2019年概率论课程-讲义第七章

一、基本概念及常用统关注【计最强量考研】：zqky666若X1

,X

2

,称X1

,X

2

,称x1,x2

,,Xn

相互独立且与总体X同分布,,Xn

为来自总体X的容量为n的简单随机样本；,xn称为样本值.总体研究对象的某项数量指标X的全体称为总体；总体X的每个元素称为

；称X的分布为总体的分布,X的数字特征为总体的数字特征.简单随机样本ni1n,

X

xn

PX

xi

.i13.样本的联合分布

关注【最强考研】

：zqky666设总体X的分布函数为F

x或概率密度为f

x或概率分布为PX

xi

pi

,X1

,X

2

,

,Xn

为总体X的简单随机样本,则样本X1,X

2

,,X

n的,

xn

F

xi

；i1n联合分布函数为F

x1,x2

,联合概率密度为f

x1,x2

,,

xn

f

xi

；联合概率分布为P

X

x1,

X

x2

,不含任何未知参数的样本X1

,

X

2

, ,

X

n的函数g

X1

,

X

2

, ,

Xn

称样本X1

,

X

2

, ,

X

n的一个统计量；称g

x1,

x2

, ,

xn

为统计量的观测值.4.统计量关注【最强考研】

：zqky6662221nn

1ni11ini1i(

X

X

)

；ni1n

1i1nkin(

X

X

)k

.1n1ni1ii1(

X

X

)

；k（3）样本k阶原点矩

A

k（4）样本k阶中心矩

B

（1）样本均值

X

X

；（2）样本方差

S

样本标准差

S

X

；设X1

,

X

2

, ,

Xn

为来自总体X的一个简单随机样本，5.常用的统计量关注【最强考研】

：zqky666

222

DX

.1n；ESnE

X

EX

DX

；DX

设总体X

期望EX

,

方差DX

2，X1

,X

2

,

,Xn

为来自总体X的一个简单随机样本,则6.常用统计量的数字征关注【最强考研】：zqky666+Xn

n.22,X

相互独立,且都服从标准正态分布N

0，1，+Xn

2服从度为n的

分布,22

2则X1

+X

2

+2

2记为X1

+X

2

+（2）上α分位点二、三大抽样分布关注【最强考研】zqky6661.χ2分布（1）定义：X1

,X

2

,：

222121

2n

,Y

n

n

.若X

2

n,则EX

n,

DX

2n；若X

n,且X

,Y

独立,则X

Y

（3）χ2分布的性质关注【最强考研】：zqky666t

n.2.t分布（1）定义：设XXXYYn则

服从度为n的t分布,记为nN

0，1,Y关注【最强考研】

：zqky666

2

n,且X

,Y

独立，（2）上α分位点t分布的概率密度f

x是偶函数,且当度n充分大时,t

n分布近似于N

0，1.（3）t分布的性质关注【最强考研】：zqky666

2212121

2F

n,

n

.n

,Y

Xn1YYn2n2则

n1

服从第一度为n

,第二度为n

的F分布,记为n

,且X

,Y

独立，3.F分布（1）定义：设X

X（2）上α分位点关注【最强考研】：zqky6661

22

1F

n

,

n

.F若F F

n

,

n

,则

1（3）F分布的性质关注【最强考研】：zqky6661ni2i1(

X

)2（4）i

212n

1

S

2SnnnX

X

2

n

1.(

X

X

)2i1设X1

,X

2

,X

,S

2分别是样本均值和样本方差,则（1）X

,S

2独立；n,

X

是来自正态总体N

，

的简单随机样本,2（2）N

0,1；（3）

t

n

1；

2

n；（5）三、一个正态总体

下的抽样关注【最强考研】微信：zqky666求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率；求概率PmaxX1,X

