概率习题及其答案

第一章随机事件和概率.设A,B,C为三个事件，且 豆)=0.9,P(^u万口3)=0.97,则P(A8-C)= .解.P(AB-C)=P(AB-ABC)=P(AB)-P(ABC)=1-P(AB)-1+P(ABC)=P(AuBuC)-P(AUfi)=0.97-0.9=0.07.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率为.解.A=｛二件产品中有一件是不合格品｝,8=｛二件都是不合格品｝注意：｛二件产品中有一件是不合格品｝=｛二件产品中恰有一件是不合格品｝+｛二件都是不合格品｝所以An8,48=5;入=｛二件都是合格品｝.随机地向半圆0<y< — 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原TT4 —解.假设落点(X,Y)为二维随机变量,4 —解.假设落点(X,Y)为二维随机变量,D为半圆.则2产((X,y)eO)=2—加2=i,k为比例系数.所以％=--7T假设D|=｛D中落点和原点连线与x轴夹角小于二的区域｝尸((X,Y)eO])=kx£)]的面积=—z-(―7ui~H—。一)=—I—.7ua4 2 2n.设随机事件A,B及其和事件AuB的概率分别是0.4,0.3,0.6,若与表示B的对立事件，则积事件A后的概率P(A瓦解.P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+8)=0.4+0.3-0.6=0.1P(AB)=P(A)~P(AB)=0.4-0.1=0.3..某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户的百分比是.解.假设A=｛订日报｝,B=｛订晚报｝,C=A+B.由已知P(A)=0.5,P(B)=0.65,P(C)=0.85.所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.5+0.65-0.85=0.3..三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率.解.设Ai事件表示第i台机器运转不发生故障(i=1,2,3).贝I」 P(A))=0.9,P(A2)=0.8,P(A3)=0.7,P(4+可+4)=P()=1-P(A|A2A3)=1-P(A|)P(4)P(4)=1-0.9X0.8X0.7=0.496..电路由元件A与两个并联元件B,C串联而成，若A,B,C损坏与否相互独立，且它们损坏的概率依次为0.3,0.2,0.1,则电路断路的概率是.解.假设事件A,B,C表示元件A,B,C完好.P(A)=0.7,P(B)=0.8,P(C)=0.9.事件线路完好=A(B+C)=AB+AC.P(A(B+C))=P(AB+AC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)—P(A)P(B)P(C)=0.7X0.8+0.7X0.9-0.7X0.8X0.9=0.686.所以 P(电路断路)=1-0.686=0.314..甲乙两人投篮，命中率分别为0.7,0.6,每人投三次，则甲比乙进球多的概率.解.设X表示甲进球数，丫表示乙进球数.P(甲比乙进球多)=P(X=3,Y=2)+P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=0)+P(X=1,Y=0)=P(X=3)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=0)=O.73-C3-O.4O.62+0.73-Cj-0.420.6+0.73-0.43+c>0.3•0.72•cb06.042+ci.o.3.0.72.o.43+c>0.7-0.32•0.43=0.148176+0.098784+0.021952+0.127008+0.028224+0.012096=0.43624..三人独立破译-密码，他们能单独译出的概率分别为则此密码被译出的概率.534解.设A,B,C表示事件甲，乙，丙单独译出密码.，则P(A)=,，P(8)=Lp(C)=；.P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)二.单项选择题..以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则对立事件N为(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B)“甲、乙产品均畅销”(C)”甲种产品滞销” (D)“甲产品滞销或乙产品畅销”解.(D)是答案..设A,B,C是三个事件，与事件A互斥的事件是(A)AB+AC(B)A(B+C)(C)ABC(D)A+B+C解.A(A+B+C)=AABC=<|),所以(D)是答案..设A,B是任意二个事件，则(A)P(AuB)P(AB)>P(A)P(B) (B)P(AuB)P(AB)<P(A)P(B)(C)P(A-B)P(B-A)<P(A)P(B)-P(AB)(D)P(A-B)P(B-A)>-.4解.P(A+B)P(AB)-P(A)P(B)=(P(A)+P(B)-P(AB))P(AB)-P(A)P(B)=-P(A)(P(B)-P(AB))+P(AB)(P(B)-P(AB)=-(P(B)-P(AB))(P(A)-P(AB))=-P(B-A)P(A-B)<0所以(B)是答案..事件A与B相互独立的充要条件为(A)A+B=Q(B)P(AB)=P(A)P(B)(C)AB=(|) (D)P(A+B)=P(A)+P(B)解.(B)是答案..设A,B为二个事件，且P(AB)=O,则(A)A,B互斥(B)AB是不可能事件(C)AB未必是不可能事件(D)P(A)=0或P(B)=0.解.概率理论中P(A)=0不能推出A为不可能事件(证明超出大纲要求).所以(C)是答案..设A,B为任意二个事件，且AuB,P(B)>0,则下列选项必然成立的是(A)P(A)<P(AIB)(B)P(A)<P(AIB)(C)P(A)>P(AIB)(C)P(A)>P(AIB)解.P(AI8)=£^2=49NP(A)(当B=。时等式成立).(B)是答案.P(B)P(B).已知0<P(B)<1,且P[(Ai+A2)IB]=P(A|IB)+P(A2lB),则下列选项必然成立的是(A)P[(A,+A2)IB]=P(A,IB)+P(A2IB)B)P(A|B+A2B)=P(A,B)+P(A2B)C)P(A,+A2)=P(A,IB)+P(A2IB))P(B)=P(A|)P(BIA。+P(A2)P(BIA2)解.由P[(Aj+A2)IB]=P(A,IB)+P(AJB)得到所以P(A)B+A2B)=P(A,B)+P(A?B).(B)是答案.P[(A+&)8]=P(所以P(A)B+A2B)=P(A,B)+P(A?B).(B)是答案.三.计算题.某厂生产的产品次品率为0.05,每100个产品为一批，抽查产品质量时，在每批中任取一半来检查，如果发现次品不多于1个，则这批产品可以认为合格的，求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格)=P(全部正品)+P(恰有1个次品)C5?c^c\H—.5=0.2794GooC100.书架上按任意次序摆着15本教科书，其中有5本是数学书，从中随机地抽取3本，至少有一本是数学书的概率.解.假设A=｛至少有一本数学书｝.入=｛没有数学书｝-24 — 67P(A)=*=—, P(A)=1-P(A)=——c：91 91.全年级100名学生中有男生80名，来自北京的20名中有男生12名.免修英语的40名学生中有男生32名，求出下列概率：i.碰到男生情况不是北京男生的概率；

