【优化方案】高考数学一轮复习 第2章第三节 函数的单调性和奇偶性 文 苏教

第三节函数的单调性和奇偶性编辑ppt

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考第三节函数的单调性和奇偶性双基研习•面对高考编辑ppt1．函数的单调性(1)增函数与减函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果取区间I中的任意两个数x1，x2，由x1＜x2⇒f(x1)＜f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是_______，若由x1＜x2⇒f(x1)＞f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是________(2)单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是________或是________，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为________增函数减函数．增函数减函数单调区间．双基研习·面对高考基础梳理编辑ppt编辑ppt编辑ppt⑥奇函数图象在关于原点对称区间上的单调性一致；偶函数图象关于原点对称区间上的单调性相反．⑦若y＝f(u)和u＝φ(x)在相应区间上增减性相同，则y＝f[φ(x)]在这个区间上是增函数；若y＝f(u)和u＝φ(x)在相应区间上增减性相反，则y＝f[φ(x)]在这个区间上是减函数．编辑ppt2．函数的奇偶性(1)奇偶函数的定义偶函数奇函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A如果对于任意的x∈A，都有____________，则称函数y＝f(x)是偶函数如果对于任意的x∈A，都有_______________，则称函数y＝f(x)是奇函数图象特点关于____对称关于_____对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点编辑ppt思考感悟1．若一个函数的图象关于y轴(或原点)对称，则说函数是偶函数(或奇函数)吗？提示：是．偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，反之成立．编辑ppt(2)函数奇偶性的判定方法①根据定义判定：首先看函数的定义域是否________________，若不对称，则函数是非奇非偶函数；若对称，再判定_________________或_____________有时判定____________比较困难，可考虑判定f(－x)±f(x)＝0或判定＝_____________________关于原点对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)．f(－x)＝±f(x)编辑ppt②性质法判定：在定义域的公共部分内，两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为_______

(注意取商时分母不为零)．(3)函数的周期性对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，____________都成立，那么f(x)是周期函数，T是它的周期．对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．若T是函数的一个周期，则nT(n∈N*)也是函数的周期．奇函数f(x＋T)＝f(x)编辑ppt思考感悟2．有没有函数是周期函数，但没有最小正周期？提示：常数函数是周期函数，但没有最小正周期．编辑ppt1．若f(x)＝2x－2－xlga为奇函数，则实数a＝________.解析：因f(x)为奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0，得2－x－2xlga＋2x－2－xlga＝0，∴(2x＋2－x)(1－lga)＝0，∵2x＋2－x＞0，∴lga＝1，即a＝10.答案：10课前热身编辑ppt2．(2010年高考山东卷改编)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝________.解析：由f(x)是R上的奇函数可得f(0)＝0，可得b＝－1，∴f(x)＝2x＋2x－1，∴f(1)＝3，又f(－1)＝－f(1)，∴f(－1)＝－3.答案：－3编辑ppt3．(2010年高考安徽卷改编)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.解析：∵f(x)的周期为5，∴f(3)＝f(－2)，又f(x)是奇函数，∴f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，同理f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－1.答案：－1编辑ppt解析：由于只有①中f(x)在(0，＋∞)内是减函数，故应填①.答案：①编辑ppt考点探究·挑战高考考点突跛考点一函数奇偶性的判断本类问题主要是考查奇偶函数的定义，准确理解定义并作出判断，要求达到“快而精准”，对一些典型的函数应当加强记忆．编辑ppt例1编辑ppt【思路分析】首先判断函数的定义域，在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(－x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数)．【解】

(1)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt【名师点评】判断函数的奇偶性，定义域的判断是前提，分段函数应分段证明，结合奇偶函数的性质，也可应用图象法判断．编辑ppt考点二函数单调性的判定例2编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt【名师点评】

