材料力学-扭转变形（PPT共61）

第四四章章扭扭转转第四四章章扭扭转转材料料力力学学1第四四章章扭扭转转第四四章章扭扭转转§4——1工程程实实例例、、概概念念§4——2外力力偶偶矩矩、、扭扭矩矩§4——3圆轴轴扭扭转转时时的的应应力力、、强强度度计计算算§4——4圆轴轴扭扭转转时时的的变变形形、、刚刚度度计计算算§4——5等直直圆圆杆杆的的扭扭转转超超静静定定问问题题§4——6非圆圆截截面面杆杆的的扭扭转转§4——7开口口和和闭闭合合薄薄壁壁截截面面在在自自由由扭扭转转时时的的应应力力扭转转变变形形小小结结2第四四章章扭扭转转一、、工工程程实实例例1、螺螺丝丝刀刀杆杆工工作作时时受受扭扭。。2、汽汽车车方方向向盘盘的的转转动动轴轴工工作作时时受受扭扭。。§4——1工程程实实例例、、概概念念MMFFM3第四四章章扭扭转转3、机机器器中中的的传传动动轴轴工工作作时时受受扭扭。。4第四四章章扭扭转转5第四四章章扭扭转转6第四四章章扭扭转转二、、扭扭转转的的概概念念受力力特特点点：：杆两两端端作作用用着着大大小小相相等等方方向向相相反反的的力力偶偶，，且且作作用用面垂垂直直杆杆的的轴轴线线。。变形形特特点点：：杆任任意意两两截截面面绕绕轴轴线线发发生生相相对对转转动动。。轴：主主要要发发生生扭扭转转变变形形的的杆杆。。72、已已知知：：功功率率P马力力(Ps)，转速速n转／／分分(r／min；rpm)。外力力偶偶矩矩：：第四四章章扭扭转转一、、外外力力：：m（外力力偶偶矩矩））1、已已知知：：功功率率P千瓦瓦(KW），，转速速n转／／分分(r／min；rpm)。外力力偶偶矩矩：：§4——2外力力偶偶矩矩、、扭扭矩矩82、内力力的的符符号号规规定定：以以变变形形为为依依据据，，按按右右手手螺螺旋旋法法则则判判断断。。右手手的的四四指指代代表表扭扭矩矩的的旋旋转转方方向向，，大大拇拇指指代代表表其其矢矢量量方方向向，，若若其其矢矢量量方方向向背背离离所所在在截截面面则则扭扭矩矩规规定定为为正正值值，，反反之之为为负负值值。。第四章扭扭转T+T-mmTx1、内力的的大小：（截面面法）二、内力力：T（扭矩）94、内力图图（扭矩矩图）：：表示构件件各横截截面扭矩矩沿轴线线变化的的图形。。作法：同同轴力图图：第四章扭扭转[例]已知：一一传动轴轴，n=300r/min，主动轮输输入P1=500kW，从动轮输输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭扭矩图。。nABCDm2

m3

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m4（1）、截开开面上设设正值的的扭矩方方向。（2）、在采采用截面面法之前前不能将将外力简简化或平平移。3、注意的问题10第四章扭扭转②求扭矩矩（扭矩矩按正方方向设））解：①计计算外力力偶矩[例]已知：一一传动轴轴，n=300r/min，主动轮输输入P1=500kW，从动轮输输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭扭矩图。。11第四章扭扭转nABCDm2