ii.碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率;iii.碰到北京男生的概率;iv.碰到非北京学生情况下是一名女生的概率;V.碰到免修英语的男生的概率.解, 学生情况：男生女生北京128免修英语328总数8020i.P(不是北京1男生)=竺=?8020123P(男生1北京学生)=丝=320512喊京男生)=而iv.12P(女生1非北京学生)=上80V.32P(免修英语男生)=旃4.袋中有12个球，其中9个是新的，第一次比赛时从中取3个，比赛后任放回袋中，第二次比赛再从袋中任取3个球,求：i.第二次取出的球都是新球的概率；ii.又已知第二次取出的球都是新球，第一次取到的都是新球的概率.解.i.设Bi表示第一次比赛抽到i个新球(i=0,1,2,3).A表示第二次比赛都是新球.于是P(BJ=号,尸(AIB,)=4TOC\o"1-5"\h\zC\2 C\2P(A)=£P(B,)P(AI8,)=元半导=$(烟c；+c；c；c；+"+味餐)1=0 1=0(C]?) (C]2)i *7八——T(1X1X84+9X3X56+36X3X35+84X1X20)= =0.146(220尸 48400n.P(B3\A)=P(AIB3)P(当)

P(A)84x1x20(220尸_57056—=2148400红球红球m

MB=｛先从甲袋中任取一球为红球｝N+1nNm 1 • +M+1〃+加N+M+15.设甲、乙两袋，甲袋中有n个白球,m个红球，乙袋中有N个白球,M个红球，今从甲袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问取到白球的概率.解.球的情况： 白球甲袋 n乙袋 N假设A=｛先从甲袋中任取一球为白球｝C=｛再从乙袋中任取一球为白球｝P(C)=P(CIA)P(A)+P(CIB)P(B)=——

n(N+1)+Nm

(N+M+l)(m+n)第二章 随机变量及其分布一.填空题.设随机变量X〜B(2,p),Y〜B(3,p),若P(X21)=—,则P(YN1)=,954解.P(x=0)=1-P(X>1)=1--=-991352.已知随机变量X只能取一1,0,1,2四个数值，其相应的概率依次为一，一，一,一，WiJc= .2c4c8c16c.用随机变量X的分布函数F(x)表示下述概率：P(X<a)=. P(X=a)=.P(X>a)=. P(xi<X<x2)=.解.P(X<a)=F(a)P(X=a)=P(X<a)-P(X<a)=F(a)-F(a-0)P(X>a)=1—F(a) P(xj<X<X2)=F(X2)—F(xj).设k在(0,5)上服从均匀分布，则4/+4履+k+2=0有实根的概率为.解.k解.k的分布密度为/(k)=0<A:<50其它P{4x2+4kx+k+2=0有实根}=P{166一16人一32N0}=P{k<-l或k22}=I3-dk=-25b=,联合概率分布,Zb=,联合概率分布,Z=X+.已知P{X=k}=-,P{y=-k}=F(k=L2,3),X与Y独立，则k k-Y的概率分布为.iaa. 6 ,hht36解.ClH 1—=1,〃=—,hd F—=1,b——23 11 49 49（X,Y）的联合分布为X—1-2-3123ababTabTabnab~9abl8ab27Z=X+Y-2-1012P24a66a251a126a72aab=216a,a= 539P(Z=-2)=P(X=l,r=-3)=P(X=l)P(r=-3)=—=24a9p(Z=-l)=P(X=2,y=-3)+P(X=l,y=-2)=66aP(Z=O)=P(X=3,y=-3)+P(X=2,y=-2)+P(X=l,y=-l)=251aP(Z=1)=P(X=2,y=-l)+P(X=3,y=-2)=126aP(Z=2-3,-3)P*T)=±72a6.已知（X,Y）联合密度为夕（尤,y）=csE(x+y)0<x,y<^则。=° 其它，丫的边缘概率密度%（y）=工/4n/4解.Jjcsin(x+y)dxdy=1,c=V2+1oo(V2+1)sin(x+y) 0<x,y<—4° 其它TT当0VyV—时, 4r•,外(y)= 9>(x,y)dx=J—ao(V2+1)sin(x+y)dx=(V2+l)(cosy-cos(—+y))4 ’所以啊（什怦+i）（cos”c吒+y））0"吟0 其它7,设平面区域D由曲线)=,及直线y=0,x=1,x=「2围成，二维随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布，则(X,Y)关X于X的边缘密度在X=2处的值为.解.D的面积=「工办=2.所以二维随机变量(X,Y)的密度为：JlX(p[x,y)(p[x,y)=<20(x,y)eD其它下面求X的边沿密度:当X<1或X>『时(px(x)=0当1WxWe?时/•+0C'(Px(X)=J,

J—co叭X,y)dy=k3dy=；,所以Ox(2)/•+0C'(Px(X)=J,

J—co— 18,若X1,X2,…,Xn是正态总体N3，S)的一组简单随机样本，则X=_(X1+X2+…+x“)服从.n解.独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.DO：DO：9.加果(X,Y)的联合分布用下列表格给此(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)p1111 c— — —— — a B6 9 18 32p(y=1)+p(y=2)+p(y=3)=a+月+1=1a=P(X=2,y=2)=P(X=2)P(y=2)=(-+a+/?)(1+a)<一TOC\o"1-5"\h\z夕=P(X=2,y=3)=P(X=2)尸(Y=3)=(!+a+/)(上+夕)5 1o1X+a 1 o两式相除得号——=2,解得a=24，/?=-,a=~.—+B〃 9 918则i.Z=X+则i.Z=X+Y的分布律X-2~101113112121212102121220231212.ii.V=X-Y的分布律.U=X2+Y-2的分布律.X+Y-3 -2 -1 -3/2 -1/2 1 3P1/12 1/123/12 2/12 1/12 2/122/12X-Y-1 0 1 3/2 5/2 3 5P3/12 1/121/12 1/12 2/12 2/122/12X2+Y-2-15/4 -3 -11/4 -2 -1 5 7P2/12 1/12 1/12 1/12 3/122/12 2/12二.单项选择题.如下四个函数哪个是随机变量X的分布函数(A)F(x)=<ro(B)F(x)=]0sinx1x<00<x<^X>7T122xv—2—2Wx<0,x>0’0x<0’01x<0i(C)F(x)=sinx10<x<7t/2,X>7T/2(D)尸(x)=1x+-310<x<-22解.(A)不满足F(+8)=1,排除(A);(B)不满足单增，排除(B);(D)不满足F(1/2+0)=F(1/2),排除(D);(C)是答案..P(X=L)=c£0-"/依(忆=0,2,4/一)是随机变量*的概率分布，贝以,c一定满足