(1)用定义法判断函数单调性的一般步骤为：取值→作差→变形→定号→判断．(2)判断函数的单调性或解函数的单调区间时，要先求出函数的定义域，单调区间不能超出函数的定义域．编辑ppt编辑ppt编辑ppt考点三对函数的奇偶性和单调性的综合应用对函数的单调性、奇偶性、周期性等命题时，往往综合在一起考查，性质之间相互联系构造出不同的逻辑关系，熟练应用这些关系及其变化特征，是本类问题考查的重点，可在不同的典型题目中来领悟并掌握．编辑ppt例3编辑ppt编辑ppt【名师点评】不等式恒成立问题，往往可转化成函数最值的求法．编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt方法技巧1．判断单调性的方法(1)定义法；(2)利用一些常见函数的单调性，如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性加以判断；(3)图象法；(4)在共同的定义域上，两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(5)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；方法感悟编辑ppt(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性，遵循“同增异减”的原则，即内外层函数单调性相同时则为增函数，一增一减则为减函数；(7)导数法，函数f(x)在某区间内可导，如果f′(x)＞0，则函数为增函数，如果f′(x)＜0，则函数为减函数．2．确定函数的奇偶性，一要确定函数的定义域，二要看f(－x)与f(x)的关系．函数的奇偶性是函数的重要性质之一，其判断方法主要是利用定义．一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义作出判断，如例1.编辑ppt失误防范1．求函数的单调区间时，首先应确定函数的定义域．2．函数的单调区间有多个时，不能使用并集的符号“∪”连接单调区间，如(a，b)∪(c，d)为增区间，这种写法是错误的．判断函数的奇偶性，易忽略函数定义域的对称性，函数具有奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数，也不是偶函数．函数的奇偶性的最明显的特征是其图象的对称性，在解决有关问题时，不要忘记利用对称性解决有关问题．编辑ppt考向瞭望·把脉高考考情分析函数的单调性，是高考考查的重中之重，主要考查求函数的单调区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、求最值、利用函数的单调性解有关的不等式问题等，如江苏2010年高考11题．对函数单调性的考查，常与其他函数的性质相结合，而导数是研究函数单调性的一种重要方法，因而也常与导数联系在一起考查，如2009年高考江苏第3题等．编辑ppt函数的奇偶性、周期性等性质常常是高考的命题热点，易单独命题，如2010年高考江苏卷第5题，由于三角函数中周期性是三角函数的一大性质，因而在三角函数中考查周期性的较多．预测在2012年的高考中，对函数单调性的考查会继续涉及，单调区间或单调性的应用依然是热点．函数的奇偶性、周期性也是考查的热点内容，易结合函数的其他性质命题．编辑ppt (2010年高考江苏卷)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．【解析】∵函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，∴设g(x)＝ex＋ae－x，(x∈R)．由题意知g(x)应为奇函数(奇函数×奇函数＝偶函数)，又∵x∈R，∴g(0)＝0，则1＋a＝0，∴a＝－1.【答案】－1例真题透析编辑ppt【名师点评】本题考查了奇偶函数的性质，只有熟知这些性质才能快速准确地解题．解决复合函数奇偶性问题的关键在于：既要把握函数复合的过程，又要掌握基本函数的性质．在利用函数的奇偶性解决实际问题的过程中，往往要用到等价转化和数形结合的思想，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的式子去解决．另外高考中还会经常利用函数的奇偶性考查一些参数值的求法，可以通过赋值求解，如奇函数f(x)若在x＝0处有定义，则函数f(x)必过原点，即f(0)＝0，此法可以快速处理选择题、填空题中出现的奇偶性问题．编辑ppt1．函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．解析：f(a)＝a3＋sina＋1＝2，f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－a3－sina＋1＝－(a3＋sina＋1)＋2＝－2＋2＝0.答案：0名师预测编辑ppt2．奇函数y＝f(x)(x∈R)满足f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(1)等于________．编辑ppt解析：当x＝－1时，无解．当－1＜x≤0时，1－x2＞0，f(1