2014固体物理5.声子比热容

第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容晶格（点阵）热容在温度为

(=kBT)的声子总能量可表示成所有声子模能量的总和K,

pUlat

UK

,

p

nK

,

pK

p

K

p式中<nK,p>表示平衡情况下波矢为K、极化模为

p

的声子占有数。声子为玻色子，因此有1

12K

,

p

n

1

1eK

,

p

/eK

,

p第

5

章 声子（II）：热学性质声子比热容普朗克分布（玻色分布）考虑一组处于热平衡的全同谐振子。玻尔兹曼因子e

En

/KBT表示量子态En

出现的热力学概率，则处于第n+1

个量子态与第n

个量子态的谐振子数目的比为

N

n1Nn

e

/

,

kBT第n

个量子态的谐振子占总谐振子数的比为3es

/s0en

/s

Ns0Nn1第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容利用一个谐振子的平均激发量子数为

ses

/

n

s0

es

/s0(1

x)2s01

x

xs

1

;dx

s0

sxs

x

d

xs

x

s0可得14

n

e

/

11

e

/

e

/此即普朗克分布（玻色分布）第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容5.1.2

简正模的计算方法具有不同频率K,p

的谐振子集合的热平衡能量为假定在

~+d

范围内晶体具有给定极化模为p

的振动模式数Dp()d，用积分代替求和，U

K

p5e

1K

,

p

/K

,

ppp1e

/U

dD

()

第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容晶格比热容为6所以问题就转化为求Dp()，即求单位频率间隔内的模式数目，此函数亦称为模式密度，但常称为态密度定义:在频率

附近单位频率间隔中的简正模式数。用D()表示。（有时也用单位体积、单位频率间隔中的简正模式数）D()d表示在频率

d

范围内的简正模式数，模式密度又称为声子的态密度（或能级密度），1)2TClatp

U

kB

p(e

/(

/

)

e2

/dD

()第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容5.1.3

一维情况下的态密度考虑玻恩-卡曼环状原子链，波矢

K

的取值K

l

2π

l

2π

（l为整数且l

(

N

,N

]）Na

L

2

2L=Na

为原子链的长度，所以在区间

π/a

K

π/a单位长度的模式数目为L/2，在其它区间为0实际上

需要知道的是单位频率间隔内的模式（或状态的数目）D()7第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容(K)是K

的偶函数，所以在

处d

间隔内的模式数等于在K

处dK间隔内的模式数的两倍D()d

2

L

dK

2

L

d2π

2π

d

/

dK当(K)成水平直线，即群速等于0时，D()就出现一个奇点85.1

声子比热容5.1.4

三维情况下的态密度第

5

章 声子（II）：热学性质将周期性边界条件应用于边长为L

的立方体所包含的

N3

个原胞，于是波矢

K

三个分量的取值与一维的情况一样，即(2π)

3

2π

V

L

3

L

2

29（l为整数且l

(

N

,N

]）

l

2πzKx

,

Ky

,

K对每一种偏振模式每一支色散，波矢空间每一体积元

(2/L)3

内有一个

K

值，即

K

空间每单位体积内允许的

K

值数为5.1

声子比热容对每种偏振，波矢比K

小的模式总数为第

5

章 声子（II）：热学性质dKd

2π2

dD()

dN

VK

2(2π)3

310

4

πK

3VN

因此对每种偏振类型，态密度为第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容5.1.5

计算态密度的德拜模型所谓德拜模型是假定在晶体的波矢空间存在着连续介质弹性波的色散关系，这相当于长波极限下声学支格波的色散关系

的色散关系是线性的，德拜模型正是由这样一个简单的线性色散关系去替代复杂的色散关系。则由（书中（20））给出态密度。

vK

，

K2π2v311D()

V2第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容一般情况下，先画出某支色散关系的等能面来，常数，在波矢空间中相等的点组成的面称为等能面，在德拜模型中，所有相等的点在波矢空即

v

K＝声子的能量为

s

(K

)

能量相同就意味着

相同，间中为一波矢

K

为半径的球面。第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容在球内的模式数应为：球的体积×波矢空间单位体积的模式数=∴K

3

N

'4

L

33

2

K

v3L

3N

'

2

3v34

V36

2v3则模式密度—单位频率间隔中的模式数为:D()

dN

'

V2d

2

2v3第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容由于对一个有三种偏离振态（三个声学支），则有：对于纵波：对于横波：（两支横波可简并）3LV

2LD

()

2

2v32V

2T2

vTD

()

第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容∴

总的模式密度：3

3

2

L

T

vvV21L)

D

(D(

T)

D

()

2

2当三种模式都可简并时:3V22

2v3D()

第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容函数图形如下，是一个抛物线性函数：D()第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容按连续介质

性波的理论，频率是不受任何限制的，可从0变到∞，则总的模式数：D()d→∞发散。这个结果表明，总的模式数有无限多，而与晶体中的模式数与总

度相同的结果相

。0（为初基晶胞数）则D率小于D

的模式可用连续介质中的弹性波处理，第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容为了解决这个

，德拜认为不是所有的频率的模式都存在，而存在着一个频率上限

D

，称为德拜截止频率，超过D

的振动模式是不存在的，而频D()d

3ND由总的3N个声子模式

度决定：03V22

2v3d

3ND0V6

2v3

N3D5.1

声子比热容与德拜截止频率相对应的波矢定义为德拜截止波第

5

章 声子（II）：热学性质矢:波矢空间画一个球，称为德拜球，球内应包含所有的简正模式，即3N个模式，球外的短波振动在晶体中是不存在的，而球内的所有模式可用连续介质中的弹性波来处理，球内的模式数应为晶体中所有的模式数，即3N个。vKDD