(A)A.>0 (B)c>0 (C)cX>0 (D)c>0,且大>0解.因为P(X=k)=c£/3依(忆=0,2,4,…)，所以c>0.而k为偶数，所以人可以为负.所以(B)是答案..X-N(1,1),概率密度为(p(x),则(A)p(X<0)=P(X>0)=0.5 (B)°(x)=(p(-x),xe(-oo,+oo)p(X<1)p(X<1)=P(X>l)=0.5F(x)=1-F(-x),xe(-oo,+oo)解.因为E(X)=n=1,所以p(X41)=P(XNl)=05(C)是答案..X,Y相互独立，且都服从区间［0,1］上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A)(X,Y)(B)X+Y(C)X2(D)X-Y解.X〜0(x)解.X〜0(x)=1 0<x<l0其它Y~(p(y)=1 0<y<l0其它10<x,y1(X,Y)一0(x,y)={,、廿…'.所以(A)是答案.0其匕° .<0Y.设函数/(x)= 0<x<1KiJ3x>1(A)F(x)是随机变量X的分布函数. (B)不是分布函数.(C)离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解.因为不满足F(1+0)=F(l),所以F(x)不是分布函数,(B)是答案.6.设X,Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数为Fx(x)，4(y)，则Z=max(X,Y)的分布函数是(A)Fz(z)=max{FX(Z),FY(Z)} (B)Fz(z)=max{IFx(z)1,1Fy(z)I}(C)Fz(Z)=Fx(Z)4(Z) (D)都不是解.Fz(z)=P(Z<z)=P{max(X,y)<z}=P[X<z且Y<z]因为独立P(X<z)P(Y<z)=Fx(z)Fy(z).(C)是答案.7.设X,Y是相互独立的两个随机变量，其分布函数分别为尸x(X)，4(y)，的分布函数是(A)Fz(z)=Fx(z) (B)Fz(Z)=耳⑶(C)Fz(z)=min{Fx(z),FY(z)} (D)Fz(z)=1-[1-Fx(z)][l-Fr(z)]解.莅(z)=P(Z4z)=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X>z且丫>z]因为独立1-[1-P(X<z)][l-P(Y<z)]=1-[1- (z)][l-Fy(z)](D)是答案.8.设X的密度函数为0(x),而e(x)=——二则Y=2X的概率密度是

万(1+Y)(A) 7-乃(1+4;/)(B) 厂(C)——万(4+y~) 乃(l+F)(D)—arctanyTC解.FY(y)=P(Y<y)=P{2X<y}=P[X<-^)=F%(y)=[6(y)l=(七0).1=1.222万(4+y2)(B)是答案.9.设随机变量(X,Y)的联合分布函数为夕(尤y)=e~(I+y) x>O,y0 其它Yiy,则2=。^-的分布密度是

2J.sx>0,y>0(B)(pz(Z)=■■2x>0,y>0(A)Oz(Z)=<[o其它€0其它‘4ze2z>0-e-:z>0(C)Oz(Z)=•0z<0(D)%(Z)=2z<0*X+v解.Z= 是一维随机变量，密度函数是一元函数，排除(A),(B).2F-ezdz="!•，所以(D)不是答案.(C)是答案.J。2 2注：排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法.该题也可直接计算Z的密度:当z<0时Fz(Z)=O当Z20时Y4-VB(z)=P(Z<z)=P(--•<z)=P(X+Y<2z)=y)dxdy' x+y<>2z=『6一"[『[-'dy卜x=-2ze~2z-e~2z+1%(z)=&(Z)={ ,(C)是答案.0z<010.设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(l,1),则下列结论正确的是(A)P{X+Y<0}=1/2 (B)P{X+Y<1)=1/2(C)P{X-Y<0)=1/2 (D)P{X-Y<1}=1/2解.因为X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(l,1),且X和Y相互独立，所以X+Y〜N(l,2),X-Y〜N(—1,2)于是P{X+Y41}=1/2,(B)是答案.11.设随机变量X服从指数分布，则丫=min{X,2}的分布函数是(A)是连续函数 (B)至少有两个间断点 (C)是阶梯函数(D)恰好有一个间断点解.分布函数：FY(y)=P(Y<y)=P(min(X,2)<y)=1-P(min(X,2)>y)当y22时(y)=1-P(min(X,2)>y)=1-0=1当04y<2时Fy(y)=1-P(min(X,2)>y)=l-(X>y,2>y)=l-P(X>y)=P(X<y)=l-e-A}/当y<0时4(y)=1-P(min(X,2)>y)=1-(X>y,2>y)=1-P(X>y)=P(X<y)=01 y>2于是Fy(y)=<l-e-Ay0<y<2只有y=2•个间断点,(D)是答案.|o y<0三.计算题1.某射手有5发子弹，射击一次的命中率为0.9,如果他命中目标就停止射击，不命中就一直到用完5发子弹，求所用子弹数X的分布密度.解.假设X表示所用子弹数.X=1,2,3,4,5.P(X=i)=P(前i-1次不中，第i次命中)=(0.1)"10.9,i=l,2,3,4.当i=5时，只要前四次不中，无论第五次中与不中，都要结束射击(因为只有五发子弹).所以P(X=5)=(0.1)4.于是分布律为X| 1 2 3 4 5-p ~0^9~0.090.009~0.0009~0.00012.设一批产品中有10件正品,3件次品，现一件一件地随机取出，分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X的分布密度.i.每次取出的产品不放回；ii.每次取出的产品经检验后放回，再抽取；iii.每次取出一件产品后总以一件正品放回，再抽取.解.假设Ai表示第i次取出正品(i=1,2,3,…)i.每次取出的产品不放回X| 1 2 3 4 ~p10 103~~1023 1~2~3~13 1213TT1213TT1213P(X=1)=P(A)=居

