2016成人高考高升专数学模拟试题及答案

2016年成人高考高升专数学模拟题本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)若集合A={x丨—5<x<2},B={x丨—3<x<3},则AIB—(A){xI—3<x<2}(B){xI—5<x<2}C){x|—3<x<3}D){xI—5<x<3}2）圆心为（1,1）且过原点的圆的方程是(A)(x—l)2+(y—1)2—1(B)(x+1)2+(y+1)2—1(C)(x+1)2+(y+1)2—23)下列函数中为偶函数的是(A)y—x2sinx(D)(x—1)2+(y—1)2—2B)y—x2cosx(4)C)y—IlnxID)y—2—x某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（A）90（B）100180300⑸执行如果所示的程序框图，输出的k值为老年教师900中年教师1000青年教师1600A)3(B)4(C)5(D)6(6)设a,b是非零向量，“agIaIIbI”是“a//b”的(A)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(7)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(A)(B)(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(7)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(A)(B)(C)亠ill〔主)titK侧〔左J规閤(D)(8)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程4-4-加油时间加油呈(升)加油时的累计世程〔千米)2015Q'5HIU1235000加15年5月15日4835600在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为B)8升D)12升B)8升D)12升C)10升第二部分非选择题共110分)、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)(9)复数i(l+i)的实部为.10)11)12-3,32,log5三个数中最大数的是2在AABC中，a=3,b=\6,ZA=~^，则/B-12)y2已知⑵0)是双曲线x2-石=10>0)的一个焦点，则b-(13)如图，AABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为(14)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。‘‘一护，76262从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目三、解答题(共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)(本小题13分)已知函数f(x)=sinx-2^3sin2+求f(x)的最小正周期；求f(x)在区间0,丁上的最小值。(本小题13分)已知等差数列｛a｝满足a+a=10,a-a=2.n1243求｛a｝的通项公式；n设等比数列｛b｝满足b—a,b—a.问：b与数列｛a｝的第几项相等？n23376n(本小题13分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“V”表示购买，“X”表示未购买。'、商品顾客人数\、甲乙丙丁100VXVV217XVXV200VVVX300VXVX85VXXX98XVXX估计顾客同时购买乙和丙的概率估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率(iii)如果顾客购买了甲，贝y该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?

18)(本小题14分)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB丄平面ABC,AVAB为等边三角形，AC丄BC且AC=BC=J2,O,M分别为AB,VA的中点。求证：VB//平面MOC.求证：平面MOC丄平面VAB求三棱锥V-ABC的体积。(19)(本小题13分)X2设函数f(X)=一-kInX,k>0^2求f(x)的单调区间和极值；证明：若f(X)存在零点，则f(x)在区间(1ae］上仅有一个零点。(20)(本小题14分)已知椭圆C:x2+3y2二3，过点:且不过点匚二-的直线与椭圆C交于A,B两点，直线AE与直线x二3交于点M.求椭圆［的离心率；若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)(1)A2)D(3)B(4)C(5)B6)A(7)C(8)B二、填空题(共6小题每小题5分，共30分)(9)-1(10)log52“(11)4(12)朽(13)7(14)乙数学三、解答题(共6小题共80分)(15)(共13分)解：因为f(x)=sinx+cosx一J3=2sin(x+彳)-J3所以f(x)的最小正周期为2“TOC\o"1-5"\h\z2n兀兀因为0<x<丁，所以3<x+-<K“2“当x+3=兀，即x=丁时，f(x)取得最小值2兀2兀l所以f(x)在区间［0，丁］上的最小值为f(丁)=73(16)(共13分)解：(I)设等差数列｛a｝的公差为dn因为a一a=2，所以d=243又因为a+a=10，所以2a+d=10，故a=4211所以a=4+2(n—1)=2n+2(n=1,2,...)n(II)设等比数列｛b｝的公比为qn因为b=a=&b=a=16337所以q=2,b二41所以b=4x26-i=1286由128二2n+2得n二63所以b与数列｛a｝的第63项相等6n17)(共13分)解：从统计表可以看出，在这1000为顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购200买乙和丙的概率可以估计为而0=0.2从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200为顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。所以顾客在甲、乙、丙、丁中100+200「同时购买3种商品的概率可以估计为飞00=0.3与(I)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为200^00=0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001^00=0.6，(18)(共(18)(共14分)解：(I)因为O,M分别为AB,VA的中点,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为而0=0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。所以OM//VB又因为VB匸平面MOC,所以VB//平面MOC

因为AC=BC,O为AB的中点，所以OC丄AB又因为平面VAB丄平面ABC，且OCu平面ABC,所以OC丄平面VAB所以平面MOC丄平面VAB在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=迈所以AB=2,OC=1所以等边三角形VAB的面积S=AVAB又因为OC丄平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于1OCgSAVAB又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为』(19)(共13分)解：x2(I)由f(x)=—-kInx(k>0)得(I)由f'(x)=0解得x=^：kf(x)与f(x)在区间(0,+8)上的情况如下:x(0jk)x(0jk)f(x)f(x)](花,+8)0+k(1-Ink)Z所以，f(x)的单调递减区间是©麻)，单调递增区间是(氛,+8);f(x)在x二Jk处取得极小值fG-k)=k°Jk)(II)由(I)知，f(x)在区间(0,+8)上的最小值为fGk)=k°Jk),(II)k(1—ink)因为f(x)存在零点，所以2-0，从而kNe当k=e时，f(x)在区间(l,\；e)上单调递减，且f(Je)=0,所以x=、；e是f(x)在区间(1,fe］上的唯一零点。当k>e时，f(x)在区间©J：)上单调递减，且f⑴=*>0,f(崔)=#所以f(x)在区间(1,*：］上仅有一个零点。综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1A-e］上仅有一个零点。(20)(共14分)解：椭圆C的标准方程为三+y2=1所以a=b=1,c=\2c-J6所以椭圆C的离心率e二二'-a3因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1,y),B(1,—y)11直线AE的方程为y—1=(1—y)(x—2)1令x=3，得M(3,2—y)12—y+y所以直线BM的斜率k=11=1BM3—1直线BM与直线DE平行。证明如下：当直线AB的斜率不存在时，有(II)可知k二1BM

又因为直线DE的斜率kDE=2~i=1，所以BM//DE当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k(x-l)(k丰1)y—1设A(x,y),B(x,y)，则直线AE的方程为y—1二t(x—2)TOC\o"1-5"\h\z1122x—11令x=3，得点M(3上1)x—21[x2+3y=3,/由<2得(1+3k2)x2—6k2x+3k2—3=01y=k(x-1)6k23k2—3所以x+x=,xx=121+3k2121+