《概率论与数理统计》习题册答案

第一章随机事件与概率§1.1随机试验随机事件一、选择题1.设B表示事件“甲种产品畅销”，C表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得A=BC.于是对立事件，故选D.2.由，故选D.也可由文氏图表示得出.二写出下列随机试验的样本空间1.23.分别表示折后三段长度。三、（1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有6个不同的结果.设试验的样本点；则，（2），，，，四、（1）；（2）；（4）；（3）“；（5）“不都发生”就是“都发生”的对立事件，所以应中至少有二事件发记为中最多有一事件发生”就是“.又这个事件也就是“生”的对立事件，所以应记为：中至少有二事件不发生”，即为三事件的并，所以也可以记为.§1.2随机事件的概率一、填空题1.试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10！，设，所以中包含的样本点数为，即把指定的3本书捆在一起看做整体，与其他三本书全排，然后这指定的3本书再全排。故。2.样本空间样本点，设事件表示这7个字母恰好组成单词SCIENCE，则因为C及C,E及E是两两相同的，所以包含的样本点数是，故二、求解下列概率1.(1);(2)2.3.由图1.1所示，样本点为随机点M落在半圆内，所以样本空间测度可以用半圆的面积表示。设事件表示远点O与随机点M的连线OM与轴的夹角小于，则的测度即为阴影部分面积，所以§1.3概率的性质一．填空题1．0.3;2.;3.;4.二．选择题1.C;2.A;3.D;4.B;5.B.三．解答题解：因为所以可得所以由概率的性质可知：于是我们就有又因为.如果如果如果则则；这时有则这时有§1.4条件概率与事件的独立性一．填空题1.；2.0.3、0.5；3.；4.；5.2；5.因为，所以，则有，因为所以与是对立事件，即。所以，于是二．选择题1.D；2.B；3.A；4.D；5.B1．已知又所以于是得，注意到代入上式并整理后可得三．解答题。由此可知，答案D。1.；2.§1.5全概率公式和逆概率（Bayes）公式解答题1.0.9732.（1）0.85；（2）0.9413.（1）；（2）§1.6贝努利概型与二项概率公式一．填空题1.；2.二．解答题1.0.5952.2.，，3.（1）0.0839，（2）0.1240，（3）0.9597章节测验一．填空题1.；2.对立；3.0.7；4.二．选择题1.B2.C3.C4.A5.D三、解答题1.（1）0.69；（2）2..0038四、证明题（略）。2.1随机变量分布函数一、填空题1.；；；2./π；3.二、选择题1、D；2、A；三、计算题1.解：由题意知随机变量的分布列（律）为345所以得随机变量的分布函数为2.解：（1）由条件知，当时，；由于，则；从而有；由已知条件当时，有；而，则于是，对于有所以当时，，从而（2）略。2.2离散型与连续性随机变量的概率分布一、填空题1．；2.二、选择题1.C；2.A；3.B三、计算题1.（1）2.略。；（2）；（3）2.3常用的几个随机变量的概率分布一、填空题1.；2.；3.二、计算题1、；2、；3、；4、（1）；（2）2.4随机向量及其分布函数边际分布一、填空题1、；；2、；二、计算题1、（1）（3）；（2）；，2、（1）（2），,；。3、，2.5二维离散型与连续性随机向量的概率分布一、填空题1、；2、，；3、；4、二、计算题1、；；2、（1）（2）；；3、2.6条件分布随机变量的独立性一、选择题1、B；2、A；3、D；4、C；5、D二、计算题1、2、3、（1）；（2）；（3）不独立。4、2.7随机变量函数的概率分布一、填空题1、2、二、选择题1、B；2、D；三、计算题1、；2、3、；第二章测验一、填空题1、；2、；3、；4、二、选择题1、C；2、A；3、B三、计算题1、，则随机变量的概率函数为其分布函数为：2、（1）；（2），；（3）不独立；（4）。