— —— 103P(X=2)=p(a2A)=P(一IA)P(A)=历•百 ————— 1023P(X=3)=P(AA2A3)=P(4IA2)P(A21A1)P(A,)=—•— 123P(x=4)=p(4Ia3)p(&i4)p(4IA)p(4)=1---n.每次抽取后将原产品放回X| 1 2 …k … P10 310 (3)13 I •••13 1313 <13j 13——— — —— (3Y10p(x=k)=p(a…Ai4)=p(a)-p(4t)p(a«)=(eJ-,(k=i,2,…)iii.每次抽取后总以一个正品放回X| 1 2 3 4 ~~P W311~3212~j-1~2313 13B13BBBT313P(X=1)=P(4)=《— —— 113P(X=2)=p(&A)=p(&IA)P(A)=mE 1n,qP(X=3)=P(AL=P(4144)P(aIA1)P(A1)=--- 1aP{X=4)=P(A414A2a)P(A3IA2Ai)P(A2IA)P(A)=1 TOC\o"1-5"\h\zlc[xk1 113.随机变量X的密度为(p(x)=471-x2 _.,求:i.常数c;ii.X落在(-一,一)内的概率.o其匕 221C=——71|*+工 p• C1C=——71=(p(x)dx= ,dx=2carcsinx^=2c—二c冗、-lV1—x2 2P(Xg(-1/2,1/2))=27T716\_34.随机变量X分布密度为2 i.^(x)=<2 i.^(x)=<^71-x2

0Ixkl其它0<x<l1<x<2其它求i.,ii的分布函数F(x).解.i.当x41时F(x)=[(p(t)dt=fOdt=0J—00 J-co当一kX<1时F(x)-f(p(t)dt=f-」\一『dt=工Vl-x2d——arcsinx+一J一1万 冗 n 2当xNl时尸(x)=[(p(t)dt=[—Jl-Jdf=1J-00 J-ln’0xK—1所以F(x)=<兀11.1+-arcsinx+—7Z 2—,1<x<1x>1ii.当xvO时F(x)=「(p(t)dt=「0力=0J—oo J—oo当04x<1时fu)=fu)=rW—00/•X X2(p(t)dt=Jtdt—22尸c・ F2x-12F(x)=「(p(t)dt=[tdt+J；(2-t)dt当2Wx时尸(x)=[(p(t)dt=f[(2-t)dt=1J-ao J。 JI0x2x<0所以F(x)="T20<x<l F2x-11<x<221x>25.设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X具有分布密度函数,、 1 (5-20尸1(p(x)= 1=exp , —oo<x<+oo40而［3200)试求:i.测量误差的绝对值不超过30的概率；ii.接连独立测量三次，至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解.因为°(x)=——L=exp ~皿—co<x<+oo,所以X〜N(20,4()2).40后H3200P(IXk30)=P{-30<X<30}=刊-1.25<

=①(0.25)-①(一1.25)=①(0.25)-(1—0(1.25)=①(0.25)+①(1.25)-1=0.5987+0.8944-1=0.4931.（其中①（x）为N（0,1）的分布函数）P（至少有一次误差的绝对值不超过30）=1-P（三次误差的绝对值都超过30）=1-(0.4931)3=1-0.12=0.886.设电子元件的寿命X具有密度为8(8(x)=季100<x0x<100i.只有一个电子解.i.只有一个电子解.X的密度（p［x}=詈100<x所以0x<100问在150小时内，i.三只元件中没有一只损坏的概率是多少？ii.三只电子元件全损坏的概率是多少？ii元件损坏的概率是多少？TOC\o"1-5"\h\z「150100 1P(X<150)=f-dx=-JmX2 3人 1 2令p=P(X2150)=1一—=3 3, 8P（150小时内三只元件没有一只损坏）=PP（150小时内三只元件全部损坏）=（1-p）3=、-P（150小时内三只元件只有一只损坏）=7.对圆片宜径进行测量，其值在［5,6］上服从均匀分布，求圆片面积的概率分布.解.直径D解.直径D的分布密度为8（d）=1 5<d<60其它必2假设X=k，X的分布函数为F⑶.F(x)=P(X<x)=P(ttD2<x)当x40时,F(x)=0当x>0时4x714元4x71F(x)=P(X<x)=?(32<x)=pJ_J一<D<当世＜5,即x（生时V7C 4F(x)=0

当5WJ把W6,即竺WxW9耐7171F(x)=P(X<x)=尸(必2<X当5WJ把W6,即竺WxW9耐7171F(x)=P(X<x)=尸(必2<X)=P<-..4x.\dt=J 5Vn当x>9兀时/(乃=『J—0025%x< 4257V/ ,八 <X<V7T4x>9tt- SrS9冗yfmc40 其它8.已知X服从参数p=0.6的0—1分布在X=0,X=1下，关于表1 表2Y12 3 Y1 2Y的条件分布分别为表1、表2所示P(YIX=O)P(YIX=1)求(X,Y)的联合概率分布，以及在Yw1时，关于X的条件分布.解.X的分布律为X01p0.40.6(X,Y)的联合分布为X12300.10.20.110.30.10.213p(x=1,y=1)=p(y=11x=i)p(x=1)=——=0.313p(x=i,y=2)=p(y=21x=i)p(x=i)=——=o.i6513p(x=i,y=3)=p(y=31x=i)p(x=i)=——=o,212p(x=o,y=i)=p(y=iix=o)p(x=o)=--=o.i17p(x=o,y=2)=p(y=2ix=o)p(x=o)=——=o,2

12p(x=o,y=3)=p(y=3ix=o)p(x=o)=——=o.i45所以丫的分布律为p(xp(x=oiy/i)=p(x=o,yhi)

p(y丰1)p(p(x=iiywi)=p(x=i,yHi)Y1 23P0.40.30.3XIYw101P0.50.5所以所以Y9.设随机变量X与丫相互独立，并在区间［0,9］上服从均匀分布，求随机变量Z=7•的分布密度.1解.X~(px(x)=<900<x<9其它丫〜外(x)=0<y<9其它因为X,Y相互独立，所以(X,Y)联合密度为g(X,Y)〜°(x,y)=81I。当Z40时0<x,y<9其它Fz(z)=0当0<z<1时YFz(z)=P(Z<z)=P(—<z)=P(Y<Xz)=

X当z21时弓⑵=P(Z<z)=P(y<z)=P(y<Xz)==--(81--9-9z)=l-81 22z所以10.设(X,Y)的密度为z<00<z<1z>10(尤,y)=x>0,y>O,x+y<l其它求\.(px(x)，e(yIx),(p(y।x=；)，

ii-8y(y)，8(xly)，e(xly=；)p+OO.(px(x)= (p(x,y)dyJ—QO当xV0或x21时―p+oo°x(x)= <P(x,y)dy=0J—00当Ovxv1时'+co'+co(x(x)=(p(x,y)dy=24y(l-x-y)dy=4(1-x)J—(x> JO所以°x(x)=,4(17)300<x<l其它所以所以°x(x)=,4(17)300<x<l其它所以。5万)=8々(Px(x)6y(l—x—y)

