2018年高考真题-理科数学(全国卷Ⅲ)

ABC4・ABC4・右*sillor=-,则cos2a=3A.B.ZC.-199A.10B.20C.40D.802018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x\x-1^0},B={Q,1,2},贝!j=A.{o}B.{1}C・{1,2}D.{0,1,2}2・（1+】）（2一苦A.-3-iB・-3+iC・3-iD.3+13・屮国古建筑借助樺卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫樺头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是樺头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是D.95・*+弓的展开式中/的系数为6-直线x+y+2=0分别与轴，轴交于A,B两点，点P在圆（x-2『+才=2上，贝!JAABP面积的取值范围是A.[2,6]B.[4,8]C.D.A.[2,6]B.[4,8]C.D.7・函数尸-++F+2的图像大致为CD8・某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为〃，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员屮使用移动支付的人数，DX»P(X=4)<P(X=6)f贝ljp=A.0.7B.0.6C・0.4D.0.39.AABC的内角A,B,C的对边分别为，，，若AABC的面积为宀庆",则C=4A.ZB.C・上D.Z234610・设A.B.C.D是同一个半径为4的球的球面上四点，AABC为等边三角形且其面积为9血，则三棱锥D-ABC体积的最大值为A.12a/3B.18^3A.12a/3B.18^3C.24a/3D.54>/311.设F,是双曲线C：匚耳=1（d〉0,b>0）的左、右焦点，0是坐标原点.过耳作C的一条渐近线的垂线，垂足为P・若=鬥，则C的离心率为A.x/5B.2C,V3D.s/212.设&=logo20.39b=log20.3,则A.a+b<ab<0B<ab<a+b<0C.a+b<O<cibD•ab<0<a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.TOC\o"1-5"\h\z13・已知向量“=（1,2）,b=（2,-2）,c=（l,久）・若c〃（加+b）,贝!］兄=.14・曲线尸（处+1疋在点（0,1）处的切线的斜率为—2,则g•函数/（x）=cos（3.r+^在［0,可的零点个数为・已知点M（-l,1）和抛物线C：y2=4x,过C的焦点且斜率为的直线与C交于A,B两点.若ZAMB=90Q,贝1"=.三、解答题：共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考题，每个试题考生（12分）等比数列｛"”｝中，«,=1,a5=4a3・（1）求匕｝的通项公式；（2）记S“为仏｝的前项和.若S“严63,求加.(12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式•为比较两种生产方式的效率，选取40名工人,将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式•根据工人完成生产任务的工作时间（单位：nun）绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452110090（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数加，并将完成生产任务所需时间超过山和不超过川的工人数填入下面的列联表：超过m不超过加第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）屮的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?n(ad-bey(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)0.0500.0100.0013.8416.63510.828（12分）如图，边长为2的正方形加CD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C,D的点.（1）证明：平面AW丄平面BMC；（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面哪与面MCD所成二面角的正弦值.（12分）已知斜率为的直线与椭圆C：M+2L1交于a,B两点，线段初的屮点为43M（1>0）•（1）证明："丄；2（2）设F为C的右焦点，卩为（7上一点，且FP+FA+FB=O•证明：网，网,网|成等差数列，并求该数列的公差.（12分）已知函数/（x）=（2+x+ar）ln（l+x）-2x・（1）若a=0,证明：当-l＜x＜0时，/（x）＜0;当兀＞0时，/（x）＞0;（2）若x=0是/⑴的极大值点，求.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4—I：坐标系与参数方程］（10分）在平面直角坐标系By中，OO的参数方程为P=C0S^（为参数），过点（0.-V2）且倾斜角为。的直线与。O交于A,B两点.（1）求Q的取值范围；（2）求初中点p的轨迹的参数方程.23.选修4—5：不等式选讲](10分)设函数/(x)=|2x+l|+|x-l|.画出y=f(x)的图像;当xe[o,+oo),f(x)^ax+b,求d+z?的最小值.