3、（1）；（2）第三章随机变量的数字特征3.1数学期望一、填空题1、，，二、计算题1.解：；2、，3、，根据公式得到2．0；3．:4.2/3，4/3，-2/3，8/5；5．4/5，3/5，1/2，16/153.2方差一、填空题1.0.49；2.1/6；3.8/9；4.8，0.2二、计算题1.：0.6，0.46提示：设则相互独立，并且，显然2.：1/3，1/3；3．：16/3，28三、证明题提示：3.3协方差与相关系数一、选择题1.A；2.C；3.C二、计算题1.，，，与不独立2.0，0提示：同理可得，3.：3.4矩与协方差矩阵1.2.（1）0.7，0.6，0.21，0.24；（2）-0.02；（3）-0.0089（4）第三章测验一、填空题1．18.4；2.1，0.5；3．二、选择题1．B；2.A；3.D三、计算题1.解：设表示该学徒工加工的零件中报废的个数，又设则由题设知于是有且从而2.：10分25秒提示：设乘客到达车站的时间为，由题意可知为[0,60]上的均匀分布，根据发车时间可以得到等候时间，且是关于的函数3.0,0第四章习题4.1切比雪夫不等式随机变量序列的收敛性1．解：由切比雪夫不等式知，2．解：设为在次试验中事件出现的次数，则，为频率．由题意知而由切比雪夫不等式有所以有，得4.2大数定理1．证：有题设知Xn（n=2，3，…）的概率分布为：故Xn的数学期望为Xn的方差为故的数学期望方差在利用车比雪夫不等式得因此，X1，X2，…，Xn，…服从大数定理。2．证：由于X1，X2，…，Xn相互独立，且，存在，令则有限。故由车比雪夫不等式知，。即4.3中心极限定理1．解：设为抽取的100件中次品的件数，则，则2．解：（1）设X为一年中死亡的人数，则保险公司亏本则必须1000X>120000，即X>120，其中n=10000，p=0.006P{保险公司亏本}===（2）P{保险公司获利不少于40000元}3．解：设Xi={每个加数的舍入误差}，则Xi~U(-0.5,0.5)，，，i=1,2,…故由独立同分布中心极限定理知X1，X2，…服从中心极限定理。（1）（2），由中心极限定理得，，所以，解得．第四章测验一、填空题1．1/4；．2．．提示：利用切比雪夫不等式估计．3．1/124．0．5．0.5．6．．二、选择题1．A2．C3D．三、应用题1．解：设为1000次中事件A出现的次数，则2．解：设至少要掷n次，有题设条件知应有其中，i=1，2，…独立同分布，且，，（1）用切比雪夫不等式确定而即要求即即至少应掷250次才能满足要求。（2）用中心极限定理确定得查标准正态分布表的，所以即在这种情况下至少应掷68次才能满足要求。3．解：设X为每天去阅览室上自习的人数。则有（1）（2）设总座位数为n由中心极限定理知，，查表得=0.85，，所以应增添986-880=105个座位。4．解：令n为该药店需准备的治胃药的瓶数X为在这段时间内购买该药的老人数则由题意知，由中心极限定理知，，查表得，所以四、证明题1．证明：设则有由切比雪夫不等式得，，所以当时，即．2．证：因为相互独立且同分布，所以，，…，相互独立且同分布，且有相同的数学期望与方差：，满足独立分布中心极限定理条件，所以近似服从正太分布，即近似服从第五章数理统计的基本概念5.1总体样本统计量一、选择题1.(D)2.(A)3.(D)二、应用题1.5，2.442.3.5.2抽样分布一、选择题1.(C)注：才是正确的.2.(B)根据得到3.(A)解：，由分布的定义有二、应用题1.2.(1)(2)0.20613.26.105第五章测验一、选择题1.(C)2.（C）注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3（D）对于答案D,由于，且相互独立，根据分布的定义有4.(C)注：，才是正确的5.(C)=二、填空题1.2.，，，，，3.4.25三、应用题1.2.0.13.第六章参数估计6.1参数的点估计一、选择题1.A2.A二、解答题1.解（1）用代替，则得的矩估计量（2）分布参数的似然函数取对数解似然方程得的极大似然估计量2.