(1-x)30x>0,y>0,x+y<l其它所以24^(1-2y)0其它.(py(y)=J(p(x,y)dx当yWO或y21时0y(>)=f。(苍y)dx=。J-00当0<y<1时外(>)=f夕(x,y)dx=f24y(l-x-y)dx=12y(l-y)2*—oo JO所以I2y(i-y)2o0<y<1其它所以o(xiy)<P(x,y)外(y)2(1-x-y)

d-y)20x>0,y>0,x+y<l其它所以/,1、8(xIy=5)=<4(1-2x)00cx<\_2其它第三章 随机变量的数字特征填空题.设随机变量X与Y相互独立,D(X)=2,D(Y)=4,D(2X-Y)=.解.D(2X—Y)=4D(X)+D(Y)=12.已知随机变量X〜N(—3,1),Y〜N(2,1),且X与Y相互独立,Z=X-2Y+7,贝ijZ〜.解.因为Z=X-2Y+7,所以Z服从正态分布.E(Z)=E(X)-2E(Y)+7=0.D(Z)=D(X-2Y+7)=D(X)+4D(Y)=1+4=5.所以Z-N(O,5)TOC\o"1-5"\h\z.投掷n枚骰子，则出现点数之和的数学期望 .解.假设Xi表示第i颗骰子的点数(i=1,2,…,n).则,1c1 ,17E(Xj)=1•一+2•一+…+6•一=一(i=l,2,…，n)6 6 62又设X=tX,,则E(X)=E(SX,)=£E(X,)=?/=1 i=l i=l 2.设离散型随机变量X的取值是在两次独立试验中事件A发生的次数，如果在这些试验中事件发生的概率相同，并且已知E(X)=0.9,贝ijD(X)=.解.X~3(2,p),所以E(X)=0.9=2p.p=0.45,q=0.55D(X)=2pq=2X0.45X0.55=0.495.[1 X>0.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量Y=\oX=0,则方差D(Y)=.-1 X<0-l<x<2其它-l<x<2其它解.X-叭x)=130Y的分布律为Y10-1P2/301/3f2i2因为P(Y=1)=P[X>0)= =-p(y=0)=P(X=0)=0TOC\o"1-5"\h\zro1 1p(y=-l)=p(X<0)= =-9 i i 2 1 2于是 = E(y2)=+=1,D(y)=E(r2)-[^(r)]2=-0 10.80.23 3 J 3 3 90 10.80.26.若随机变量X,,X2,X3相互独立，且服从相同的两点分布,则6.若随机变量X,,X2,X3相互独立，且服从相同的两点分布i=iD(X)=.解.X服从B(3,0.2),所以E(X)=3p=3X0.2=0,6,D(X)=3pq=3X0.2X0.8=0.48.设X和Y是两个相互独立的随机变量，且X〜N(0,1),Y在[-1,1]上服从均匀分布，则cov(XJ)=.解.因为X和Y是两个相互独立的随机变量，所以cov(X,y)=0.

e" y〉50 其它'.设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：奴X)e" y〉50 其它'贝ijE(XY)=.解.E(X)=Jx(p(x)dx=£x-2xdx=—E(K)=[y(p(y)dy=「y =6J-ao J5因为X和Y是两个相互独立的随机变量，所以E(XY)=E(X)E(Y)=4.若随机变量X|,X2,X3相互独立，其中X,在[0,6]服从均匀分布,X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数入=3的泊松分布，记丫=*1-2*2+3*3,则D(Y)=.解.D(Y)=D(Xl-2X2+3X3)=D(Xl)+4D(X2)+9D(Xi)=2_+4x4+9x3=4612二.单项选择题.设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y,V=X+Y,则U和V必然(A)不独立(B)独立(C)相关系数不为零 (D)相关系数为零解.因为X和Y同分布，所以E(U)=E(X)-E(Y)=0,E(U)E(V)=0.E(UV)=E(X2)-E(Y2)=O.所以cov(X,Y)=E(UV)-E(U)E(V)=0.(D)是答案..已知X和Y的联合分布如下表所示，则有X01200.10.050.25100.10.220.20.10(A)X与Y不独立(B)X与Y独立(C)X与Y不相关(D)X与Y彼此独立且相关解.P(X=0)=0.4,P(Y=0)=0.3.0.1=P(X=0,Y=0)WP(X=0)XP(Y=0).(A)是答案..设离散型随机变量X可能取值为:xi=1,X2=2,X3=3,且E(X)=2.3,E(X2)=5.9,则知,x*X3所对应的概率为(A)pi=0.1,P2=0.2,P3=0.7 (B)pi=0.2,p2=0.3,p3=0.5(C)pi=0.3,P2=0.5,P3=0.2 (D)pi=0.2,p2=0.5,P3=0.3解.E(X)=KM+x2p2+X3P3=Pi+2p2+3(l-pj-p2)=3-2/7)-p2=2.32〃1+P2=0.7£(X2)=x/P1+x22p2+x32p3=P]+4p2+9(1-P]-P2)=5.98〃]+5p2=3.1解得Pi=0.2,P2=0.3,P3=0.5. (B)是答案.4.现有10张奖券，其中8张为2元,2张为5元，今每人从中随机地无放回地抽取3张，则此人抽得奖券的金额的数学

期望(A)6 (B)12 (C)7.8 (D)9解.假设X表示随机地无放回地抽取3张，抽得奖券的金额.X的分布律为X6912p7/157/151/15「3 7P(X=6)=P(三张都是二元)=甘~=一C.n15P(x=9)=P(二张二元，一张五元)=年=工p(X=9)=P(一张二元，二张五元)=年=—Go157 7 1£\*)=6,+9，+12-!-=7.8.(€)是答案.15 15 155.设随机变量X和Y服从正态分布,X〜N(|i,42),Y〜取内52),iflP1=P{X<p-4},P2=P{Y>p+5},则(A)对任何内都有P|=P? (B)对任何实数内都有P|<P2(C)只有n的个别值，才有P产P2 (D)对任何实数内都有P(>P2解.P,={X<n-4}=pi,<-B=0(-1)=1-①⑴P2P2={Y>n+5}=P=1-P(其中①(x)为N(0,1)(其中①(x)为N(0,1)的分布函数).所以(A)是答案.6.随机变量&=X+Y与n=*一丫不相关的充分必要条件为(A)E(X)=E(Y) (B)E(X2)-E2(X)=E(Y2)-E2(Y)(C)E(X2)=E(Y2) (D)E(X2)+E2(X)=E(Y2)+E2(Y)解.cov(&,n)=E《n)—E(g)E(n)e(a)=E[(x+y)(x-r)]=e(x2)-e(y2)E《)E(n)=[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]=E\X)-E2(Y)所以(B)是答案.三.计算题k1.设X的分布律为P(X=公=―±F，k=0,1,2,…,a>0,试求E(X),D(X).(l+a)*+l解.E(X)=£kP(X解.E(X)=£kP(X=幻=£ka_1Ye«+ik=0/(x)=^^kx/(x)=^^kxk+'=x2^kxk' =x2f--—]4=0 *=l \*=1 ) (1—xj(J"a/(—)=- -a)—=a2,所以E(X)=a/(—)=- -a)—=a2,所以E(X)='.a2="1+Q/IQ\2 QU―； )1+QE(X2)=£k2P(X=k)=Ek=0 %=1k2ak(1+a严=定*+1-l)kk=\ak(1+Q产工(k+l)k&=1ak(l+a)*+1£k“一

