线性代数-各章课件第三章

一、几种特殊矩阵元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如

1

0

3

5

9

6

4

3是一个2

4

实矩阵,13

6 2i

2

2

2

2

2 2

2

343

3

4是一个

复矩阵,

2

1

是一个矩阵,3

1是一个1

4

矩阵,是一个

11

矩阵.例如

13

6 2

2 2

是一个阶方阵.2

2(1)行数与列数都等于

n的矩阵A，称为n阶方阵.也可记作An

.

an

a

B

a2

,

(2)只有一行的矩阵A

a1

,a2

,称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).

(或对角阵).

1

0

0

2

0

0

n

形如

00

的方阵,称为对角矩阵(3)不全为0记作A

diag1

,2

,,n.(4)

元素全为零的矩阵称为零矩阵，m

n

零矩阵记作

omn

或o

.【注】不同阶数的零矩阵是不相等的.00

0

0

0

0.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0例如(5)方阵1

1

0

0

0

1

0

0

0

nE

E全为121

22m1称为单位矩阵（或单位阵）.

a11

a12a1n

a

a

a6

A

a

a

a

m1mn

2n

称为A的负矩阵.为同型矩阵,并且2.

两个矩阵

A

aij对应元素相等,即aij

bij

i

1,2,,

m;

j

1,2,,

n,则称矩阵A与B

相等,记作A

B.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.

3 7

3

9

1

2

14

3

例如

5

6与

8

4为同型矩阵.１.矩阵的加法

bmn

a11

bm

1

b1namnam

2

b12

b22

bm

2

a1na12a22

b11

b21a2

n

b2

n

am

1A

B

a21那么矩阵ij设有两个m

n

矩阵

A

aA与

B的和记作

A

B

,规定为二、矩阵的运算【注】只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如12

3

1

962

11

63

3

613

11

7

4821mnaA

B

A

(

B)

a

b

a

b

m1

m1

m

2

m

2矩阵加法的运算律由矩阵的加法和负矩阵可定义矩阵的减法1

A

B

B

A;2

A

B

C

A

B

C

.3

A

O

A,

A

A

O;(4)

A

A

A

(

A)

O.2.数与矩阵的乘法21

22mn

m1

m12n

.a

a

aa

a

aA

A

a11

a12

a1n

数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为【注】①矩阵所有元素的公因子可以提到矩阵符号外.②思考数乘行列式与数乘矩阵的差异：例如3

4

6

42

42

1

2

2

4

2

1 2

2

3 4

6

8

矩阵加法与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.数乘矩阵的运算律（设

A、B

为m

n矩阵，

,

为数）1

A2

A3

A

B

A

B.41

A解2

1

1

0

32

22X

B

2A,

X

1

(B

2A)

1

B

A

1

34

11

4

3

1

,

4

A

1B

21

6

8

1

例1

矩阵

X满足

X

2A

B

X，其中求

X

.引例

甲、乙两厂，生产三种产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，各厂生产各种产品的产量列为矩阵A，三种产品单位产量的价格与耗电、耗水、耗油量列为矩阵B分别计算甲厂、乙厂的收入、耗电，耗水、耗油总量.

a11IIIIA

a21IIa12

a13

甲a22a23

乙单价耗电耗水耗油31

32

33

b11b14

Ib

b

IIB

b

bb12

b1321

22

23 24

bb

b

b

III

34

11

12

1324a21

a22

a23b11b21b31a11b11

a12b21

a13b31a11b12

a12b22

a13b23a11b13

a12b

23

a13b33a21b11

a22b21

a23b31

a

a

abb

bb

b

bb12

b13

b14

22

23AB

32

33 34

21

14 22

24a11b14

a12b24

a13b34

a

b

a

b

a

ba21b12

a22b22

a23b32

a21b13

a22b23

a23b32 23

34

“第一行四个元素”为甲厂产品的总收入,总耗电,总耗水、总耗油量3.矩阵的乘法=Csk

1cij

ai1b1

j

ai

2b2

j

aisbsj

aik

bkji

1,2,m;