解（1），用代替总体均值，则得参数的矩估计量为（2）因为所以3.解取由定义所以6.2参数的区间估计一、选择题1.C2.A6.3一个总体均值的估计1.解由于故查分布表得又故得的99%的置信区间为2.解计算得样本均值（1）总体均值的90%的置信区间为（2）查t分布表得，总体均值的90%的置信区间为3.解：计算得，n-1=7，查分布表得，计算得株高绝对降低值μ的95%的置信下限为.4.解每的平均蓄积量为，以及全林地的总蓄积量，估计精度为5.[372.37,452.67]6.4一个总体方差与频率的估计1.解由样本资料计算得,,,又由于，，，查分布表得临界值从而及的置信概率为的置信区间分别为[0.2099，0.9213]与[0.4581，0.9598].2.解（1）由于查t分布表得又，故得总体均值的95%的置信的区间为（2）由于，查分布表得，，故得总体方差的90%的置信区间为3.解查分布表得，又计算得，，故得该地年平均气温方差的90%的置信区间为4.解造林成活率的置信区间为6.5两个总体均值差的估计1.解由于，查分布表得临界值又从而求得的置信概率为95%的置信区间为[7.536，20.064].即以95%的概率保证每块试验田甲稻种的平均产量比乙稻种的平均产量高7.536kg到20.064kg.2.解由样本值计算得，，，故的95%的置信区间为3.解由样本值计算得，查分布表得故得的95%的置信区间为4.[-13.93，-9.77]6.6两个总体方差比的估计解查F分布表得故的95%的置信区间为：第六章测验一、选择题1.D2.C3.A二、填空题1.2.3.4.5.三、计算题1.解因为X～N2.解（1）所以于是，查分布表得所以；（2）.3.解因为X～N，于是，故从而4.解（1）；（2）且X～N5.解设施肥与不施肥的收获量分别为总体Y～N,计算可得又查分布表得临界值从而计算均值差的95%的置信区间为故在置信概率0.95下，每第七章假设检验亩水稻平均收获量施肥比不施肥的增产0.6到2.8斤.7.1假设检验概念和原理一、填空题：1、概率很小的事件在一次试验（抽样）中是不至于发生的。2、为真，通过一次抽样拒绝所犯错误；为假，通过一次抽样接受所犯错误。二、选择题1、B；2、D。三、应用计算题1、解：2、解：（1）、（2）、因（3）、故拒绝原假设。7.2一个总体参数的假设检验一、填空题：1、。2、。3、二、选择题1．A2.D3.B三、应用计算题1、（1）若根据以往资料已知=14；（2）未知。解：（1）因故接受原假设.从而包装机工作正常。(2).先检验标准差故拒绝原假设其次检验因故接受原假设所以，综合上述两个检验可知包装机工作正常。2、解：故接受原假设。标准差没有明显增大。3、解：故两个水平下均接受原假设。7.3两个总体参数的假设检验一、填空题1、等方差。2、服从.分布。3、,其中。二、选择题1、B2.A三、应用计算题1、解：因故接受原假设。2、解：检验因故接受原假设即认为两种工艺下细纱强力无显著差异。3、解：因故拒绝原假设，即认为乙厂产品的合格率显著低于甲厂。7.4非参数假设检验一、填空题1、2、由抽样检验某种科学科学理论假设是否相符合。3、。二、选择题1.A；2.C三、应用计算题1、解：该盒中的白球与黑球球的个数相等。记总体表示首次出现白球时所需摸球次数，则服从几何分布，其中表示从盒中任摸一球为白球的概率。若何种黑球白球个数相等，则此时从而，，，则接受原假设。2、解：的概率密度为，，因故接受原假设即认为的概率密度为。3、解：公民对这项提案的态度与性别相互独立因故拒绝，即认为公民对这项提案的态度与性别不独立。4、略。第七章测验一、填空题（每小题4分，共20分）1、2、3、；；；4、；；5、；．二、选择题（每空4分，共20分）1、A；2、C；3、B；4、C；5、A三、应用题（共60分）1、解：检验因故接受原假设2、解：故拒绝原假设3、解：先检验（）查表的因故可认为方差相等。其次检验因故接受原假设，4、解：因故拒绝原假设。5、解：（1）（2）第八章方差分析与回归分析8.1方差分析的概念与基本思想一、名词解释1.