白（1+。严1工 nk—y(A：+iR.

l+a七 (1+。)00 00令/(x)=Z(k+DH*=xZ(k+l)fc?T=x&=0 A=l2a/(4)=1+a =2a(l+a)2,1+a(] 。)31+a所以£(X2)=—.2a(l+a)2-a=a+2a2.\+aD(X)=£(X2)-[E(X)]2=a+2a2-a2=a+a2.2.设随机变量X具有概率密度为°（x）=2 2—cos-XK0求E(X),D(X).其它n个r+" c-2 解.E(X)=x(p(x)dx-x—cos-xdx-0J-8 J--兀r£2D(X)=E(X2)-[E(X)]2=\\x2-cos2xdx7i, 221+cos2x,7T22x- dx=——乃2 123.设随机变量X和丫的联合概率分布为(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P(X=x,Y=y)0.100.150.250.200.150.15求Esi俨X+Y)解.sin%（♦+/）的分布律为2sinn(X+Y)/201-1P0.450.400.15

Esi/(x+y)2=0x0.45+1x0.40Esi/(x+y)2.一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求：i.X的概率分布，ii.解.假设X为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数X01 23p1/21/22 1/231/23p(X=0)=P｛第一个路口为红灯｝=-2p(x=i)=p｛第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯｝ =42222P(X=0)=P｛第一，二路口为绿灯，第三个路口为红灯｝=［Tp(X=0)=P｛第一，二，三路口为绿灯｝=>1J_ J__67T25>321421-96.设(X,Y)的分布密度。(无,y)=«。(无,y)=«4xye-(x2+y2)0x>0,y>0其它解.E(Vx2+r2)=p\+\lx2+y2(p(x,y)dxdy=^x2+y24xye-(x2+y2)dxdyx>0

y>0=「cosOsin%。。「r-4r2e~r-rdr=——Jo Jo 4.在长为/的线段上任选两点，求两点间距离的数学期望与方差.解.假设X,丫为线段上的两点.则它们都服从［0,/］上的均匀分布，且它们相互独立.X〜夕(x)X〜夕(x)=0<x<l其它丫〜。(y)=0<y<l其它(X,Y)的联合分布为0<x,y<I其它又设Z=IX-YI,D|={(x,y):x>y,0<x,y</},D2={(x,y):x<y,0<x,y</},+8f+oof+CClE(Z)=JfIJ-<x)v—<nx-y\(p[x.y)dxdy=JJ(x—y)\dxdy+JJ(y-x)—dxdy6Id21=户J：[I：(x-y)dy]dx+--x)dx]dyc f+00£(Z2)=Jf(x-J—00J-8、 J-- I2yY(p(x,y)dxdy= jj(x- =—，o<x^/ 0■ ./2I2 I2D(Z)=E(Z2)-[E(Z)]2= =—69 187.设随机变量X的分布密度为°(x)=ge*",(-8<x<+oo),求E(X),D(X).r+8 r+81 ।. 1r+8 ..解.E(X)=x(p(x)dx=x—Jxr=x-//—[«+力J-8 J-002 2J-8=1匚招…力+；匚“一”=〃『e一力=〃E(X2)=「"关20(x)dx=「%+〃)20-"力J—oo J-<x> 2 2J-00r+8_. f+oo.. r+oo. <,=jLe力+Jo/j~e~dt=e力=2+〃~所以D(X)=£(X2)-[E(X)]2=2+〃2_〃2=28.设(X,Y)的联合密度为奴x,y)=T0x2+y2<1其它求E(X),D(Y),p(X,Y).^xdxdy=02+y2Ml解.E(X)=ffx^xdxdy=02+y2Ml•LxJ-X - 'jref-oort-x 1 ,,E(Y)=「「y(p(x,y)dxdy=—\\ydxdy=0J-QOJ-<X) 冗、JJx2+y2<lE(X2)=£"°£X%2^(x,y)dxdy=—^x2dxdy=—J7cos2OdO£*rydr=—1x2+y2^\ ”° °E(Y2)=P[Xy2(p(x,y)dxdy=兀.r2+/<lJ-兀.r2+/<lr+oorE{XY)=\f•F—aoJ-'+00,—001xy叭x,y)dxdy=一* 71^xydxdy=0：2+y2ilD(X)=E(X)-旧X)]2[,c_E(XY)-E(X)E(Y)pYV— / ~_U•Je>(x)75面9.假设一部机器在一天内发生故障的概率为02机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少？解.假设X表示一周内发生故障的天数.则X〜B(5,0.8)p(x=0)=(0.8)5=0.33,P(X=1)=5X0.2x(0.8)4=0.41尸(X=2)=c；x0.22x(0.8)3=0.20, >3)=1-0.33-0.41-0.20=0.06又设Y为该企业的利润,Y的分布律为Y1050-2P0.330.410.200.06E(Y)=10X0.33+5X0.41+0X0.20+(—2)X006=5.23(万元)10.两台相互独立的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；若先开动其中的一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度/«)、数学期望和方差.解.假设X、Y分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间，则X、Y的密度函数如下:X、Y相互独立，且T=X+Y.X、X、Y的联合密度：f(x,y)=<25e-5"+»,0,关于T的分布函数：FT(t)=P[T<t}=P[X+Y<t]=^f(x,y)dxdyx+y^t当/<0时FT(t)=P{T<r}=P{X4-y</}=^f(x,y)dxdy=JJOdxdy=0