2

,X

3

,X

4

,X

5

15,PminX1,X

2

,X

3

,X

4

,X

5

10.1

2

3

4

5例1

在总体N

12,

4中随机

一容量为5的样

X

,

X

,

X

,

X

,

X

.关注【最强考研】

：zqky66622564

X

X

X试确定C的值,使CY服从

2分布.,

例2

设样本X

,

X

,1

2

6

12,

X

来自总体N

0,1,Y

X

X

X3关注【最强考研】

：zqky6662321

,425X

X

2

X试确定C的值使Y

服从t分布.例3设样本X1

,X

2

,5

,

X

来自总体N

0,1 ,Y

关注【最强考研】：zCqky66X61

X

2

f

x

样本均值和样本方差,则E

X

,

DX

,

ES

2

.例4设总体X，X

,S

2分别是取来自总体X的容量为n的0,

其他更多精x彩,关x注【最1强考研】：zqky666第7设6关注参【最数强考研估】微计信公众与号：z假qky66检验主要内容点估计；区间估计；假设检验.一、参数的点估计关注【最强考研】

：zqky6661.估计量、估计值设总体X的分布函数为F

x;

,

其中是一个未知参数,

X1,

X

2

,

,

Xn为来自总体X的简单随机样本,构造一个统计量

X1

,

X

2

, ,

Xn

,用他的观测值

x1,

x2

,

,

xn

作为未知参数的近似值,统计量

X1

,X

2

,观测值

x1,x2

,

,

Xn

称为的估计量,

记为

X1,

X

2

, ,

Xn

,

,

xn

称为的估计值,记为

x1,

x2

, ,

xn

.1n

EX

k

.原理：用样本矩替换总体矩——

k

Ak

,即步骤：对一个未知参数的情形

令X

EX

..ni1iX

knn(

X

X

)2

DX

X

EX

n

n

X

EX

EX

2或12i令

1

Xi1对两个未知参数的情形i

i12.矩估计关注【最强考研】：zqky666L

x1,

x2

,L

x1,

x2

,b.取对数得ln

Linini1dc.求导d

ln

L

0,解出即可.d若d

ln

L

0无解,即ln

L单调,则应该用定义法找出的最大似然估计量.,Xn

称为未知参数的原理：使似然函数达到最大值的参数值

x1,

x2

, ,

xn

称为未知参数的最大似然估计值,相应的统计量

X1

,X

2

,最大似然估计量.步骤：a.写出样本的似然函数,xn

;

p

xi

,

离散型,xn

;

f

xi

,

连续型i13.最大似然估计关注【最强考研】

：zqky666【注】:（1）若是含有两个数最强考1

,研】2

,微则信公只众需号：在zqk第y666三步中改为求偏导数,

ln

L

0

1,解出即可.若无解,则用定义法.

0

2令

ln

L

若

是的最大似然估计,函数u

u

单调,则u的最大似然估计就是u

u

.（2）最大似然估计量的不变性原理

,其中

0

1为未知参数.已取得样本值2x1

1,x2

2,x3

1.求的矩估计值和最大似然估计值.2

1

2例1设总体X关注3【最强

考研】：zqky6662

11

f

x

求的矩估计量1和最大似然估计量2

.例2设总体X,其中

0为未知数,设X1,X

2

,,Xn

是样本.0，其他

更x多精1彩,关0注【x最强1考研】：zqky666f

x

求的矩估计量1和最大似然估计量2

.例3设总体X,其中

0为未知数,设X1,X

2

,,Xn

是样本.0，其他2更e多2精x彩

关,注x

【最强考研】：zqky666

x

1,

0

x

1f

x

1例4设总体X则U

e

的最大似然估计值为

.,其中为未知参数,设X1,X

2

,,Xn

是样本.

0，

其他关注【最强考研】

：zqky666Pn若对任意的

0,

有lim

P

1,即

,则称

是的一致估计量.4.估计量的评选标准仅关注数【最一强考研）】：zqky666无偏性

若E

,则称

是的无偏估计量.有效性

设1,

2

都是的无偏估计量,若D

1

D

2

,则称1

比

2

更有效.一致性1

2

n2n1i1

ii1（1）确定常数c,使c

X

X为

的无偏估计；（2）确定常数c,使X

cS

2为22的无偏估计.