因素：影响试验指标变化的原因。2.水平：因素所设置的不同等级3.单因素试验：在试验中仅考察一个因素的试验4.多因素试验：在试验中考察两个或两个以上因素的试验，这类试验一般可用因素的数目来命名5.处理：一个试验中所考察因素不同水平的组合6.处理效应（组间误差）：试验中所考虑且加以控制的因素不同水平对试验指标的影响7.随机误差：试验中为考虑或未控制的随机因素所造成的试验指标的变异二、问答题1.单因素试验中，因素的每一个水平即为一个处理，试验有几个水平，就相应地有几个处理；多因素试验中，处理的数目是各因素水平的乘积。例如，三因素试验中，A因素有a个水平，B因素有b个水平，C因素有c个水平，则处理数为abc个。2.方差分析的基本思想：将测量数据的总变异按照变异来源分解为处理效应和随机误差，利用数理统计的相关原理建立适当的统计量，在一定显著性水平下比较处理效应和随机误差，从而检验处理效应是否显著。8.2单因素方差分析一、填空题1.平方根变换，角度（弧度）反正弦变换，对数变换；2.最小显著差数法，最小显著极差法；新复极差法，q法；3.总平方和，随机误差平方和，组间平方和。二、计算题1.变产来源离差平方和自由度均方7.150.5值14.30组间组内总和28.60（4）3.63（4.5）（33.1）9（13）2.解：，，方差分析表如下：来源平方和自由度均方和值因素误差总平方和495.36944123.844.726.352024589.36因为，所以，当显著性水平，5个温度对产量的影响有显著差异。3.该题属于单因素4水平等重复试验的方差分析。其方差分析表如下：变异来源自由度df离差平方和SS均方差MSF值处理间处理内总变异3822.613.967.5370.49515.226**4.077.591126.57说明不同浓度氟化钠溶液处理种子后，对芽长有极显著的影响。多重比较省略。4.该题属于单因素不等重复方差分析。变异来源自由度df离差平方和SS均方差MSF值处理间处理内总变异2153.5374.9376.763.5721.51**3.475.782123228.46母猪对仔猪体重存在极显著的影响作用。8.3双因素方差分析1.本题是双因素无重复观察值的方差分析。方差分析表如下：变异来源品种间（A）室温间（B）误差自由度df离差平方和SS均方差MSF值10.02**3.165.0919.12**2.664.01362758.3910530.211652.3614940.96919.461755.0491.801827总变异F检验结果表明，品种和室温对家兔血糖值的影响均达极显著水平。2.本题为两因素等重复试验的方差分析。方差分析表如下：变异来源自由度df离差平方和SS均方差MSF值原料（A）温度（B）A×B误差总变异221554.16673150.5000808.83331656.50007170777.083312.67**3.355.491575.250025.68**3.355.493.30*4202.208361.35192.734.112735由方差分析表可知，原料、温度间的差异均达极显著水平，原料×温度的差异达显著水平。8.4回归分析的基本概念1.如何用数学语言描述相关关系？相关关系就是一个或一些变量与另一个或一些变量之间有密切关系，但还没有确切到由其中一个可以唯一确定另一个的程度，其数学语言描述可为：如果给定变量任意一个具体取值,存在变量的一个概率分布与其对应，并且该概率分布随的不同而不同；同时给定变量任意一个具体取值,存在变量的一个概率分布与其对应，并且该概率分布随的不同而不同，则称与之间具有相关关系。相关关系是两个随机变量之间的平行相依关系。2.什么是回归关系？回归关系与相关关系有何联系？回归关系是指在相关关系中，如果容易测定或可人为控制，就将看成为非随机变量，并记为（称为预报因子），这时与（称为预报量）之间的关系称为回归关系。回归关系是相关关系的简化，是变量之间的因果关系。8.5一元线性回归模型的建立与检验一、填空题1.。2.，。二、应用题