x+y^t x+y^tFT(t)=P{T</}=P{X+Y<r}=y)dxdy=j125e5(x+y)dxdyx+y<t x+y^txX),y20=25卜对L==25卜对L=5jy，”5,)dx=\-e'5'-5te~5'所以r>0t<0/>0/>0Z<0所以t的概率密度：fT(t)=[ft«)r=< ’。，所以E(T)=fT(/)dt=25t2e-5,dt=|所以。(『)=£(片)-[£。2=]；"(，)力-(|)、25第四章大数定律和中心极限定理一.填空题TOC\o"1-5"\h\z.设Yn是n次伯努利试验中事件A出现的次数，p为A在每次试验中出现的概率，则对任意£>0,有lim匹-p»£\= .“TOO( 〃 J解.limI4一pIN£]=1—lim尸(14一pk£]=1—1=0"T8<〃 ) "T8\tl ).设随机变量X和Y的数学期望是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式P(IX-YI>6)<解.E(X-Y)=E(X)-E(Y)=2-2=0D(X-Y)=D(X)+D(Y)-20xyJD(X)Jd(Y)=1+4-2X0.5X1X2=3所以P(\X-Yl>6)<D(X-^-K-=—=—62 3612二.选择题1.设随机变量X1,X2,…,X“相互独立，Sn=X,+X2+-+xn,则根据列维―林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理，S“近似服从正态分布，只要X1,X2,…,x,(A)有相同的数学期望 (B)有相同的方差(C)服从同一指数分布 (D)服从同一离散型分布解.列维―林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求X-X2,…,X”既有相同的数学期望，又有相同的方差，因此(A)、(B)、(D)都不是答案,(C)为答案.三.计算题1.某厂有400台同型机器，各台机器发生故障的概率均为0,02,假如各台机器相互独立工作，试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解.假设X表示400台机器中发生故障的台数，所以X〜B(400,0.02)由棣莫佛一拉普拉斯定理：..JX-400x0.02/1 1r小，、hmP\/ :<x=—；=e2dt=O(x)…Va/400x0.02x0.98 )而( V_Q \所以P(X>2)=1-P(X<1)=1-P\/ </ IV400x0.02x0.98 4400x0.02x0.98)*1一①(一2.5)=①(2.5)=0.9938.2.设供电网中有10000盏灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7,假设各灯开、关时间彼此无关，计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.解.假设X表示10000盏灯中开着的灯数，所以X〜B(10000,0.7)由棣莫佛一拉普拉斯定理：lim//X-7000…lim//X-7000…U10000x0.3x0.7所以P(6800<X<7200)(6800-7000<X-7000<7200-70001

1710000x0.3x0.7.710000x0.3x0.7-V10000x0.3x0.7)=6(4.36)一中(一4.36)=2①(4.36)—1=2X0.999993—1=0.999.第五章 数理统计的基本概念一.填空题.设X|,X2,…,Xn为来自总体N(0,『)，且随机变量丫=C(fXJ2〜Z2(1),则常数C=一.1=1解.ZXj~N(0,n,解.ZXj~N(0,n,),i=]〜N(o,l)y/n(J所以Vc=<—,■Jncy.设X|,X2,X3,X4来自正态总体N(0,22)的样本，且y=a(X|-2X2)2+b(3X3-4X4)2,贝ija=b=时，丫服从/分布，自由度为.解.Xi—2X2〜N(0,20), 3X3-4X4~N(0,100)3X&-3X&-4X,

Vioo~N(0,l)=-t=, u=—; y[b=-] ,b= .V20 20Vibo100丫为自由度2的%2分布..设X|,X2,…,Xn来自总体户(n)的分布,则以又)=D(x)=解.因为X1,X2,…,Xn来自总体%2(n),所以E(Xi)=n,D(Xj)=2n(i=1,2,,,,,n)。(巨X,)E(X)=n, D(X)=—^—=^^=2n二.单项选择题

1.设X],X2,…,Xn为来自总体N(0,『)的样本，则样本二阶原点矩4 的方差为TOC\o"1-5"\h\z-> er2 2a4 a4(A)b(B)— (C)—— (D)—n n n解.X1,X2,…,Xn来自总体N(0,『)，所以(区)2~/(l),矶区)2=1, 。(二)2=2(J a az)(£x：)z)(£x：)b⑦(f(2L)2)a4•2n2an2.(C)是答案..设X1,X2为来自正态总体N(因/)的样本，则X1+X2与X1-X2必(A)线性相关(B)不相关(C)相关但非线性相关(D)不独立解.假设Y]=X1+X2,Y2=X]-X2所以E(Y2)=E(X!)-E(X2)=O.cov(YbY2)=E(Y|Y2)-E(Y|)E(Y2)=E(X；-X；)=E(X；)-E(X；)=0.(B)是答案.c X2+---X2TOC\o"1-5"\h\z.设X服从正态分布N(0,22),而X|,X2,…，X|5为来自总体X的简单随机样本，则随机变量y=-4 1V所2(附+…X：)服从的分布为(A)x2(15) (B)t(14) (C)F(10,5) (D)F(l,1)解X；+jX1~/(io), ~要(5)X；+…+X[ 2 2所以「-也一r~F(10,5)，即丫= ~bx；+…+X； ' 2(X[+...XZ) ' '20(C)是答案.三.计算题io1.设X1,X2, 为总体N(0,0.32)的一个样本，求P(Zx；>1.44).i=l解.因为X|,X2,…,X1O为总体NQO.32)的一个样本，所以10Y2自言反。)io 10y2 144尸(ZX；>1.44)=p(Z言>堤)=P(Z2(10)>16)=0.1i=l /=iu.J u.u.2.从一正态总体中抽取容量为10的一个样本，若有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，试求总体的标

