有限元程序设计-梁单元静力问题ppt,54

1有限元元程序序设计计谷音音福州大大学土土木工工程学学院2010——梁单元元，静静力问问题2§1.介绍.框架结结构，，例如如桁架架、桥桥梁受弯构构件flexuralelements梁轴力构构件axialelements杆平面梁梁单元元planebeamelement3§2.经典梁梁单元元(Bernoulli-Euler)Beam平面－－梁－－假设设Plane-beam-assumption中面法法线在在变形形后仍仍保持持和中中面垂垂直的的直法法线假假设小变形形理论论One-variablebeamtheory几何关关系物理关关系（（应力力应变变关系系）梁在纯纯弯曲曲时的的平面假假设：梁的各各个横横截面面在变变形后后仍保保持为为平面，并并仍垂垂直于于变形形后的的轴线线，只只是横横截面绕某某一轴轴旋转转了一一个角角度。。4平衡方方程边界条条件ororwherek——曲率M,Q——弯矩，，剪力力I——惯性矩矩5最小势势能原原理典型C1连续问问题通常梁梁分析析中常常用2节点Hermite单元6其中引入变变形到到最小小ΠP,得到7Pj——集中荷荷载;Mj——弯矩力力偶。。e.g.对于均均匀分分布荷荷载8§3.铁木辛辛柯梁梁理论论对剪切切变形形的影影响3.1理论只考虑虑剪切切变形形变形后后轴线线切向向与变变形前前轴线线之间间的转转角β(x).9其中ψ(x)为只考考虑梁梁弯曲曲理论论中的的线性性单元元转角角.假设:截面上上均匀匀分布布剪应应变弯曲产产生的的位移移：β(x)相应给给出沿沿着中中线剪剪切角角γxz10内部力力其中假假设11实际上上τxz采用以以下形形式：：其中变变量与与z相关。。为了确确定截截面的的不均均匀剪剪应力力分布布，引引入因因素k修正剪剪应力力：12其中k为与截截面及及泊松松比µ相关的的函数数,可从弹弹性理理论推推导得得到假设变变形场场的整整体势势能为为：1314铁木辛辛柯梁梁单元元—采用两两个独独立变变量3.2离散公公式挠度w截面曲曲率，，不考考虑剪剪切每个单单元的的节点点数量量Lagrange插值函函数151617挠度与与转动动采用用了同同阶的的插值值表示示式。。dw/dx与ψ不同阶阶，因因此，，泛函函中的的第二二项中中的dw/dx-ψ的积分分，对对于柔柔性梁梁（l/n趋于无无穷大大时））会被被严重重放大大。除非ψ是常数数（没没有弯弯曲变变形）），否否则，，dw/dx-ψ不会为为零。。这种种现象象称为为剪切闭闭锁。shear-locking18几种方方法避避免产产生剪剪切闭闭锁减缩积积分数值积积分采采用比比精确确积分分要求求少的的积分分点数数假设剪剪切应应变替代插插值函函数举例说说明1920Timoshenko梁（（采用用精确确积分分）21采用缩缩减积积分2223结构离离散取杆件件与杆杆件交交点、、集中中力作作用点点、杆杆件与与支承承的交交点为为节点点。相相邻两两节点点间的的杆件件段是是单元元。节节点编编号时时力求求单元两两端点点号差差最小小。24坐标系系有限元元中的的坐标标系有有整体体坐标标系和和局部部坐标标系。。对于于一个个结构构，整整体坐坐标系系一般般只有有一个个；而而局部部坐标标系有有很多多个，，一个个单元元就有有一个个局部部坐标标。并并且局局部坐坐标系系每一一个单单元的的规定定都是是相同同的，，这样样，同同类型型单元元刚度度矩阵阵相同同。XY○○○○○Pxyxy25杆系结结构单单元主主要有有铰接接杆单单元和和梁单单元两两种类类型。。它们们都只只有2个节点点i、j。约定：：单元坐坐标系系的原原点置置于节节点i；节点点i到j的杆轴轴（形形心轴轴）方方向为为单元元坐标标系中中x轴的正正向。。y轴、z轴都与与x轴垂直直，并并符合合右手手螺旋旋法则则。对于梁梁单元元，y轴和z轴分别别为横横截面面上的的两个个惯性性主轴轴。