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m4112233T1m2m2m3T2m4T3③绘制扭扭矩图9.56xT（kN.m）4.786.37––12一、圆轴轴扭转时时横截面面上的应应力（超超静定问问题）几何关系系：由实实验通过过变形规规律→应应变的变变化规律律物理关系系：由应应变的变变化规律律→应力力的分布布规律静力关系系：由横横截面上上的扭矩矩与应力力的关系系→应力力的计算算公式。。一）、几几何关系系：1、实验：：第四章扭扭转§4—3圆轴扭转转时的应应力、强强度计算算13第四章扭扭转142、变形规规律：圆周线——形状、大大小、间间距不变变，各圆圆周线只只是绕轴轴线转动动了一个个不同的的角度。。纵向线——倾斜了同同一个角角度，小小方格变变成了平平行四边边形。3、平面假假设：变形前前的横截截面，变变形后仍仍为平面面，且形形状、大大小、间间距不变变，半径径仍为直直线。4、定性分分析横截截面上的的应力（1）（2）因为同一一圆周上上切应变变相同，，所以同同一圆周周上切应应力大小小相等，，并且方方向垂直直于其半半径方向向。第四章扭扭转TOτ1Aττ2155、切应变变的变化化规律：第四章扭扭转二）物理理关系：：弹性范围围内工作作时→→方向垂直直于半径径。16第四章扭扭转应力分布布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截截面）（空心截截面）17三）静力关系系：第四章扭转转TOdAAτρ令代入物理关系式得：圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。18第四章扭转转横截面上———抗扭截面模量，单位：m3mm3。整个圆轴上——等直杆：变直杆：三、公式的使使用条件：1、等直的圆轴轴，2、弹性范围内内工作。Ip—截面的极惯性性矩，单位：：m4mm4二、圆轴中τmax的确定19四、薄壁圆管管（圆筒）扭扭转切应力薄壁筒扭转时时横截面上的的切应力均匀匀分布，与半半径垂直，指向与扭矩的的转向一致.Tττ20五、Ip,Wp的确定：1、实心圆截面面——2、空心圆截面面——DdOdDOd21xdydzdxyz六、切应力互互等定理ττ1、在单元体左左、右面（杆杆的横截面））上只有切应应力，其方向向与y轴平行.可知，两侧面面的内力元素素dydz大小相等，方方向相反，将将组成一个力偶。由平衡方程其矩为(dydz)dx22xydydzzdxττ2、要满足平衡方方程在单元体的上上、下两平面面上必有大小小相等，指向相相反的一对内内力元素它们组成力偶偶，其矩为此力偶矩与前前一力偶矩数量相等而转转向相反，从从而可得(dydz)dx233、切应力互等等定理单元体两个相相互垂直平面面上的切应力同时存在在，且大小相相等，都指向（或背离离）该两平面面的交线.纯剪切单元体体：单元体平面上上只有切应力力而无正应力力，则称为纯纯剪切单元体体.xydydzzdxττ24MeMel式中，r为薄壁圆筒的的外半经.七、剪切胡克克定律由图所示的几几何关系得到到薄壁圆筒的扭扭转试验发现现，当外力偶偶Me在某一范围内内时，与Me（在数值上等于于T）成正比.25弹性模量E，剪切弹性模模量G与泊松比μ的关系TO从T与之间的线性关关系，可推出出与间的线性关系.该式称为材料料的剪切胡克定律律.G–剪切弹性模量量扭转(torsion)O26八、等直圆杆杆扭转时斜截截面上的应力力低碳钢试件：：沿横截面断开开。铸铁试件：沿与轴线约成成45的螺旋线断开开。因此还需要研研究斜截面上上的应力。272、τmax：α=00，│τmax│=τ（σα=0）。横截面上！1、σmax：α=±45°°。│σmax│=τ（τα=0）。45°斜截面！结论：如果材料的抗抗剪切能力差差，构件就沿沿横截面发生生破坏（塑性材料））；如果材料的抗抗拉压能力差差，构件就沿沿45斜截面发生破破坏（脆性材材料）。分析：tt´smaxsmin45°28九、圆轴扭转转时的强度计计算1、强度条件：：2、强度计算：：1）校核强度；；2）设计截面尺尺寸；3）确定外荷载载。29一、变形：（（相对扭转角角）§4—4圆轴扭转时的的变形、刚度度计算——T=常量,且分段。——T=常量——单位：弧度（（rad）。GIP——抗扭刚度。第四章扭转转注意：“T”代入其“＋、－”号30——单位长度的扭转角，二、刚度条件件：三、刚度计算算：1、校核刚度；；2、设计截面尺尺寸；3、确定外荷载载。第四章扭转转31[例]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转转子轴如图所所示，许用切应力[]=30MPa,试校核其强度度。T1.55kN.m解：①求扭矩及及扭矩图②计算并校核核切应力强度度D3

=135D2=75D1=70ABCmmx第四章扭转转32[例]某传动轴设计计要求转速n=500r/min，输入功率P1=500马力，输出出功率分别P2=200马力及P3=300马力，已知：：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2？②若全轴选同一一直径，应为为多少？③主动轮与从动动轮如何安排排合理？解：①图示状态下,扭矩图500400P1P3P2ACBTx–7024–4210(Nm)第四章扭转转33由刚度条件得：由强度条件：第四章扭转转34综上：②全轴选同一直直径时③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该该换位。换位后,轴轴的最大直径径才为75mm。Tx–4210(Nm)2814第四章扭转转P1P3P2ACB35第四章扭转转已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力力＝40MPa,空心圆轴的内内外径之比=0.5。求:：实心轴的直直径d1和空心轴的外径D2。解：PT=9549n7.5=9549100=716.2N.mmax=wp116TT=d13=40MPa=0.045(m)=45mmd1=16716.240106336第四章扭转转max==40MPawp2T16T=D23(1-