VN

136KD

2是晶体中格波的最大波矢，以

KD

为半径在KD第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容如对一个三维点阵常数为

a

的立方点阵，第1BZ为一边长为a的立方体，第1BZ中有N

个K

（N为晶体中的初基晶胞数），按德拜模型（即对晶体使用连续介质中的弹性波的色散关系），

K 值只能在德拜球中取值，但第1BZ中的声子模式数也是3N个，因此德拜模型实际上用一个球代替了第1BZ，也就是说本应在第1BZ中取的K

值，而现在是在德拜球内取值，显然，德拜球的体积应等于第1BZ的体积，根据此模型，模式密度D()

～关系应为：20

＞DD()

2

2v33V2D

第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容对每一种偏振类型，声子能量为2π2v311

0e

/ppU

dD

()e

/

D

d

V2

其中定义x

/

/kBT，以及xD

D

/kBT

/T

称为德拜温度为简单起见，假定波速v

与偏振态无关，因此210

xD0Dex1x3dx2π2v3

1

B

2π2v33e

/V2

3V(k T

)4U

3

d第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容德拜温度为26π

N1/

3D

vkB

kB因此总的声子能量V22

Bx3

T

31xD

dx0exU

9Nk

T第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容由上式对温度进行微分运算，可得热容13e

/2Vπ2v3

0D

dU

3231)2D

d

4e

/xD0x4exT

3

9Nk

B

dxx(e

1)2B

T

2π2v3k T

2

0CV(e

/U

3V25.1

声子比热容第

5

章 声子（II）：热学性质德拜近似下的固体比热容锗和硅的比热容245.1

声子比热容杜隆-珀替定律根据经典统计理论的能量均分定理，每一个简谐振动的平均能量是

kBT，若固体中有N

个原子，则有

3N

个简谐振动模，则固体总能量为U

3NkBT第

5

章 声子（II）：热学性质热容为U25CV

T

3NkB即热容是一个与温度和材料无关的常数，此即杜隆-珀替定律第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容在高温的极限T

>>

情况下，即xD<<1，x<<1

1ex所以在高温极限，热容趋于经典值B

x0D

dxT

3x4exx(e

1)2VC

9Nk

B26DBV

B3xD0(ex

1)2因此

x23

C

9Nk

T

x2dx

9Nk

T

1

x3

3Nk3

第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容5.1.6

德拜的T3

律在很低的温度(T<<

)下，有xD→∞，即上式中积分的上限为趋于无穷

BxD

dx0x3

T

31exU

9Nk

T60100

s1s4s1

s1

15dx

x3esx

dx

x3

e

sx

x3

π4dx

ex所以在低温极限下U

3π3

Nk T

4

/

53B52712π4

T

3

234Nk

T

3C

Nk

B

B

T3

定律5.1

声子比热容固体氩的低温热容第

5

章 声子（II）：热学性质在此温区，实验结果与德拜的T3

律符合极佳285.1

声子比热容在低温下，

kBT

的晶格振动模式对热容几乎没有贡献，热容只要来自

kBT

的振动模，所以在低温极限，热容决定于最低频率的振动，而这些正是波长最长的弹性波曾

(4.

1)，在长波极限下

(波长远远大于晶格常量)，晶体可当作弹性连续介质来处理，因此德拜假定用连续介质的色散关系来处理晶格热容的理论在低温极限下能给出正确的结果对实际晶体，T3

律只适用于温度非常低的区域第

5

章 声子（II）：热学性质295.1

声子比热容从以上讲述中不难看到，固体物理中处理的是有大量粒子存在且粒子之间有强相互作用的体系，不可能精确求解，通常用一些简单的物理模型处理问题，简单模型包含了复杂问题的关键所在。因此在处理物理问题时要注意物理模型的选取，从这个意义上来说，固体物理的发展史也可以说是物理模型的演变史。第

5

章 声子（II）：热学性质第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容爱因斯坦模型所谓爱因斯坦模型是假定所有的简正模式都具有相同的频率，色散关系曲线是一条水平线，频率不是波矢的函数，这实际上是长光学支模式（

E

）D()

N

(

E

)上式的系数由整个振动模式决定，若三个光学支都用爱因斯坦模型，则：D()

3N

(

E

)11e0

/N0e

/U

dD()

热能第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容32此即爱因斯坦模型的结果，三维情况下，用3N取代N，即热容1)2e0

/0

0

/

2

(e

NkB

T

U

VCV

1)2e0

/00

/

2

(eCV

3NkB在高温极限

CV

3NkB同样满足杜隆-珀替定律第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容当温度较高时：即

k

T

»BE

或T»

kB，爱因斯坦热容

CV

，这就是点阵热容的经E~

3NkBE

，按指数规律急剧当温度较低时，CV典值（杜隆——珀替定律）。~

e下降，但实际上固体的热容是按T

3规律下降，而不是指数下降，这个模型与实验结果出入较大，主要是模型过于简化，即认为所有简正模式具有相同的频率，低温下一起冻结，温度升高时同时激发，因此导致热容在低温时急剧下降。第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容5.1.8

D()的一般表达式声子频率在

和+d

之间的允许K

值的数目为s3(2π)3D()d

V

d

K这是在

空间一个薄壳内积分，薄壳两侧的声K子频率分别为

和+d这样求态密度的问题就转化为如何计算薄壳的体积了34第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容sd

K

dS

dK3K个面积元，在等频面d

和+d

之间的体积元是一个以

dS

为底、以

dK⊥为高的圆柱体令

dS

表示

空间内选定等频面

上的一KxKydSdK其中dK⊥为两等频面之间的垂垂直于等频面，因此K直距离，另外

的梯度

也|

|

dK

dK35第

5

章 声子（II）：热学性质5.1

声子比热容D()d

3g(2π)

vV

dS