xyzij··26平面桁桁架杆杆单元元（2DLINK1）空间杆杆单元元（3DLINK8）平面刚刚架，，BEAM3空间梁梁单元元(BEAM4)272-DElasticBeamthreedegreesoffreedomateachnodeAnsys28BEAM3isauniaxialelementwithtension,compression,andbendingcapabilitiesBEAM232-DPlasticBeamauniaxialelementwithtension-compressionandbendingcapabilitiesThiselementallowsadifferentunsymmetricalgeometryateachendandpermitstheendnodestobeoffsetfromthecentroidalaxisofthebeamBEAM542-DElasticTaperedUnsymmetricBeam29303-DElasticBeamBEAM4isauniaxialelementwithtension,compression,torsion,andbendingcapabilities.sixdegreesoffreedomateachnodeBEAM243-DThin-walledBeamTheelementhasplastic,creep,andswellingcapabilitiesintheaxialdirectionaswellasauser-definedcross-section.ThiselementallowsadifferentunsymmetricalgeometryateachendandpermitstheendnodestobeoffsetfromthecentroidalaxisofthebeamBEAM443-DElasticTaperedUnsymmetricBeam313233BEAM1883-DLinearFiniteStrainBeamBEAM188issuitableforanalyzingslendertomoderatelystubby/thickbeamstructures.ThiselementisbasedonTimoshenkobeamtheory.Sheardeformationeffectsareincluded.Thiselementiswell-suitedforlinear,largerotation,and/orlargestrainnonlinearapplications.3435BEAM1893-DQuadraticFiniteStrainBeamBEAM189isaquadratic(3-node)beamelementin3-D.Foradescriptionofthelow-orderbeam,seeBEAM188.3637有限限元元程程序序设设计计方方法法简简介介程序序基基本本框框图图1、输输入入基基本本数数据据（（结结构构描描述述））：（1）控控制制数数据据：：如如结结点点总总数数、、单单元元总总数数、、约约束束条条件件总总数数等等；；（2）结结点点数数据据：：如如结结点点编编号号、、结结点点坐坐标标、、约约束束条条件件等等；；（3）单单元元数数据据：：如如单单元元编编号号、、单单元元结结点点序序号号、、单单元元的的材材料料特特性性、、几几何何特特性性等等；；（4）载载荷荷数数据据：：包包括括集集中中载载荷荷、、分分布布载载荷荷等等。。开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束382、单单元元分分析析（1）各各单单元元的的bi,ci(i,j,m)，面面积积A；（2）应应变变矩矩阵阵[B]，应应力力矩矩阵阵[S]；（3）单单元元刚刚度度矩矩阵阵[k]；（4）单单元元等等价价载载荷荷列列向向量量[F]。开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束3、系系统统分分析析（1）整整体体刚刚度度矩矩阵阵[K]的组组装装；；（2）整整体体载载荷荷列列阵阵{P}的形形成成；；[K]的存存储储；；约约束束引引入入；；求求解解39总刚刚存存贮贮全矩矩阵阵存存贮贮法法：：不不利利于于节节省省计计算算机机的的存存贮贮空空间间，，很很少少采采用用。。K[i,j]对称称三三角角存存贮贮法法：：存存贮贮上上三三角角或或下下三三角角元元素素。。半带带宽宽存存贮贮法法：：存贮贮上上三三角角形形（（或或下下三三角角形形））半半带带宽宽以以内内的的元元素素。。一维维压压缩缩存存贮贮法法：半带带宽宽存存贮贮中中仍仍包包含含了了许许多多零零元元素素。。存存贮贮每每一一行行的的第第一一个个非非零零元元素素到到主主对对角角线线元元素素。。40等带宽形式UBWUBW行号1→IR