4)d2=0.5D2=23mmA1A2=d12D22(1-

2)=1.28=0.045(m)=45mmD2=16716.2(1-0.5

4)40106337§4—5等直圆杆的扭扭转超静定问问题解扭转超静定定问题的步骤骤：平衡方程；①几何方程——变形协调方程；②补充方程：把物理方程（力与变形的关系）代入几何方程得；③解由平衡方程和补充方程组成的方程组。④第四章扭转转38[例]长为L=2m的圆杆受均布布力偶m=20Nm/m的作用，如图图，若杆的内内外径之比为为=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求：固定端端的反力偶。。解：①杆的受力图图如图示，这是一次超静静定问题。平衡方程为：②几何方程：第四章扭转转39③力的补充方程程：④由平衡方程得得：另:此题可由对称称性直接求得得结果。第四章扭转转x40第四章扭转转低碳钢41第四章扭转转铸铁42第四章扭转转六、圆轴扭转转时斜截面上上的应力低碳钢试件：：沿横截面断开开。铸铁试件：沿与轴线约成成45的螺旋线断开开。因此还需要研研究斜截面上上的应力。43mT第四章扭转转方法：取单元元体（单元体体上的应力认认为是均匀分分布的）tt´tt´t´ttasax44第四章扭转转设：ef边的面积为dA则t´ttasaxntefbeb边的面积为dAcosαbf边的面积为dAsinα45第四章扭转转2、τmax：α=00，│τmax│=τ（σα=0）。横截面上！1、σmax：α=±45°°。│σmax│=τ（τα=0）。45°斜截面！结论：如果材料的抗抗剪切能力差差，构件就沿沿横截面发生生破坏（塑性材料））；如果材料的抗抗拉压能力差差，构件就沿沿45斜截面发生破破坏（脆性材材料）。分析：tt´smaxsmin45°46一、非圆截面面杆与圆截面面杆的区别圆杆扭转时——横截截面面保保持持为为平平面面；；非圆圆杆杆扭扭转转时时———横截截面面由由平平面面变变为曲曲面面（（发发生生翘翘曲曲））。。§4——6非圆圆截截面面杆杆的的扭扭转转第四四章章扭扭转转47二、、研研究究方方法法：：弹性性力力学学的的方方法法研研究究三、、非非圆圆截截面面杆杆扭扭转转的的分分类类：：1、自自由由扭扭转转（（纯纯扭扭转转））2、约约束束扭扭转转。。四、、分分析析两两种种扭扭转转：：1、自自由由扭扭转转：：各横横截截面面翘翘曲曲程程度度不不受受任任何何约约束束（（可可自自由由凹凹凸凸）），，任任意意两两相相邻邻截截面面翘翘曲曲程程度度相相同同。。受力力特特点点：两两端端受受外外力力偶偶作作用用。。变形形特特点点:相邻邻两两截截面面翘翘曲曲完完全全相相同同，，纵纵向向长长度度不不变变，，所所以以纵纵向应变变等于于零。。应力特特点：横截截面上上正应应力等等于零零，切切应力力不等等于零零。2、约束束扭转转：由于于约束束条件件或受受力限限制，，造成成杆各各横截截面翘翘曲程度度不同同。受力特特点：两端端受外外力偶偶作用用。第四章章扭扭转48变形特特点:相邻两两截面面翘曲曲不相相同，，纵向向长度度发生生变化化，所所以纵向应应变不不等于于零。。应力特特点：横截截面上上正应应力不不等于于零，，切应应力不不等于于零。。五、矩矩形截截面杆杆的自自由扭扭转：：1、分布布：2、应力力计算算：（整个个横截截面上上最大大的切切应力力）。。短边中中点3、变形形：长边中中点第四章章扭扭转h³bht1T

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max注意！b49六、非圆截截面杆杆扭转转的有有关规规律：：1、截面面周边边各点点处切切应力力的方方向与与周边边平行行（相相切））。2、在凸凸角处处的切切应力力等于于零。。第四章章扭扭转50一、切切应力力流的的方向向与扭扭矩的的方向向一致致。二、开开口薄薄壁截截面杆杆在自自由扭扭转时时的切切应力力分布布如图图（a），厚度中点点处，，应力力为零零。§4——7开口和和闭合合薄壁壁截面面在自自由扭扭转时时的应应力第四章章扭扭转51三、闭闭口薄薄壁截截面杆杆在自自由扭扭转时时的切切应力力分布布如图图（b），同一厚度度处，，应力力均匀匀分布布。第四章章扭扭转52四、闭闭口薄薄壁截截面杆杆自由由扭转转时的的切应应力计计算，，在（（c）图上取取单元体体如图图（d）。图（c）d

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2d1t1t2图（d）第四章章扭扭转53第四章章扭扭转54[例]图示椭椭圆形形薄壁壁截面面杆，，横截截面尺尺寸为为：a=50mm，b=75mm，厚度t=5mm，杆两端端受扭扭转力力偶T=5000N·m，试求此此杆的的最大大切应应力。。解：闭口薄薄壁杆自由由扭转转时的的最大大切应应力：bat第四章章扭扭转55第四章章扭扭转扭转变变形小小结一、扭扭转的的概念念受力特特点：：杆两端端作用用着大大小相相等方方向相相反的的力偶偶，且且作用用面垂直杆杆的轴轴线。。变形特特点：：杆任意意两截截面绕绕轴线线发生生相对对转动动。二、外外力：：m（外力