：设抛物线的焦点为F,A(x1，y1),B(x2,y2),则4［y2=4x2，々丿212x1—x2-y+y,取AB的中点M(x°,y0),分别过点A,B作准线x=—1的垂线，垂足分别为A',B',又ZAMB=90°,点M在准线x=—1上，所以IMM'|=|lABI=|(IAFI+IBFI)=|(IAA'|+IBB'|).又M'为AB的中点，所以MM'平行于x轴，且y0=1,所以y1+y2=2,所以k=2.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.等比数列｛an｝中，a1=1,a5=4a3.(1)求｛a“｝的通项公式；⑵记Sn为｛an｝的前n项和.若Sm=63，求m.【解析】(1)设｛an｝的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2，解得q=0(舍去)，q=—2或q=2.故an=(—2)n—1或a”=2n-1.1—(—2)n⑵若an=(—2)n-1,则Sn=3".由Sm=63得(一2)m=—188,此方程没有正整数解.若a“=2n—1，则S=2n—1.由S=63得2m=64，解得m=6.nm综上,m=6.18.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制

了如下茎叶图：第•种生产方式第二种生产力式了如下茎叶图：第•种生产方式556S90I22345668]44<根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式n(ad－bc)2n(ad－bc)2附."(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'P(K2±k)0.0500.0100.0013.8416.63510.828解析】(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.50)50).以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．⑵由茎叶图知m=1(79+81)=80.列联表如下:超过不超过第一种生产方式155第二种生产方式515⑶由于K2=n(ad—be)2(a⑵由茎叶图知m=1(79+81)=80.列联表如下:超过不超过第一种生产方式155第二种生产方式515⑶由于K2=n(ad—be)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)40(15x15—5x5)220x20x20x20=10>6.635,故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．19.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C,D的点.证明：平面AMD丄平面BMC；当三棱锥M—ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.【解析】(1)证明由题设知，平面CMD丄平面ABCD,交线为CD.因为BC丄CD,BCu平面ABCD,故BC丄平面CMD,又DMu平面CDM，故BC丄DM.因为M为CD上异于C,D的点，且DC为直径，故DM丄CM.又BCACM=C，故DM丄平面BMC.由于DMu平面AMD,故平面AMD丄平面BMC.—(2)解以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz.当三棱锥M—ABC体积最大时，M为CD的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),--AM=(—2,1,1),AB=(0,2,-0),DA=(2,0,0).设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量，则］nAM,-=0,即的法向量，因此cosln・AB,n,DA〉—-=0,-nDA,—|n||DA,|—2x+y+z=0,2y=°.sin-可取n=(1,0,2).又DA是平面MCD-n,DA〉2,'5~5~.故平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值为斗520.已知斜率为k的直线l与椭圆C：X2+y2=1交于A,B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>(1)证明：kV-*；⑵设f为c的右焦点，p为c上一点，且FP+Fa+FB=0.证明：IFai,ifpi,ifbi成等差数列,并求该数列的公差．【解析】(1)证明设A(x1，y1),B(x2,y2),则予+号=1，节+号=1・两式相减，并由得冲2+儿丁血k=0.由题设知匚导2=1，儿丁y2=m，于是k=—4m①.由于点M(1，m)(m>0)在椭圆手+y3=1内，故1+晋<1，解得OVm<|,故kV—2.(2)解由题意得F(1,0).设P(x3,y3)，则(x3—1,y|)+(x1—1,y1)+(x*—1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=I—(x1+x2)=1,儿=—(y]+y2)=—2m<0.又点P在C上，故m=|，从而P(1,—扌)，|FP|=2・于是|FA|=寸(X]—1)2+用=寸(X]—1)2+3(1—予)=2—专.同理IFB|=2—专.故iFAi+if"Bi=4—|(x1+x2)=i.故2iFPi=iFAi+iFBi,即iFAi,iFPi,iFBi成等差数列.设该数列的公差为d,则2IdI=IIFBI—IFAII=2lX1—X2I=^-j'(X[+x2)2—4%严2②.将m=4代入①得k=—1.故l的方程711为y=—x+4，代入C的方程，并整理得7x2—14x+4=0-故x1+x2=2,x1x2=28，代入②解得Idl二进1.故该数列的公差为I2f1或一驾121.已知函数f(x)=(2+x+ax2)^ln(1+x)—2x.若a=0,证明：当一1<x<0时，fx)<0；当x>0时，fx)>0；若x=0是fx)的极大值点，求a.X【解析】(1)证明当a=0时，f(x)=(2+x)ln(1+x)—2x,.f(x)=ln(1+x)—.设函数g(x)=f(x)xx=ln(1+x)—丰，则g，(x)=(1+x)2•当一1<x<0时，g'(x)<0；当x>0时，g'(x)>0.故g(x)在(—1,0)上单调递减，在(0,+呵上单调递增，故当x>—1时，g(x)三g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f(x)20,且仅当x=0时，f(x)=0.故fx)在(一1,+呵单调递增.又f(0)=0,故当—1<x<0时，fx)<0；当x>0时，fx)>0.(2)解(i)若a±0,由(1)知，当x>0时，fx)2(2+x)ln(1+x)—2x>0=f(0)，这与x=0是fx)的极大值点矛盾.f(x)2x〔/1](ii)若a<0,设函数h(x)=2+x+ax2=ln(1+x)—2+x+ax2•由于当lxl<min{1^/万[时，2+x+ax2>0，故h(x)与fx)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是fx)的极大值点当且仅当x=0是h(x)如果6a+112(2+x+ax2)—2x(1+2ax)x2(a2x2+4ax+6如果6a+1的极大值点.h'(x)=応一(2+x+ax2)2=(x+1)(ax2+x+2)2-

6a+1>0,则当0VxV—兀一，且IxIVmin］1,寸書］时，h'(x)>06a+1>0,则当0VxV—兀一6a+lV0,则a2x2+4ax+6a+l=0存在根X]VO,故当x^g,0)且IxlVminl,曲时,h(x)V°,x3(x－24)故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1=0,则曲时,h(x)V°,x3(x－24)0)时，h(x)>0；当x£(0,1)时，h(x)V0.故x=0是h(x)的极大值点，从而x=0是fx)的极大值点.综上，a=—6(二)选考题：共10分,请考