→N→1列号JC行号1→IR→N→1JC-(IR-1)方阵形式（1）半半带带宽宽存存贮贮法法41方阵阵存存贮贮和和半半带带宽宽存存贮贮地地址址关关系系存贮方式行号列号方阵存贮IRJC等带宽存贮IRJC-IR+1半带带宽宽计计算算：：设设结结构构单单元元网网格格中中相相邻邻结结点点编编号号的的最最大大差差值值是是d，则则最最大大半半带带宽宽为为UBW：结点点编编号号：：欲欲使使最最大大半半带带宽宽UBW最小小，，必必须须注注意意结结点点编编号号方方法法，，使使直直接接联联系系的的相相邻邻节节点点的的最最大大点点号号差差最最小小。。42举例例B=2(4-1+1)=8B=2(6-1+1)=12Advantagesof2DStorage1)Space-saving;2)EasytobecomputerizedDisadvantagesof2DStorageEnormousstorageisrequiredwhenlocalbandwidthislarge.43例：计算算下图半半带宽。。结点数N=91，总刚[K]中的元素素总数为为：82（91×2）×（91××2）=33124最大半带带宽UBW=(7+1)××2=16，半带宽宽存储矩矩阵元素素总数为为182××16=2912，约方阵阵元素的的8.8%。44（2）变带带宽存贮贮（一维压缩存存贮）等带宽存存贮虽然然已经节节省了不不少内存存，但认认真研究究半带宽宽内的元元素，还还有相当当数量的的零元素素。在平平衡方程程求解过过程中，，有些零零元素只只增加运运算工作作量而对对计算结结果不产产生影响响。如果果这些零零元素不不存、不不算，更更能节省省内存和和运算时时间，采采用变带带宽存贮贮可以实实现（也也称一维维数组存存贮）。。变带带宽存贮贮编程技技巧要求求较高，，程序较较长。45对称方阵形式式的刚度度矩阵[K]UBW=4顶线顶线以上上零元素素无须存存贮，仅仅顶线以以下元素素。46124610121618MAXA22一维数组组[A]存贮刚度度矩阵[K]47变带宽存存贮：按按列存贮贮方式。。从左到右右，逐列列存放；；对每一一列，先先存主对对角线元元素，然然后由下下而上顺顺序存放放，直到到顶线下下第一个个元素为为止。为避免混混淆，我我们把存存贮[K]的一维数数组称为为[A]。实现变带带宽存贮贮的关键键问题是是：总刚刚中元素素Kij在一维数数组A中的地址址是什么么？为此此，需要要知道主主元Kii在A中的位置置和相应应列高hi。主元位置置：采用用一个一一维数组组MAXA存主元在在A中位置。。MAXA=[1,2,4,6,10,12,16,18，22]。列高hj：第j行的左带带宽。48从第j列的主对对角线元元素起到到该列上上方第一一个非零零元素为为止，所所含元素素的个数数称为第第j列的列高，记为hj；如果把把第j列上方第1个非零元元素的行行号记为mj，则第j列的列高高为hj=j-mj+1其实，hj就是第j行的左带带宽，因因而必有有UBW=max(hj)j=1,2,……,N利用节点点位移信信息数组组ID（去约束束后节点点位移自自由度编编码），，可容易易地确定定刚度矩矩阵[K]任何一列列的列高高。491234①②③④1○○○○○○6783452xY例：求图图示框架架结构h7=?。利用ID数组得各各单元的的连接数数组LM（假定小小号为i）（1）ID数组节点号：1234按列，遇遇1变0，遇0加1。50连接数组组：1号单元：：LM=[0,0,1,0,0,2]2号单元：：LM=[0,0,2,3,4,5]3号单元：：LM=[3,4,5,6,7,8]4单元：LM=[0,0,1,6,7,8]1234①②③④1○○○○○○6783452xY123451a)如果ID（i,j)=0则表明j号节点第第i个自由度度受有约约束。b)如果ID(i,j)≠0则j号节点第第i个自由度度不受约约束。并并且，j号节点第第i个位移分分量在非非约束节节点位移移列向量量f中的序号号就是:ID(i,j)52主元在一维数数组[