参考答案:12参考答案:123456CDABCA789101112DBCBCB13.i14.-315.16.2（12分）解:（1）设如的公比为，由题设得咕严.由已知得q‘=4cf,解得q=0（舍去），q=_2或q=2.故％=（-2）心或％=2心.（2）若％=（_2）”t,则S“=号空.由S/63得（一2广=一188,此方程没有正整数解.若%=2"T,则S”=2”-1.由»=63得2力=64,解得加=6.综上，m=6.（12分）解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（1）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的屮位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的屮位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（in）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知心少里=80.2列联表如下:超过m不超过〃7第一种生产方式155第二种生产方式515⑶由于宀鶉諮"6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.(12分)解：(1)由题设知，平而CMD丄平面ABCD,交线为CD因为BC丄CD,BCu平面ABCD,所以丄平面CMD,故BCLDM.因为M为CD上异于C,D的点，且DC为直径，所以DM丄CM.又BCflCM=C,所以DM丄平面BMC.而DMu平面AMD,故平面AMD丄平面BMC.（2）以D为坐标原点，丽的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时，M为CD的中点.由题设得D(o,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量，贝I」=0,即J-2x+y+z=0,\n-AB=0.[2y=0.可取//=(1,0,2).丽是平面MCD的法向量，因此所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是羊.（12分）解：（1）设4（兀,则中+牛=1,牛+牛=1.4343两式相减，并由卫二邑=k得亠+4好0.43由题设知咎=],冲1=心于是22•①4〃7由题设得OV〃7V?,故k<-L.22(2)由题意得F(1,O),设Pg，),)，则(兀一1，儿)+(坷一1,>\)+(“2一1,%)=©0).由(1)及题设得X3=3-(^+x2)=1,y3=-(｝；+y2)=-2m<0.又点尸在C上，所以加=扌，从而P(l,-|),|fP|=|.于是|FA|=-1)2+-I)2+3(1-^)=2-|.同理|而|=2一今.所以|丽|+|而|=4-*(兀+兀)=3.故2|丽冃FA\+\FB\,即|冈帀|,|丽|成等差数列.设该数列的公差为d,则21d|=||7^|-1E41|=11-x2\=^(xl+x2)2-4xlx2.(2将m=2代入①得R.414x+r°-所以/的方程为尸-兀+?,代入C的方程，并整理得14x+r°-4故為+丕=2,牡代入②解得|d|=.2828所以该数列的公差为密或-嘤.2828（12分）解：(1)当。=0时，/(x)=(2+x)ln(l+x)-2x，厂(x)=ln(l+x)——-—1+x设函数g(x)=广⑴=111(1+X)--^―,则g©)=A•l+X(14-X)-当-lvxvO时，gQ)vO;当x>0时，gG)〉O.故当兀>-1时，g(x)2g(0)=0,且仅当x=0时，g(x)=O,从而广(x)>0,且仅当兀=0时，f\x)=0.所以念)在(_1,S单调递增学#又/(0)=0,故当-1<x<0时’/(X)<0;当x>0时'/(x)>0.(2)(i)若aXO,由(1)知，当兀〉0时，/(x)>(2+x)1ii(14-x)-2x>0=/(0),这与*0是/⑴的极大值点矛盾.(ii)若ovO,设函数/©)=心、=ln(l+x).2+x+ar2+x+ar由于当|x|vmin{l,f^}时,2+x+ax2>0,故/心)与/(x)符号相同.又力(0)=/(0)=0,故兀=0是/(x)的极大值点当且仅当x=0是/?(x)的极大值点.(2+x+ax丁,f12(2+x+av2)-2x(1+2«x)_x2(a2x2(2+x+ax丁1+x(2+x+ax2)2(x+l)(ax‘+x+2)，如果6c/+l>0,则当0<x<-+1,且|x|<nini{l./-!-}时，//(x)>0,故x=0不4ay|a\是力⑴的极大值点.|x\<niui{L如果6d+lv0,则ci2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当xg(xp0)|x\<niui{L,h\x)<0、所以x=0不是力(x)的极大值点.如果&+1=0,贝叽)=("])；；：：・•则当Z1，O)时，^)>0；3-(0,1)时，畑<0.所以x=0是/?(x)的极大值点，从而x=0是/⑴的极大值点综上，2-丄.

22.选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）【解析】（I）OO的直角坐标方程为x2+y2=l.当Q专时，与OO交于两点.当&专时，记加"£,则的方程为y=kx-42.与OO交于两点当且仅当解得kv-1或£>1,即彳）或x（¥，苧）.yjl+k24224综上，Q的取值范围是（扌，手）.（2）的参数方程为.（『为参数，・y=-V2+fsina44设A,B,P对应的参数分别为Gg,则"号,且⑺4满足t2一2>/2/sina+1=0•于是tA+tH=2y[2s\natp=Vasina•又点于是tA+tH=2y[2s\natp