准差.解.因为总体X服从N(|l,，)，所以 -N(0,1).由O-/V10P(IX-//t>4)=0.02知p(lX一2|>生叵)=0.02cr/VlO(T即 ①(一生画)=o.oi,①(生叵)=0.99(T (T-4厢___ 4V10...查表得 =2.33,cr= =5.43.a 2.33.设总体X〜N(72,100),为使样本均值大于70的概率不小于0.95,问样本容量至少应取多大? 1AA V_72解,假设样本容量为n,则X~7V(72,—), ~ ~N(OJ)n1UVn由P(X>70)>0,95得P(X-721070-7210)>P(X-721070-7210)>0.95Vn所以①(乎)(0.95,日>1.65,n>68.0625..设总体X服从NJ,4),样本(X|,X2,…,XJ来自X,又为样本均值.问样本容量至少应取多大才能使E(IX-//l2)<0.1ii.P(IX-/712<0.1)>0.95— 9 — 1 4解.i.E(lX-12)=£>(X)=-D(X)=-<0.1n n所以n>40.X~N(//,一),—个〃~N(0,1).所以n2VhP(IX-X71<0.1)= >0.952 2y[n0(—Vn)>0.975,查表得—>1.96,n>15375.设无=1之Xj,证明:〃MTOC\o"1-5"\h\z£(Xj-〃)2=£(X,一灭)2-〃(又一〃)2;1=1 1=1ii.f(X,-五)2=fx,2_〃(5)2i=l i=l解.i.£(X,-〃)2=£(Xj—T+T—")2Z=1 i=\=t(X,-9)2+2f(Xj-五)(田-〃)+f(克-〃)2i=1 f=i i=l=t(X,—9)2+2(亍一〃)(£Xi-nX)+n(X-i=l i=l.J_ =Z(X,-无)2-〃(又-〃)21=1£(Xj-9)2=£(x：_2X,又+N)=£x,2-29£Xj+〃N/=1 i=l f=l f=l=£x；-2nX2+/?X2=J%,2-n(X)2i=l i=l第六章 参数估计1.设总体X〜N也，a2）,若。2已知，总体均值N的置信度为l-a的置信区间为：（又一义多+4爷），贝UXy/nyin解.X~N(r,q2),则 -~N(0,1)(7yfn由口-a得置信区间（无一九三，5+九a/y/n yjn所以A=u01—2.设由来自正态总体NgOb）容量为9的简单随机样本，得样本均值x=5,则未知参数n的置信度为0.95的置信区

间.解.由第一题及查表知4=〃0.975=1-96.日的置信区间为(5-1.96x箸5(5-1.96x箸5+L96嚼)=(4.412,5.588).设XL为来自正态总体N(内1)的样本，若CXi+^^X2为N的个无偏估计，则C=._ 1V[J1) g”「 1998I1999 )( 1999/ 1999.设(X1,X2,…,Xn)为来自正态总体X〜U(0,0+1)(0>0)的样本，则0的矩估计量为;极大似然估计量为.解.总体X解.总体X的密度为@x)=10<x<0+l0其它i.矩估计量£(%)= i.矩估计量£(%)= =1(26»+1)用X来估计E(X):1(2^+1)=X,ii.最大似然估计16><x,.<^+1xl°，g)[o其它八一1o=x——2(i=1,2,・・・，n)所以(Xi,X所以(Xi,X2,…,X)的联合密度为夕(七,・・・5)1o<xn«e+10其它*(X1,…x“)在6WX],…，x“W6+1范围中为常数.ONmin{X|,…Xn}.所以0=min{xj,…xj.5.设(X|,X"…,Xn)为来自正态总体N(内,)的样本,a"为常数，且0<°<b,则随机区间:(Xj-〃厂'(X,.一〃)2>=1b，=]a的长度L的数学期望为.解.E岳解.E岳匹二©

i=ia一罗铲卜浮因一〃)2一挣(X「〃)2二.单项选择题.设总体X〜N(内,)，其中°2已知，则总体均值N的置信区间的长度/与置信度l-a的关系是(A)当1-a缩小时,/缩短. (B)当1-a缩小时,/增大.(C)当1-a缩小吐/不变. (D)以上说法均错.解.N的置信区间为(9-".4丞+U存)，当l-a缩小时，U°缩小.置信区间长度为2〃03.所以(A)是匕Tn1-3y]n 匕 匕y/n答案..设总体X〜N(p,『)，其中，已知，若样本容量n和置信度1-a均不变，则对于不同的样本观察值，总体均值u的置信区间的长度(A)变长(B)变短(C)不变(D)不能确定解.由第一题知:N的置信区间长度为2%上亍,和样本的取值无关.(B)是答案..设随机变量Xi,X2,…,Xn相互独立且同分布，x=-Yx,-,s2=-y(x,.-X)2,D(X,)=(r2,则S〃,=i 〃-1,=i(A)是。的一致估计 (B)是。的无偏估计(C)是g的极大似然估计 (D)与又相互独立解.(A)是答案，具体内容超出大纲要求..设)为。的无偏估计，旦D(G)hO,则(1)2必为。2的(A)无偏估计 (B)有偏估计 (C)一致估计 (D)有效估计解.因为方为。的无偏估计，所以E(1)=0.E((1力=D(1)+[E(1)f=口(1)+/*o?(B)是答案.设(X1,X2,…,Xn)为取自正态总体X〜N(N，『)的样本，则/+『的矩法估计量为TOC\o"1-5"\h\z(C)fX；_〃N (D)1=1 〃1=1A 人 2A1，, 1 , 2解.按矩估计方法：〃=X,〃2=x、cr2=-Y(X,.-X)2〃i=i n,=l所以a=/+，，>：一/=，+^:(口)是答案."+b n,=i n,=1.设总体X的分布中未知参数。的置信度为l-a的置信区间是HYTJ即P(Ti<6><T2)=l-a则下列说法正确的是(A)对ThT2的观察值t|,t2,e6[t|,t2] (B)。以1-a的概率落入区间[T|,T2](C)区间[T],T2]以l-a的概率包含。 (D)。的数学期望E(0)必属于[T],T2]解.(C)是答案.三.计算与证明题1.设总体X服从参数为九的Poisson分布,X1,X2,…,Xn为样本，试求入的矩估计和极大似然估计.

无解.X「P(Xj=幻=一0-"(女=0,1,2,…)kl.矩估计因为E(X)=A，所以2=又\.最大似然函数为卬)=lV(X,=七)=0-5告i=l i=lXjInL(2)=Inxi-nA-^lnx,i=l i=la1n _所以A=-Yxi=x.«[ （Inx-//）2.设总体X的密度函数为/（X,4,"）2，,%>0J2r其中一8<J!V+8,『>0为未知参数，试求内，的极大似然估计.解.最大似然函数为n] (In--4)2/(X],・・・x〃，"，cr)=口、——2a~i=i72兀0In/=ln(2乃)2—glntT?一£七一工才(坨七_〃>2 /=i2b/=]aIn/1 .nk不”一〃)=。Sin/

da2Sin/

da2n12ct7+2(ct2)2f(Ex,一〃y=01=1A1M A1n所以〃=-ZlnXj,cr2=-y（lnX,-//）2n,=i n,=1.设总体X服从（0,。）上的均匀分布,Xi,X2,-,Xn为取自X的样本..求。的矩估计自，并讨论其无偏性和一致性..求。的极大似然估计良，并讨论其无偏性和一致性.解.总体X〜叭x）=1/0O<x<00其它i.矩估计TOC\o"1-5"\h\z0 Q— A-E(X)=—,所以^=X, q=2XE(a)=2E(X)=2]