j

1,2,,

n,并把此乘积记作

C

AB.是一i

i设

A

是一个

m

s矩阵，B

个

s

n

矩阵，规定矩阵

A

与矩阵

B

的乘积是一个

m

n

矩阵

C

A

(aij

)ms，即B

(bij

)sn矩阵的乘法定义例如

c2n

a21b1n

a22b2ns

a2

sbsn

a2k

bknk

12122aaaa

a11

a12

a1s

a

2

s

,

a

m1

m

2ms

21b12b22bs

2b1nb2nbsn

b11

b

b

s1例22222

2

4

2

4

16

32C

1

2

3

6

81622设4

0

1

0

1

21

3

05

1A

1

1

3

0

3

4

1

2

11

1

2

1

B

3

4例3?【注】只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘!4

3故C

AB

5解34ij

A

a

,43,ijB

b

33ijC

c

.6

7210

6

.

2

17

101

23例4

计算

1

3

2

(14)

143

1

21

39

1

2

3

462

3

26

例5

设

A

11

,

B

1 2

1

1 2

1

计算

AB,

BA

.

0

0AB

00

1

11BA

1解【注】矩阵乘法的特殊性:不满换律!强调AB为A左乘B，或B右乘A.若AB=BA，称A、B是可交换的.AB

O

A

O或B

O.可交换的两矩阵必为同阶方阵例6

设A

12

,

B

10

,C

1

0

3

04

001

,求AC，BC解

1

2

1 1

1 1

1

0

1 1

1 1

AC

03

0

0

0

4

0

0

0

0即AC

BC，但A

B.

0，BC

0【注】矩阵乘法的特殊性：不满足消去律！AC

BC

A

B.说明方程组的又一种表示方法—矩阵表示.例7

设21

222na

aA

aa

a11

a12

a1n

x1

b1

0

a

x

b

0

,2

,2

,X

B

0

x

b

0

am1

m

m1

m

2

mn

n

的含义.分析AX

B,21

122

2

b

m

ax

aAX

ax

x

a

x

a

m1

1

m

2

2

mn n

解析例如

1

0

1

0 1

31

3

2

3

1

2

3

12

22 3

02

1

0 0

1 0

101

32 3

2

31

1

01

矩阵乘法的运算律1

AB

C2

AB

C

AB

AC,

B

C

A3

AB

m

mn

mn

mn

n（4）E

A

A

,其中Em

,En

分别为m阶，n阶单位阵.（其中

为数）;单位阵名称的由来例8

设齐次线性方程组AX=o的解，证明

1

,2

,

,是s

c11

c22

css

也是齐次线性方程组AX=o的解.4．方阵的幂及其性质若A是n

阶方阵，则

Ak

为A的k

次幂，即

AAA

并且Am

A

k个AkAm

k

Amk

.(m,k

为自然数)【注1】

规定

A0

E

.例9

判断下列结论是否成立？（1）A2

O,

则A

O（2）

(

A

B)2

A2

2AB

B2（3）(E

A)2

E

2A

A2反例0

2

0

0 0

1 0

0 0

【思考】Ek

?答:

Ek

E.【注2】由矩阵乘法不满

换律，则AB

BA,

ABk

Ak

Bk

.【思考】什么条件下，有

ABk

Ak

Bk

?答：AB＝BA．5.矩阵的转置分析

1 4

1

24

5

2 8

与B

25

的关系．

其中

aij

记B

AT

,A

BT

.11定义设

a121121aaa22aaa

aa

a

a1n

m1

a2n

am

2

A

a21

a22

a

a

1n

2nmn

与B

a12

m1

m

2

mn

m称A,B互为转置矩阵，记B

AT

,A

BTn即设，若mnA

aij

,aij

bji

,

i

1,

2称A,B

互为转置矩阵.转置矩阵的运算性质1

AT

T

A;2

A

B

3

A4

AB推广T

A

T

A

T1

2

n1

n

n

n1

2

1(

A

A

A

A

)T

A

T

A例10

(1，2，1

),

(1，1，

3

),

A

T

,

求An

.

1T

(1,1,

3)

2

2,

1

解

由An

(

)(

T

)

(

T

)(

T

)

T

(

T

)

T

(

T

)

1

1 3

T

(2)n1

(2)n1

T

(2)n1

2

2

6

1

13

利用矩阵乘法的结合律,（5）r(

AT

)

r(